Échos de la recherche  

sur les mathématiques par et pour les jeunes

informations, discussions mathématiques, manifestations, témoignages, commentaires, documents ...
Les échos s'appuient sur les contributions de tous, dans les Ateliers MATh.en.JEANS et le LaboraToile ou ailleurs ...

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• Archives : accès chronologique. Les sujets actifs de l'année et les informations disponibles
  

  	avant 2000	2000-2001	2001-2002			2005-2006	2006-2007
  mises à jour	nov. 2005	nov. 2005	nov. 2005			dec. 2006	avr. 2007

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2.A Échos mensuels

déc 2001

jan 2002

fév 2002

mar 2002

avr 2002

mai 2002

2.B Échos du LaboraToile 2001-2002

2.B.1 L'activité du LaboraToile.
2.B.2 Documentation sur les sujets du LaboraToile.

2.C Échos des ateliers MATh.en.JEANS 2001-2002

2.C.1 L'activité des ateliers.
2.C.2 Documentation sur les sujets des ateliers.

[Format des références : Volume.mois.année.n°]

• Vol.2A/mai.02.1 MATh.en.JEANS à Neuchâtel en Bray (Académie de Rouen) [Michael Mauduit, 29 avril 2002]
  
  Avis à tous les amateurs de la recherche en Mathématiques: Au lycée G. Brassens de Neufchâtel-en-Bray, ce sont les élèves qui ont fait de la recherche, sous la direction d'un véritable Chercheur. Ce sont deux professeurs, Mme Le Cornu et moi même, qui ont animé l'atelier MATh.en.JEANS. J'ai rédigé un article (destiné à être publié à l'APMEP et à l'IREM de Rouen) que vous trouverez en fichier joint.
• Vol.2A/mai.02.2 MATh.en.JEANS en classe et dans la presse : une 4ème scientifique "au Point"
  [Secrétariat MATh.en.JEANS, message de Yan Bourit du 27 mars 2002]
  
  Atelier de recherche dans la classe (donc travail obligatoire et noté) avec horaire aménagé : tel est la formule 2001-2002 rendue possible au Collège l'Ardillière de Nézant à St-Brice (95), par l'ouverture d'une classe de 4ème scientifique. Il s'agit d'une option proposée aux élèves et à leur parents dès juin 2001. Un tel fonctionnement en classe n'empêche pas le principe de jumelage cher à MATh.en.JEANS même avec un atelier hors-classe (donc de type "périscolaire"), celui du collège Charles Lebrun de Montmorency.
  «J'ai fait un bilan [...] avec les élèves depuis le début de l'année, et ils sont ravis» nous écrit Yann Bourit, professeur de mathématiques, initiateur, avec d'autres collègues, de ce projet interdisciplinaire.
  «Comme ils le sont le plus souvent quand ils sortent du cadre scolaire... » ajoute-t-il, sans triomphalisme, tout en soulignant «il y a quand même une élève qui dit avoir changé d'opinion sur les mathématiques...».
  Cette expérience a donné lieu a un article de Marie-Sandrine SGHERRI, paru dans "le point" n° 1532 du vendredi 25 janvier 2002.
• Vol.2A/mai.02.3 MATh.en.JEANS & Main à la Pâte
  [Pierre Duchet (Président Association MATh.en.JEANS)]
  
  MATh.en.JEANS inaugurait en 1989 une nouvelle manière de faire des mathématiques qui replace la démarche scientifique au coeur de l'activité mathématique, en faisant des savoirs mathématiques un enjeu de questionnement, d'enquête, de formulation, de recherche, de débat et de validation.
  Pour les sciences dites "expérimentales", l'application de principes analogues, vigoureusement soutenue par deux prix Nobel de physique et accompagnée par de substantiels crédits, conduisait en 1991 à une réussite spectaculaire des apprentissages scientifiques dans une banlieue défavorisée de Chicago. C'est la généralisation de cette "expérience de Chicago" qui donnait lieu en France à l'opération "la main à la pâte", récemment officialisée à l'École primaire.
  
  Dans "la Main à la Pâte", comme dans "MATh.en.JEANS", les élèves font de la science et suivent les mêmes étapes dans l'élaboration d'une connaissance scientifique : collection et observation des faits, formulation d'hypothèses et de lois, débat critique, preuve... S'inspirant d'objectifs et d'approches similaires, les dispositifs pédagogiques diffèrent pourtant sur des points importants :
  - cadrage du questionnement scientifique,
  - place et organisation de la recherche ; initiative des élèves.
  - place et rôle du maître et de l'animateur extérieur
  - contenus d'apprentissages,
  - statut de la preuve et institutionalisation.
  
  On pourra se faire une bonne idée sur le dispositif de la "main à la pâte" et sur la place, "périphérique", qu'y occupent les mathématiques, en consultant les séquences de l'un des projets, consacré à la mesure de la Terre (classes de CM1 et CM2), récemment publiée par l'inrp : on y revit la démarche d'Érastostène, qui parvint à évaluer la circonférence terrestre à partir de d'observations portant sur l'inclinaison des rayons solaires en des lieux différents...

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• Vol.2A/avr.02.1 MATh.en.JEANS et la rénovation des études scientifiques [Pierre Duchet (Président Association MATh.en.JEANS)]
  25 mars 2002 : publication du rapport de Guy Ourisson (ancien président de l'Académie des sciences) sur la "Désaffection des étudiants pour les études scientifiques" et discours de Jack Lang "Rénover l'enseignement des sciences, de l'école à l'université"
  Rapport de G. Ourisson. Si « la situation française semble, [...] sur le plan statistique, moins grave que celle de certains des pays voisins, elle est néanmoins préoccupante » : le rapport évoque notamment l'inégalité des secteurs concernés (situation alarmante en Physique et en Chimie, ainsi que dans certaines localisations géographiques), la question des prévisions de départ à la retraite, et l'attraction des jeunes diplomés scientifiques français vers les autres pays (nous apparaissons très mal préparés à l'embellie que connaît actuellement l'emploi des scientifiques dans tous les pays). Le rapport fait 18 propositions pour améliorer la situation, dont certaines intéressent directement notre action "MATh.en.JEANS".
  Discours de J. Lang. Les conclusions du rapport précédent y sont largement reprises. Si le Ministre reste discret sur les mathématiques (au profit de l'interdisciplinarité et des sciences de la "main à la pâte"), il offre néanmoins des perspectives scolaires et périscolaires extrêmement encourageantes pour nos ateliers de recherche mathématiques, notre "méthode d'apprentissage" et nos actions de popularisation et de valorisation.
  Le secteur des mathématiques ne saurait en effet rester à la traîne de la rénovation pédagogique entreprise pour les enseignements scientifiques et devrait pouvoir bénéficier, au même titre que les autres disciplines, des moyens prévus à cet effet, du primaire à l'université. Il apparaît important et nécessaire que le cabinet du Ministre soit mieux informé de la réalité de la dimension expérimentale propre aux mathématiques et en particulier des diverses réalisations "MATh.en.JEANS".
  Texte du discours
  
• Vol.2A/avr.02.2 La période trouble des inverses comme sujet de TPE [Le LaboraToile]

  Un projet de TPE en 1ère S porte précisément cette année sur le sujet 01C02 du LaboraToile "la période trouble des inverses". Un des premiers résultats obtenus (dû à "Scud2005") est l'existence d'une fraction dont le développement décimal a une période 1999.
  La vocation du LaboraToile étant précisément d'inciter et d'aider à la recherche, nous nous réjouissons qu'il serve à alimenter des projets de TPE. Nous nous réjouissons également qu'il existe des TPE comportant une dimension mathématique véritable...
  Pour connaître le message de "Scud2005", la réponse du LaboraToile et d'autres contributions à ce thème .

• Vol.2A/avr.02.3. Échos du congrès d'Orsay [administration AMeJ]

  Un article du Dauphiné Libéré sur la participation du lycée d'Altitude de Briançon complète les échos de la presse sur le congrès.

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• Vol.2A/mar.02.1 MATh.en.JEANS aux journées "Ciné-Math-Lille" [administration AMeJ]
  
  Le 30 mars 2001, répondant favorablement à l'invitation de l'IREM de Lille, l'association MATh.en.JEANS présentait ses activités, lors de cette grande manifestation qui promouvait un image culturelle et artistique des mathématiques en direction d'un très large public.
  Nous intervînmes sous 3 formes :
  Exposés de recherche de collégiens et lycéens,
  Débat avec la salle, sur les contenus et objectifs de MATh.en.JEANS, animé par nos délégués.
  Animation d'ateliers pour des classes de colllèges, en reproduisant ainsi en miniature le dispositif annuel des jumelages.

  Et...Ce n'est pas un hasard si un cinquantaine de collégiens Lillois se sont lancé cette année dans l'aventure de la recherche avec MATh.en.JEANS ! Merci à l'IREM de Lille d'avoir permis ce fructueux contact !
  Pour connaître les contenus proposés, depuis "l'antyphérèse" jusqu'au "ver de terre" ....

• Vol.2A/mar.02.2. Premiers échos du congrès d'Orsay [administration AMeJ]
  
  2 jours et demi pleins de plaisir et de maths, plus de 400 jeunes, une centaine de professeurs et responsables pédagogiques, près de 40 chercheurs (une première !) , plus de 50 organisateurs et aides bénévoles, 2 conférences plénières (V. Lizan et J.-C. Yoccoz) , 72 exposés ou ateliers interactifs, 54 animations de stands, 3 expositions, 3 rencontres-débats, 15 visites de laboratoires et d'équipements scientifiques, 1 ping-pong, sans oublier les fameux ratons-laveurs de l'Yvette... : la réussite de la 13ème édition du Congrès annuel MATh.en.JEANS fut à la hauteur de sa taille : impressionnante, incontournable.
  
  Avec un campus verdoyant sous un soleil ponctuel, les diverses activités, aussi bien que les rencontres et discussions libres, ont tenu toutes leurs promesses. Seule ombre au tableau : un cafouillage des organisateurs a privé les congressistes de la conférence de dimanche (A. Djebbar), très attendue. Un faux pas bien rattrapé le lendemain avec la proposition spontanée d'Ahmed Djebbar, de répondre favorablement aux prochaines invitations que notre association ne manquera pas de lui faire, et avec la prestation de J.-C. Yoccoz qui a rallié tous les suffrages.
  
  Les 600 participants au total, congressistes, invités, visiteurs et organisateurs, ne purent sans doute tout faire ni tout voir. Ils eurent quelques regrets devant le peu de temps laissé aux forums. Telle est la loi des grands nombres... La qualité des interventions des jeunes et leur enthousiasme à faire de la recherche mathématique firent en tout cas l'unamimité, et tous manifestèrent un vif intérêt pour les rencontres et discussions qu'il ont vécu. Même les loisirs eurent une petite place : succès du ping-pong, mis à disposition par le département de Math, et de la petite fête du samedi soir, offerte par l'université.
  
  La presse régionale sut suivre dignement l'évènement. Elle souligna en particulier la diversité des provenances scolaires de nos apprentis-chercheurs tout en relevant leur évident plaisir à vivre ainsi les mathématiques.
  Articles du "Parisien" et du "Républicain

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• Vol.2A/fév.02.1 Courrier: Réponse sur une équation diophantienne [Le LaboraToile] 24 janvier 2002 16:58
  Le laboratoile à "badreddine el ouazzani" (voir écho 2.jan.02.1)
  En réponse à votre question, [sur l'équation diophantienne x^2+y^10 = z^5], voici le message que nous a transmis Alain Kraus : « B. Poonen a étudié l'existence des triplets d'entiers (x,y,z) premiers entre eux vérifiant l'égalité x^2=y^5+z^5. Dans son article " Some diophantine equations of the form x^n+y^n=z^m, Acta Arith.86 (1998), 193-205 ", il démontre que cette équation ne possède pas de solutions propres non triviales. »
  [Š] A 5 ans près, votre résultat pouvait être publié! [...]
  
• Vol.2A/fév.02.2. Courrier: Point de Fermat et Principe de Fermat [Jean Lochet] 26 janvier 2002 11:48
  
  Supposant qu'il existe, à l'intérieur du triangle ABC, un point F &endash; dit point de Fermat &endash; qui minimise la quantité FA + FB + FC, on se propose d'établir une propriété de ce point grâce au Principe de Fermat (Optique).
  F est le point du cercle de centre A et de rayon AF minimisant la quantité FB + FC.
  Assimilons ce cercle à la trace d'un miroir convexe m.
  D'après le Principe de Fermat, le trajet FB + FC, du rayon lumineux issu de B se réfléchissant en F sur m et passant par C, est minimum .
  Comme AF est la normale en F au miroir m, les lois de la réflexion impliquent que :
  AF est bissectrice de l'angle BFC , de même :
  BF est bissectrice de l'angle AFC , et
  CF est bissectrice de l'angle AFB.
  Le point de Fermat voit, donc, les côtés AB, BC, et AC sous le même angle de 120°.

  NB : L'approche optique " de cette propriété est à rapprocher de l'approche " mécanique ", utilisant le Principe de Dirichlet.
  [Jean Lochet, Maître de Conférences, Université de Bordeaux I]
  Pour quelques commentaires sur ce texte

• Vol.2A/fév.02.3. Courrier: Chocs de billes sur un cercle [LaboraToile] 22 janvier 2002 17:15
  A propos de l'énigme sur l'évolution de points mobiles sur un cercle, tirée du site du club mathématique du Lycée Camille Sée (voir échos 2, déc 2001 n°2) en rapport avec le sujet Le coureur solitaire du LaboraToile, Charles Payan propose d'étudier la généralisation au cas de vitesses différentes (mais toujours constantes : chaque point mobile conserve sa vitesse, au signe près). Son message.
• Vol.2A/fév.02.4. Connaissez vous les brenoms ? [LaboraToile]
  On peut sans difficulté appliquer les opérations classiques addition et multiplication à des suites de chiffres illimitées vers la gauche, en reportant, comme d'habitude, les retenues vers la gauche. Ces nouveaux êtres mathématiques , les brenoms (nombres en verlan) se comportent donc en partie comme les nombres entiers, qu'ils généralisent... Ils ont un intérêt mathématique, puisque des équations sans solutions en nombre entier nombres peuvent en avoir chez les brenoms. La récente preuve du "théorème" de Fermat utilise d'ailleurs en plusieurs occasions les nombres p-adiques (brenoms dans le systèmes de numération à base p, un nombre premier). Ils ont aussi un grand intérêt pédagogique : la possibilité pour les enfants d'opérer dès l'école primaire sur ces objets étranges et généraux leur permet de donner du sens à des nombreux concepts fondamentaux mettant en jeu les nombres entiers usuels (concept d'équation, existence et nombre de solutions etc.).Depuis 1992, de nombreux ateliers ont travaillé sur ce thème et ont abouti à des résultats significatifs . Pour accéder à la documentation disponible,
• Vol.2A/fév.02.5. le débat du congrès 2001 [administration AMeJ]
  au sommaire : Quelle est la différence, au Congrès, entre un atelier et un exposé? / Organisation des ateliers-jumelages MATh.en.JEANS./ Contenu mathématique des différents sujets ou exposés./ Quel rapport entre les T.P.E. et MATh.en.JEANS ? / Communication. / Financement.
• Vol.2A/fév.02.6. Taux d'insertion et centre de gravité : une conjecture et un sujet de recherche [Pierre Duchet]
  D est un domaine convexe du plan. Pour toute droite orientée (d) on considère le rapport r(d) entre l'aire de la partie de D située à gauche de (d) et l'aire de la partie de D située à droite. Lorsque (d) décrit l'ensemble des droites orientées passant par un point P, la valeur minimum de r(d), est appelé le taux d'insertion de P dans D et est noté i(P). Quel est le point (ou les points) dont le taux d'insertion est maximum ? Est-il confondu avec le centre de gravité ?
• Problème subsidiaire : Plus le domaine est symétrique (par rapport à un point P), plus le taux d'insertion i(P) est élevé. Nous appelerons la valeur maximum de i(P), parmi tous les points du plan, l'indice de symétrie du domaine D et nous le noterons s(D) (s(D) vaut 1 pour tout domaine admettant un centre de symétrie). Quel est la valeur minimum possible de s(D) (je conjecture la valeur 4/5 pour les convexes du plan) ?
  Généralisations : Que se passe-t-il, mutatis mutandis, dans l'espace ? En dimension quelconque ? Pour des domaines mesurables non convexes ?
  Remarque: On peut attaquer le problème dès le collège (cas du triangle par exemple) mais les niveaux intéressants de recherche sont le lycée et le supérieur.

Format des références : Volume.mois.année.n°.extensions...

• Vol.2A/jan.02.1 Courrier: Une équation diophantienne [badreddine el ouazzani] 27 décembre 2001 17:35

  salut,j'ai demontre que l'equation diophantienne :x à la puissance2 +y à la puissance10 =z à la puissance5 n'a pas de solutions en nombres entiers natureles non tous nuls.est ce que c'est deja demontre? bonne annee et merci.

  réponse à cette question Vol.2A/fév.02.1

• Vol.2A/jan.02.1.1 Courrier: Re: Une équation diophantienne [Le LaboraToile] Fri, 04 Jan 2002 14:55:42 +0100

  Le LaboraToile à (badreddine el ouazzani)Nous consultons nos spécialistes pour tenter de vous répondre. Juste une remarque : L'équation x^2+y^2 = z^5 peut-elle avoir, elle, des solutions entieres non triviales ? Recevez nos meilleurs voeux pour cette année 2x7x11x13.

• Vol.2A/jan.02.1.1.1 Courrier: Re:Re: équation Diophantienne [badreddine el ouazzani] 04 janvier 2002 18:05
  salut,l'equation que vous avez envoye admet une infinite de solutions non triviales exemple:tout nombre premier de la forme 4n+1 a la puissance m plus que 1 s'ecrit comme somme de deux carre un tel exemple:5 à la puissance 5=38 au carre +41 au carre.
  
• Vol.2A/jan.02.2 Un sujet "pavage" à Grenoble
  proposés par Sylvain GRAVIER & Charles PAYAN pour l'atelier MATh.en.JEANS du Collège et Lycée Elitaire Pour Tous de la Villeneuve (Grenoble) [ dont l'objectif est la réinsertion dans le circuit scolaire de jeunes ayant quitté le système éducatif]
  Pavages : Quels morceaux d'échiquiers sont pavables avec des pièces en L, avec des dominos ? Le cas à étudier plus spécialement est celui des formes rectangulaires et carés, éventuellement privées d'une ou deux cases...
• Vol.2A/jan.02.3 5 sujets proposés par Julien VIDAL pour le jumelage des collèges L'Ardillière de Nézant (St Brice, 95) et Charles Lebrun (Montmorency, 95)

  La période trouble des inverses.
  Escargots sur une boite.
  Plier un triangle.
  Compter les alcanes.
  Chemins croissants aléatoires (réseaux carré, cubique, triangulaire).

  Pour quelques détails
• 2.jan.02.4 Sujets de Yves ROUCHALEAU pour le Collège Dolto (Paris, 20ème)

  Fabrication de codes secrets
  Peut-on bien jouer à la roulette du casino ?
  Comment est fait un ballon de foot ?

• 2.jan.02.5 Question d'équilibre. Sujet de R. Dujardin et D.Paumont pour l'atelier MATh.en.JEANS du lycée Blaise Pascal d'Orsay (91).
  A quelle condition un objet en appui sur le sol est-il en équilibre ? Plus précisément existe-t-il une relation entre la forme de l'objet et la forme de son appui au sol ? Connaissant l'ensemble des points d'appui au sol et la forme de l'objet, peut-on réaliser un test informatique affirmant qu'il y a équilibre ou non ? [Figure montrant une barre supportant deux masses différentes à ses extrémités et soudée à un trépied posé au sol : chute ?]

• Vol.2A/dec.01.1 Le site du club mathématique du Lycée Camille Sée contient des échos de la recherche MATh.en.JEANS sur les sujets proposés par Caroline JAPHET en 2000-2001 (jumelage des lycées Camille Sée (Paris) et Charles Poncet (Cluse, Haute Savoie)

  Billard circulaire
  Partage du gâteau
  Aires minimales
  Colliers de perles
  Tour de cartes, tour de magie?

• Vol.2A/dec.01.2 Le même site contient de nombreuses énigmes stimulantes, problèmes alléchants et quelques documents sur des curiosités mathématiques dignes d'attention (fractales, par exemple)

  Exemple d'énigme, qui n'est peut-être pas sans rapport avec le sujet Le coureur solitaire du LaboraToile (évolution de points mobiles sur un cercle) :

  « Des points sont disposés sur un cercle. Ils commencent à se mouvoir avec des vitesses constantes et égales en valeur absolue (les uns vont dans le sens direct, les autre dans le sens rétrograde). S'étant heurté, deux points s'éloignent tout en conservant, en valeur absolue, leur vitesse initiale et en restant sur la même courbe. Démontrer qu'il arrive un moment où tout point se retrouve dans sa position initiale. »

  Autre exemple, qui est dans le cadre du sujet Une forme dans une autre :

  « Un tétraèdre se trouve à l'intérieur d'un autre tétraèdre. Est-ce que la somme des longueurs des arêtes de la pyramide intérieure peut être plus grande que celle de la pyramide extérieure ? »
• Vol.2A/dec.01.3 Appel aux idées Comment construire le centre d'un arc de cercle ? [Pierre Duchet]

  Pour tracer la forme de dents d'engrenages (engrenages : un sujet de l'an dernier repris cette année) arrondies, il apparait intéressant de prendre des arcs de cercles. Au cours du travail de l'atelier, un groupe a cherché à retrouver le centre d'un arc cercle donné: ils traçent deux cordes dont les extrémités sont sur l'arc de cercle donné et obtienne le centre cherché à l'intersection des deux médiatrices de ces cordes.

  Hélas les deux médiatrices sont si proches l'une de l'autre que la méthode est très imprécise. Peut-on trouver une meilleure méthode ?

• Vol.2A/dec.01.4 De nouveaux énoncés et documents sont disponibles sur les sujets suivants (à cliquer)
  Les divisions justes, Culbutes de polyèdres, Les grillages, Les engrenages, Une forme dans une autre
  
• Vol.2A/dec.01.5 Courrier: Les déboires du carreleur [Thomas Chomette]
  Bonjour, au détour de mes péringrinations sur le web, je suis tombé sur le texte intitulé "Les déboires d'un jeune carreleur", qui présente la conjecture suivante :
  "Si un rectangle de dimensions m et n peut être pavé à l'aide de recangles de taille p*1, alors p divise m ou p divise n".

  Il se trouve que je connais une démonstration (pas si élémentaire) de ce résultat : il faut considérer l'intégrale double sur le rectangle de la fonction exp(2 i Pi (x + y)/p) sur le rectangle. Si celui-ci peut être pavé, alors l'intégrale est nulle. En séparant les variables, on arrive à un produit d'intégrales nulles. L'une est nulle donc en les calculant on obtient bien "p divise m ou p divise n".

  Voilà. Ne connaissant pas bien le fonctionnement de Maths en Jeans, je ne sais pas si ça vous intéresse ou non (même si j'ai tendance à penser que non, sinon vous l'auriez probablement signalé ?) D'autre part, y ayant un peu réfléchi, je n'ai pas trouvé de démonstration élémentaire accessible à un élève de lycée... Amicalement, Thomas

• Vol.2A/dec.01.5.1 Courrier: Re: Les déboires du carreleur [Le LaboraToile]
  Laboratoile à (Thomas Chomette) Merci de votre message, dont nous faisons profiter nos internautes. MATh.en.JEANS etant un apprentissage de la recherche pour tous, nous ne donnons pas de solutions mais plutot des directions d'étude et des conseils, sauf demande expresse de la part des apprenti-chercheurs.

  Il existe plusieurs démonstrations élémentaires dont la plus lumineuse utilise un quadrillage du plan avec des cases carrés de coté p/2, colorés en noir et blanc à la manière d'un damier.
  Chaque carreau, de taille 1*p couvre autant de blanc que de noir. Ainsi, si un rectangle A*B est pavable, il couvre autant de blanc que de noir.
  Appelons a et b les restes, modulo p, des cotés A et B. Si on place le coin inférieur gauche du rectangle sur un noeud du quadrillage, on met en évidence dans le coin opposé un petit rectangle a*b. Tout le reste du grand rectangle couvre autant de noir que de blanc, donc le petit rectangle doit faire de même : des considérations géométriques élémentaires montrent que ce n'est possible que si a=0 ou b=0. CQFD.

  Référence : Wagon S. (1987) Fourteen proofs of a result about tiling a rectangle, American Mathematical Monthly, 94.

Références Cliquez pour accéder à l'énoncé	Sujets 2001-2002 Un lien actif ouvre la page des échos sur le sujet	Mot clefs ; origine et nature des documents Cliquez sur les liens actifs existant pour accéder aux documents
02C01	Alphaville	Jumelage à Melun (école et collège) en 2000-2001.
02C02	Les divisions justes	Jumelage à Melun (école et collège) en 2001-2002.
02L01	Une forme dans une autre	Jumelage Nemours-Paris (lycée) en 2001-2002. Articles (1) , contributions (1)
02L02	Mots de Kolakoski	Sujet voisin en 2002-2003 à
02S01	La couverture du ver de terre	Quelques figures proposées par des lycées bordelais au congrès MATh.en.JEANS 2001 et par des collégiens lors de l'atelier "MATh.en.JEANS-IREM de Lille" (mars 2001). à paraître
02S02	Les carrés d'Eva	Exposés des groupes des Ateliers de Université d'été Animath 23-29 Août 2001 (Contributions écrites en cours)
01S02	Le coureur solitaire	une énigme sur un problème quelque peu ressemblant.

pour nous écrire : laboratoile@free.fr

avant 2000

2000-2001

2001-2002

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Vol.2C   Échos des ateliers MATh.en.JEANS 2001-2002

 

 
• Le site du club MATh.en.Jeans du Lycée Camille Sée

Références Les liens actifs ouvrent l'énoncé	Sujets MeJ 2001-2002 Les liens actifs ouvrent la page d'information sur le sujet	Mot clefs ; origine et nature des documents Cliquez sur les liens actifs existant pour accéder aux documents
SUJETS proposés par Pierre DUCHET pour le jumelage de l'école Jean Bonis (Melun) et le collège Frédéric Chopin(Melun)
mej02-01	Culbutes de polyèdres : le cas des boites et du dodécaèdre Quelles positions peut prendre une objet par culbutes successives ?	boîte, tétraèdre, icosaèdre, dodécaèdre, quadrillage, réseau triangulaire, pentagone, nombres entiers, groupes, mots Articles (2) Contributions (2)
mej02-02	Les engrenages Comment réaliser un rapport de transmission donné avec un système de roues ayant chacune entre 15 et 50 dents ?	fraction, engrenage, nombres entiers, vitesse, cercle, angle Contributions : 4 Articles : 1
mej02-03	Le postier chinois Organiser la tournée d'un facteur dans un quartier de ville.	Contributions Quelques essais lors de la Science en fête (Village des Sciences, Ministère de la Recherche, Paris, 19-20-21 octobre 2001)
02L01	Une forme dans une autre Placer dans une forme de type A la plus grande forme de type B	Sujet du LaboraToile (2001-2002)
SUJETS proposés par Pierre DUCHET pour le jumelage du lycée de Nemours et du Lycée Buffon (Paris 15ème)
mej02-04	Culbutes de polyèdres : le cas du dodécaèdre et de la boite d'allumette Quelles positions peut prendre un objet par culbutes successives sur un plan ?	Articles (3) Contributions (2)
mej02-05	Les grillages Quelles chances a un caillou de passer à travers un grillage ?	Articles dont la lecture peut être utile...(6)
SUJETS proposés par Sylvain GRAVIER & Charles PAYAN pour l'atelier MATh.en.JEANS du Collège et Lycée Elitaire Pour Tous de la Villeneuve (Grenoble) [ dont l'objectif est la réinsertion dans le circuit scolaire de jeunes ayant quitté le système éducatif]
	Pavages Quels morceaux d'échiquiers sont pavables avec des pièces en L, avec des dominos ?
SUJETS proposés par Julien VIDAL pour le jumelage des collèges L'Ardillière de Nézant (St Brice, 95) et Charles Lebrun (Montmorency, 95)
01C02	La période trouble des inverses.	Sujet du laboratoile également traité en 2000-2001 par le jumelage MATh.enJEANS entre l'école Jean Bonis et le collège Frédéric Chopin de Melun.
mej99-01	Escargots sur une boîte. Comment 2,3, ... escargots peuvent-ils se mettre le plus loin possible les uns des autres sur une boîte à chaussure ?	Le Club mathématique, lycée d'altitude de Briançon. Animateur Hubert Proal avait traité en 1999 du sujet suivant : Les plus courts chemins sur le cube
mej97-01	Plier un triangle	traité en 97 par un Atelier du Lycée Jules Ferry de Coulommiers Article dans les Actes 97
mej02-02a	Compter les alcanes.
mej02-02e	Chemins au hasard Étude du nombre de chemins dans les réseaux carré, cubique et triangulaire.
SUJETS proposés par Yves ROUCHALEAU pour le Collège Dolto (Paris, 20ème)
	Fabrication de codes secrets
	Peut-on bien jouer à la roulette du casino ?
	Comment est fait un ballon de foot ?

1.A Échos du LaboraToile 2000-2001

1.A.1 L'activité du LaboraToile.
1.A.2 Documentation sur les sujets du LaboraToile.

1.B Échos des ateliers MATh.en.JEANS 2000-2001

1.B.1 L'activité des ateliers.
1.B.2 Documentation sur les sujets des ateliers.

Nouveau siècle ? Nouveauté de la formule ? Indigence de notre publicité ? Quoi qu'il en soit, l'activité du LaboraToile en 2000-2001 fut très calme et le débat virtuel sur les premiers sujets de recherche pour tous n'a pas eu lieu.

Gageons que ce n'est que partie remise. Les 6 sujets sont toujours offerts à votre appétit. Les quelques comptes-rendus et documents existants sont annoncés et mis en ligne au fur et à mesure de notre travail d'édition ; ils s'augmenteront, n'en doutons pas, de vos nouvelles contributions.

Le Comité Scientifique du LaboraToile

• Témoignage de Véronique Chauveau sur le Jumelage des lycées Camille Sée de Paris et Charles Poncet de Cluses :

  De 1998 à 2000, avec des partenaires éloignés, un projet qui se construit, qui évolue et ... qui marche !

• Le site du club MATh.en.Jeans du Lycée Camille Sée

• SUJETS proposés par Caroline JAPHET pour le jumelage des lycées Camille Sée (Paris) et (Cluse, Haute Savoie)

  Billard circulaire
  Partage du gâteau
  Aires minimales
  Colliers de perles
  Tour de cartes, tour de magie?

  Des informations sur la recherche menée sur le site du club MATh.en.Jeans du Lycée Camille Sée

1990 (An I de MATh.en.JEANS : lycée Racine, Paris et Lycée Jean Jaurès, Argenteuil)

l'infini ( extraits publiés dans les Actes MATh.enJEANS , 1991, puis article publié dans les Actes MATh.enJEANS , 1993 ; édition papier épuisée, disponible en image .gif sur le site)

le nombre d'or. ( extraits publiés dans les Actes MATh.enJEANS , 1991, édition papier épuisée, disponible en image .gif sur le site)

les géométries non euclidiennes . (extraits publiés dans les Actes MATh.enJEANS , 1991, édition papier épuisée, disponible en image .gif sur le site)

Combinatoire de l'échiquier. ( extraits publiés dans les Actes MATh.enJEANS , 1991, édition papier épuisée, disponible en image .gif sur le site)

1991 (An II congrès de Strasbourg) (sujets présentés suivant la pagination des Actes MATh.enJEANS 1991)

91 **32 **32 **l'infini**fondements **suites **lycée **série harmonique **bijections (lycée Racine, Paris et Lycée Jean Jaurès Argenteuil 1990)

91 **33 **33 **les tours **combinatoire **lycée **dénombrements problème des 8 tours (lycée Racine, Paris et Lycée Jean Jaurès Argenteuil 1990)

91 **33 **33 **les dames **combinatoire **tous **énoncé et solution du problème des 8 dames (lycée Racine, Paris et Lycée Jean Jaurès Argenteuil 1990)

91 **34 **34 **le problème du jardinier Š dans le plan **géométrie **tous **deux solutions infinies (lycée Racine, Paris et Lycée Jean Jaurès Argenteuil 1990)

91 **35 **35 **le paradoxe de Lewis Carroll Š errare oculo est **géométrie / suites **lycée **récurrence, équation du second degré, limites

91 **37 **39 **Carrés Magiques **nombres **lycée **constructions utilisant indices, combinaisons

91 **40 **43 **les paradoxes **fondements **lycée **logique, infini, Möbius, figures impossibles

91 **44 **47 **Graphes **combinatoire **tous **Königsberg, casse-tête, Sherlock Holmes

91 **48 **50 **dénombrements **combinatoire **lycée **calculs sur jeux de cartes

91 **51 **53 **La Sphère **géométrie **tous **b-a-ba de la géométrie non-euclidienne sur la sphère

91 **54 **57 **à la quête du disque perdu Š **géométrie **lycée **géométrie et réfraction à partir de Escher

91 **58 **60 **le tore **géométrie **lycée **description des droites sur le tore

91 **62 **64 **les défauts dans les verres **géométrie **tous **pavages dans le plan et l'espace, courbures

91 **66 **71 **surfaces volumes et ¼ **géométrie **tous **longueurs, aires, volumes : calcul de ¼, problèmes d'extremums

91 **72 **75 **les nombres **nombres **tous **nombres premiers, Bézout, bases

91 **76 **79 **labyrinthes ou cheminements dans New-York **combinatoire **tous **dénombrements, arbres

91**80**82 **mouvement dans l'espace **combinatoire / géométrie **tous **translations et rotations d'un cube sur échiquier

91**84 **86 **polyèdres **combinatoire / géométrie **tous **polyèdres duaux, problème des coups de scie

91 **88 **90 **l'algorithme de Kaprekar **suites **tous **programmes en Basic et pascal, réduction du nombre de cas

91 **91 **93 **les biomorphes **suites **lycée **itérations sur nombres complexes

91 **118 **120 **(illustrations sur biomorphes) ** **lycée **complément des pages 91 à 93

91 **94 **96 **l'ensemble de Mandelbrot **suites **lycée **description de quelques résultats

91 **113 **117 **(illustrations Mandelbrot et Julia) ** **lycée **complément des pages 94 à 96

91 **97 **98 **la courbe du dragon **suites **lycée **description de trois méthodes de construction de cette courbe "fractale".

1992 (sujets présentés suivant la pagination des Actes MATh.enJEANS 1992)

92 **7 **13 **La numération "l'histoire des mathématiques" ** **lycée **les élèves de "MATh.en. JEANS" inventent Š le boulier maya.

92 **15 **17 **Formules sommatoires ** **lycée **calculs de sommes de puissances de nombres entiers

92 **19 **22 **Décomposition d'un nombre carré sous forme de sommes de carrés ** **lycée **détermination de triplets pythagoriciens.

92 **25 **28 **Sommes de carrés ** **lycée **étude des nombres qui sont sommes de deux carrés ; réalisation géométrique (découpages d'un rectangle ou d'un triangle pour reformer deux carrés)

92 **29 **30 **Circulation dans une ville moderne ** **lycée **calculs de distances dans une ville construite sur un quadrillage, avec des rues à sens uniques.

92 **33 **36 **Distance p-adique : une distance qui n'est pas habituelle. ** **lycée **si la proximité entre deux entiers ne se mesure plus par la taille de leur différence mais par des propriétés de divisibilité, quelle est la géométrie produite dans l'ensemble des entiers ?

Échos à propos de ce sujet

92 **37 **38 **The Golden Section ** **lycée **le nombre d'or

92 **39 **41 **The Fibonacci series ** **lycée **la suite de Fibonacci et ses liens avec le nombre d'or

92 **42 **42 **Math and music ** **tous **le nombre d'or et la suite de Fibonacci en musique

92 **43 **45 **Maths et musique ** **lycée **les rapports entre quintes et octaves

92 **47 **48 **La somme des n premières racines ** **lycée **précision diabolique pour calcul approché.

92 **49 **52 **Brachistochrone : le chemin le plus court est-il toujours le plus rapide ? ** **lycée **on arrive plus vite en bas d'un toboggan s'il est en forme de cycloïde que s'il est rectiligne

92 **53 **58 **Perspective ** **lycée **utilisation de Cabri-géomètre pour voir un cube et ses sections par un plan

92 **59 **59 **L'optique et la perspective ** **lycée **dessiner un cube tel que le voit notre ¦il

92 **61 **63 **Éclairement d'objets ** **lycée **quelle est l'ombre d'un cube ou d'une sphère sur le plan ?

92 **65 **68 **Constructions mécaniques ** **tous **construction d'un pentagone régulier avec le seul compas

92 **69 **72 **Espace à deux dimensions ** **tous **un robot plat se déplace dans un plan et tâche de comprendre ce qu'il y rencontre : polygone, courbe, Š

92 **73 **77 **Constructions mécaniques ** **tous **des appareils qui font les transformations géométriques (translations, symétries, Š)

92 **79 **82 **Rigidité ** **tous **si les arêtes sont des barres et les sommets des articulations, combien de barres ajouter à un polygone ou un polyèdre pour l'empêcher de se déformer ?

92 **83 **84 **Flexibilité des grilles ("treillis") ** **tous **si une grille est réalisée avec des barres articulées, combien faudra-t-il ajouter de barres diagonales pour l'empêcher de se déformer ?

92 **85 **87 **Frises et pavages dans le plan ** **tous **quelles sont les propriétés géométriques des frises ? et comment réaliser le plus simplement possible un pavage par des carrés ou des triangles ?

92 **89 **93 **Les empilements de sphères ** **tous **comment disposer le maximum de boules dans une boîte ?

92 **95 **97 **Pavement de figures géométriques simples ** **tous **ranger le plus grand nombre de carrés ou de disques dans un carré ou un disque donné

92 **99 **106 **Une belle histoire de polygones et de pixels ** **tous **"texte de professionnel. peut-on dessiner un polygone régulier dont tous les sommets sont sur un quadrillage ?"

92 **107 **110 **Les cinq solides de Platon ** **tous **démonstration de la formule d'Euler ; il existe au plus cinq polyèdres réguliers

92 **111 **114 **Polyèdres ** **tous **démonstration de la formule d'Euler ; il existe au plus cinq polyèdres réguliers

92 **115 **117 **Cristaux et Quasi-Cristaux ** **tous **pavages périodiques ou non-périodiques avec des polygones réguliers

92 **119 **122 **Structures colorées ** **lycée **le théorème des quatre couleurs

92 **123 **123 **Othello ** **tous **présentation du jeu d'Othello/Reversi

92 **124 **130 **Reversi ** **tous **étude du Reversi réduit à un plateau de quatre cases sur quatre cases

92 **131 **132 **Le jeu de Nim ** **tous **étude du jeu de Nim

92 **133 **140 **Méca en jeans : Lubrification d'un mécanisme en impesanteur par circulation d'huile et recyclage de l'huile. ** **tous **préparation d'une expérience à faire en état d'impesanteur avec la caravelle zéro-g du CNES

92 **141 **144 **DES PONTS, DES PORTES, Š DES GRAPHES. ** **tous **des circuits eulériens et hamiltoniens

92 **145 **148 **Voyage en Polyminie. ** **tous **des puzzles à faire avec des polyminos

92 **152 **154 **MARCHE : La géométrie du pixel. ** **tous **qu'est-ce qu'une droite si les points ne sont plus des points mais des pixels ?

92 **155 **157 **MARCHE : Partitions d'un entier. ** **tous **quelles sommes peut-on payer si on ne dispose que de deux types de pièces ?

92 **158 **159 **MARCHE : Pythagore ** **tous **le théorème de Pythagore envisagé dans le cas du plan, dans le cas de la sphère, ou encore avec des pixels

92 **161 **165 **A propos de cercles, sphères, photo, miroir, Š Deux noms barbares : inversion et projection stéréographique ** **lycée **texte de professionnel

92 **167 **172 **Flashes de géométrie. Combien méchant peut être un convexe ou quel est le convexe le moins rond ? ** **lycée **texte de professionnel

92 **177 **180 **atelier "MATh.en.JEANS" ** **tous **"MATh.en.JEANS / congrès tresses et brenoms"

Échos à propos de ce sujet

1993 (sujets présentés suivant la pagination des Actes MATh.enJEANS 1993 )

93 **13 **17 **Quels polygones sont formés par les milieux des côtés d'un autre polygone ? ** ** **cas du quadrilatère, d'un polygone convexe, non-convexe, régulier ; que deviennent le périmètre et l'aire ?

93 **19 **24 **¼ ** ** **diverses méthodes "physiques" d'encadrement de ¼

93 **25 **31 **aires, volumes : découpages ** ** **découpages de figures pour en reconstituer une

autre ; découpage d'un pavé pour reformer un cube.

93 **33 **36 **partie de cache-cache avec le "cabricube" ** ** **utiliser cabri-géomètre pour voir et déplacer un cube sur un écran

93 **37 **40 **les ombres ** ** **trouver des objets différents qui font la même ombre, où que se trouve la source lumineuse (ponctuelle)

93 **41 **44 **d'Escher aux pentaminos ** ** **pavage du plan par des chats ; pavage d'un rectangle ou du plan par des pentaminos ; constitution d'un pavé avec des pentacubes

93 **45 **49 **pavages non périodiques ** ** **trouver des pièces en nombre limité qui permettent de réaliser un pavage non-périodique et ne permettent pas de réaliser un pavage périodique

93 **51 **59 **la géométrie par les formules ** ** **à la manière de Taurinus, partant de formules "cohérentes" de trigonométrie, retrouver une géométrie à laquelle elles s'appliquent

93 **61 **67 **les brenoms ** ** **niveau 6°-5° Š on écrit des suites de chiffres illimitées vers la gauche et on tente de leur appliquer les opérations classiques ; quels sont les brenoms qui multipliés par eux-mêmes de changent pas ?

Échos à propos de ce sujet

93 **68 **68 **"les brenoms : racine carrée" ** ** **niveau 6°-5° Š quelles sont les racines carrées de Š0001 ?

Échos à propos de ce sujet

93 **69 **71 **Existe-t-il un autre brenom que Š0002 qui soit ˆŠ0004 ? ** ** **niveau 2° Š réponse à l'aide d'un nouvel arbre : le chiffrier

Échos à propos de ce sujet

93 **73 **77 **les brenoms ** ** **niveau Tle/Sup Š des isomorphismes à la poursuite des brenoms inversibles et des racines carrées

Échos à propos de ce sujet

93 **79 **83 **Par combien de zéros se termine N! ? ** ** **obtention d'une formule après des essais à la main et à la machine

93 **85 **86 **somme des chiffres ** ** **un algorithme simple pour connaître la parité de la somme des chiffres d'un nombre quand celui-ci est écrit en base 2

93 **87 **95 **2 puissance n commence par Š ** ** **trouver une puissance entière de 2 qui commence par 7777, ou par n'importe quel autre nombre entier positif

93 **97 **100 **2 puissance n finit par Š ** ** **34, 118 ou 492 peuvent-ils figurer à la fin d'une puissance de 2 ?

93 ** 101 ** 103 ** les suites de Fibonacci** ** **où des couples de lapins donnent naissance au nombre d'or

93 **105 **108 **Gagner au Jeu de Nim, par Daniel E. Loeb ** ** **"texte de professionnel. un cochon jaune et une addition inhabituelle pour venir à bout de piles d'allumettes"

93 **109 **115 **approximations des réels par des fractions continues ** **collège **réduites de 4,775, de ˆ2, de ¼ ; formules de récurrences.

93 **117 **121 **l'infini ** **lycée **cardinaux des ensembles de nombres ; bijections entre intervalles de R, entre segments ; divergence de la série harmonique (lycée Racine, Paris et Lycée Jean Jaurès Argenteuil 1990)

93 **123 **125 **partition des entiers ** **tous **partager les entiers en deux ensembles disjoints, le deuxième contenant tous les doubles des nombres du premier ; partitions similaires, en deux ou plusieurs ensembles

93 **127 **133 **les polyminos ** **tous **quels sont les carrés, les rectangles, ou d'autres formes plus "découpées" que l'on peut recouvrir complètement avec des dominos (sans les faire se chevaucher) ?

93 **135 **138 **et si on coloriait un tore ? ** **tous **quel est le nombre minimum de couleurs qui permette de colorier n'importe quelle carte dessinée sur le tore sans que deux régions voisines ne soient coloriées avec la même couleur ?

93 **139 **142 **les chemins dans les graphes ** **tous **quels sont les graphes que l'on peut parcourir en passant une fois et une seule sur chaque arête ?

93 **143 **145 **le parcours du cavalier ** **tous **comment parcourir toutes les cases d'un échiquier (rectangulaire) en utilisant la marche du cavalier du jeu d'échecs ?

93 **147 **149 **le sac à dos ** **lycée **combien d'objets de chaque type se trouvent dans le sac à dos, si on connait le poids de chaque type d'objet ?

93 **151 **155 **réussite africaine ** **tous **(variante de l'awele) quelles sont les positions gagnantes ?

93 **157 **159 **le problème de Syracuse ** **lycée **choisissez un nombre ; s'il est pair, divisez-le par 2, s'il est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1 au résultat ; recommencez ; recommencez ; recommencez Š

93 **163 **167 **OULIPO ** **tous **16382 sonnets et un chat noir pour un théorème de Thalès à la mode de Queneau

93 **169 **173 **les culbutos NEWS ** **tous **un cube se déplace dans un échiquier par des culbutes autour de ses arêtes ; une série de culbutes permettra-t-elle de l'amener à la case voulue avec l'orientation voulue ?

93 **175 **176 **surfaces paramétrées ** **lycée **paramétrages de coquilles d'escargots

93 **177 **179 **les pixels ** **collège **quels sont les points à coordonnées entières sur des cercles de rayons entiers ?

93 **181 **185 **les tresses ** **lycée **étude du groupe des tresses

93 **187 **189 **le calculateur géométrique ** **collège **avec Cabri-géomètre, trouver une manière géométrique d'obtenir une somme, une différence, un quotient, une racine carrée, Š

93 **191 **194 **l'harmonium à deux dimensions ** **tous **des nombres donnés sur le bord d'une grille se propagent à l'intérieur ; les symétries du bord se propagent-elles aussi ? si on ajoute les bords de deux grilles, que devient l'intérieur ?

93 **195 **197 **marche au hasard ** **lycée **sur une droite, un point se déplace aléatoirement d'une unité vers la gauche ou vers la droite ; étudier la distance moyenne parcourue depuis l'origine

93 **211 **217 **Math en Jeans ou Profs et chercheurs en jeans ?, par Jacqueline Zizi ** ** **MATh.en.JEANS / congrès

93 **219 **220 **des chercheurs et un laboratoire de mathématiques dans un lycée, par Jean-Claude Oriol ** ** **MATh.en.JEANS / congrès

93 **221 **222 **les chryzodes ** ** **MATh.en.JEANS / congrès

1994 (sujets présentés suivant la pagination des Actes MATh.enJEANS 1994)

94 **7 **12 **bip, bip, échanges de fax entre congressistes ** ** **"avec : le problème du sofa, résoudre 1994^2 + b^2 = c^2 etc."

94 **33 **35 **cercles et triangles &emdash; collège Victor Hugo, Noisy-le-Grand / compte-rendu lycée Louise Michel, Bobigny ** ** **trois cercles étant donnés, peut-on déplacer un triangle donné pour amener chacun de ses sommets sur un des cercles ?

94 **37 **40 **les pentaminos &emdash; lycée Alfred Kastler, Cergy ** **tous **quels sont les pentaminos qui permettent de paver une bande ?

94 **41 **43 **a² + b² = c² &emdash; Frederiksborg Gymnasium, Hillerød ** ** **"triplets pythagoriciens, triangles archimédiens en anglais"

94 **45 **50 **communication sur une grille &emdash; collèges l'Ardillière de Nézant, Saint Brice sous Forêt et Condorcet, Pontault-Combault ** **collège **arithmétique et vecteurs pour diffuser l'information sur une grille

sujet O2C01 du Laboratoile -> Documents et échos disponibles

94 **51 **54 **les puits dans le désert &emdash; collèges l'Ardillière de Nézant, Saint Brice sous Forêt et Condorcet, Pontault-Combault / compte-rendu lycée Georges Braque, Argenteuil ** ** **quel est le chemin le plus court pour relier trois points ?

94 **55 **57 **comment paver le tore &emdash; module-recherche, Seconde, lycée Pablo Neruda, Saint Martin d'Hères ** **tous **paver un tore avec un pentamino

94 **59 **64 **longueurs, aires, volumes : le tore &emdash; module-recherche, Seconde, lycée Pablo Neruda, Saint Martin d'Hères ** **collège **calcul du volume du tore, avec ou sans le principe de Cavalieri

94 **65 **70 **le volume des pyramides &emdash; collège Victor Hugo de Noisy-le-Grand ** **collège **calcul du volume d'une pyramide à base quelconque par un découpage en tétraèdres

94 **71 **72 **comment couvrir un rond avec des ronds ? &emdash; module-recherche de Seconde du lycée Pablo Neruda de Saint Martin d'Hères ** **tous **recouvrir un disque de diamètre 3,4 avec 5 disques de diamètre 2

94 **73 **74 **les articles auxquels vous avez échappé, par ** ** **énoncés de sujets

les articles auxquels vous avez échappé [NDLR : des articles ne nous sont pas parvenus, mais peut-être n'ont-ils pas été écrits. Pourtant, nous avions eu les compte-rendus de certains de ces exposés par leurs parrains, et/ou les sujets qui avaient été proposés. Voici ce dont il s'agit.]

* triangles à côtés entiers, par le lycée La Fontaine de Paris.

Sujet :

Déterminer les triplets d'entiers (p, q, r) qui représentent les longueurs des 3 côtés d'un triangle rectangle.

* la géométrie du pixel, par le lycée Jean Jaurès d'Argenteuil.

Sujet : Comment tracer et/ou connaître des droites sur un écran d'ordinateur ? Quelles sont les propriétés géométriques conservées, non conservées ?

Compte-rendu de l'exposé par les parrains du groupe : lycée G. Braque

&emdash; Le sujet traite des pixels unité appartenant à un écran d'ordinateur. Ce sujet du moins très intéressant n'a pas été malheureusement plus amplement traité, effectivement savoir si les propriétés observées sur une feuille (la réalité) se conservaient en changeant de plan. Ce sujet reste à explorer.

&emdash; Titre : les piscèles. Sujet très intéressant, bien étudié. On a compris ce qu'étaient les pixels.

[NDLC : les pixels, oui, et les piscèles ?]

&emdash; On a appris ce qu'étaient les pixels, moi et mon groupe, le rapport entre l'informatique et les mathématiques.

&emdash; grâce à cet exposé, je connais maintenant ce que c'est un pixel [NDLC : égoïste]

* distance sur un réseau, par le lycée Jean Jaurès d'Argenteuil.

Compte-rendu de l'exposé par les parrains du groupe : CLG de Nézant

le but de cette recherche est de trouver des points sur une droite tous à égale distance d'autres points déterminés : trouver une médiatrice à ces points.

* rapprocher des disques diminue-t-il la surface couverte ?, par le lycée Edouard Herriot de Voiron.

* la bouée, par le collège l'Ardillière de Nézant de Saint Brice sous Forêt et le collège Condorcet de Pontault-Combault.

Comment déterminer le volume d'une bouée ?

* symétries du ballon de foot, par le lycée Georges Braque d'Argenteuil.

traduction :

Le buckyball est un icosaèdre tronqué, c'est-à-dire un solide composé de 20 triangles équilatéraux et 12 pentagones. Notre but est de trouver toutes les transformations géométriques qui conservent ce ballon.

Si vous voulez construire un ballon de foot, prenez exemple sur ce schéma où il suffit de rejoindre lettre à lettre.

* aires et volumes, par le lycée Jean Jaurès d'Argenteuil.

Sujet :

Comment calculer "à la main" l'aire ou/et le volume d'objets ?

* surveillance d'une galerie, par le lycée La Fontaine de Paris

Sujet : Soit P un polygone. On note G(P) le nombre minimum de gardiens nécessaires pour surveiller P. Soit n „ 3 un entier. On pose g(n) le maximum des valeurs G(P) pour les polygones à n côtés. Calculer g(n). Déterminer un algorithme permettant de "placer" les gardiens.

Compte-rendu de l'exposé par les parrains du groupe : lycée L. Michel

Problème : quel est le nombre minimum de gardiens nécessaires pour surveiller une galerie d'art, polygone non croisé à n côtés ?

Tout d'abord deux cas se présentaient :

1.&emdash; les gardiens doivent surveiller l'intérieur de la galerie : dans ce cas le nombre minimum de gardiens est G = [n/3˜ (plus grand entier inférieur ou égal au nombre de côtés du polygone connexe sur 3)

2.&emdash; les gardiens doivent surveiller l'extérieur : dans ce cas le nombre de gardiens est [n+1 /3]. Il faut noter que ce dernier résultat a été donné sans une véritable démonstration car deux questions sont restées sans réponse :

&emdash; "à quoi cela sert de numéroter des triangles ?"

&emdash; "que se passerait-il si l'on tenait compte de l'angle de vision de chaque gardien ?"

P.S.: l'exposé était clair de la part des élèves.

* les brenoms, par le lycée Gustave Monod d'Enghien.

Sujet :Voici un nombre : 123456. Civoi nu brenom : 654321. Qu'en pensez-vous ? Lecifa !

Échos à propos de ce sujet

* brenoms, par le lycée Edouard Herriot de Voiron [NDLR : l'absence d'articles sur les brenoms ne portera sans doute pas préjudice à MATh.en.JEANS, puisque les actes du congrès 1993 à l'école polytechnique contenaient 3 articles sur ce sujet, avec 3 niveaux d'écriture : 6°, 2°, Sup.]

Échos à propos de ce sujet

94 **75 **82 **des points fixes &emdash; lycées Saint Exupery et Jean Moulin, Lyon ** **lycée **recherches des points fixes pour une application dans {1,Š,n}, puis dans [0,1]

94 **83 **86 **IFS (1) présentation générale &emdash; APTIC "Exploration Mathématique", lycée Louise Michel, Bobigny / compte-rendu collège Victor Hugo, Noisy-le-Grand ** **lycée **opérateur de Hutchinson

94 **87 **91 **IFS (2) distance de Hausdorff et application dans les IFS &emdash; APTIC "Exploration Mathématique", lycée Louise Michel, Bobigny ** **lycée **distance de Hausdorff entre deux figures ; théorème du point fixe ; collage

94 **93 **96 **IFS (3) génération aléatoire des IFS &emdash; APTIC "Exploration Mathématique", lycée Louise Michel, Bobigny ** **lycée **utilisation des probabilités pour rendre le dessin bien homogène

94 **97 **100 **les arbres &emdash; collège Victor Hugo, Noisy-le-Grand / compte-rendu collège Louis Bouland, Couloisy ** **tous **somme et successeur chez les arbres

94 **101 **102 **chemins et circuits hamiltoniens &emdash; lycée Alfred Kastler, Cergy / compte-rendu lycée Jean Jaurès, Argenteuil ** **tous **passer une fois et une seule par chaque sommet d'un des cinq polyèdres platoniciens

94 **103 **104 **labyrinthes &emdash; collège Louis Bouland, Couloisy / compte-rendu lycée Louise Michel, Bobigny ** **tous **exploration d'un labyrinthe de type mots croisés grâce à un arbre

94 **105 **111 **le pliage de papier &emdash; lycée Jean Jaurès, Argenteuil / compte-rendu lycée Alfred Kastler, Cergy ** **lycée **des pliages de papiers qui conduisent à la courbe du dragon et d'autres courbes

94 **113 **118 **du pli aux fractales &emdash; DEUG A1, Université, Aix-Marseille II ** **tous **la chasse au dragon est ouverte : accélérer le programme du dessin

94 **119 **120 **casier à bouteilles &emdash; atelier de géométrie, lycée Pablo Neruda, Saint Martin d'Hères ** **tous **étudier la géométrie de l'empilement de bouteilles dans une caisse

94 **121 **125 **le jeu d'awele &emdash; lycée Corneille, Rouen / compte-rendu collège Victor Hugo, Noisy-le-Grand ** **tous **(variante de l'awele) boucles infinies et stratégies gagnantes

94 **127 **129 **Quarto &emdash; lycée Corneille, Rouen / compte-rendu collège Victor Hugo, Noisy-le-Grand ** **tous **seize pièces différenciées selon quatre critères, sur un échiquier de seize cases, et deux joueurs

94 **131 **132 **découpage d'un cercle en régions &emdash; lycée La Fontaine, Paris ** **lycée **nombre maximum de régions créées dans un disque en reliant n points du cercle ?

94 **133 **134 **les carrés magiques &emdash; lycée Val de Seine, Grand Quevilly ** **tous **opérations sur les carrés magiques

94 **135 **138 **chiffres, symétries et différences &emdash; lycée Val de Seine, Grand Quevilly et lycée Corneille, Rouen / compte-rendu collège Victor Hugo, Noisy-le-Grand ** **tous **on soustrait à un nombre un autre nombre obtenu en disposant les chiffres du premier différemment ; on recommence avec le résultat ; on recommence ; etc.

94 **139 **143 **nombres congruents &emdash; lycée Georges Braque, Argenteuil / compte-rendu lycée Jean Jaurès, Argenteuil & compte-rendu lycée Alfred Kastler, Cergy ** **lycée **recherche de triangles rectangles à côtés tous rationnels et à aire entière

94 **145 **148 **les fractions continues (1) &emdash; lycée Georges Braque, Argenteuil / compte-rendu lycée Jean Jaurès, Argenteuil ** **collège **développement de ˆn en fraction continue

94 **149 **153 **les fractions continues (2) &emdash; collège Victor Hugo, Noisy-le-Grand ** **collège **réduites des fractions continues du type [1,a,a,Š,a] et du type [a,a,Š,a]

94 **155 **162 **équation de Pell-Fermat &emdash; lycée Georges Braque, Argenteuil / compte-rendu lycée Jean Jaurès, Argenteuil ** ** **N étant un entier donné, trouver X et Y entiers tels que NX^2±1 = Y^2

94 **163 **165 **calculs modulo n &emdash; lycée Alfred Kastler, Cergy & lycée Jean Jaurès, Argenteuil ** **lycée **définition des classes modulo n, de l'addition et de la multiplication

94 **167 **173 **somme des chiffres &emdash; DEUG A1, Université, Aix-Marseille II ** **tous **étude des sommes des chiffres des multiples de 3 écrits en binaire

94 **175 **179 **problème des Š 101 nombres &emdash; lycées Saint Exupery et Jean Moulin, Lyon ** **lycée **on range les entiers de 1 à 101 dans un ordre arbitraire ; peut-on toujours extraire de cette liste une suite de 11 nombres, pas nécessairement à côté les uns des autres, qui soient dans l'ordre croissant ou dans l'ordre décroissant ?

94 **181 **198 **142857 nombres permutables &emdash; lycée La Fontaine, Paris ** **peu **142857, 428571, 285714, 857142, 571428, 714285 sont des multiples de 142857 Š c'est le point de départ d'un travail qui passe par l'anneau Z/nZ

94 **199 **202 **balade sur le cercle &emdash; lycées Saint Exupery et Jean Moulin, Lyon ** **lycée **étant donnés deux (angles) points du cercle trigonométrique, existe-t-il entre eux un (angle) point dont une des mesures soit un nombre entier de radians ?

94 **203 **205 **les fonctions &emdash; lycée Val de Seine, Grand Quevilly ** **lycée **équations fonctionnelles pour des fonctions de variable réelle ; groupe des permutations d'un ensemble de 3 ou 4 éléments

1995 (sujets présentés suivant la pagination des Actes MATh.enJEANS 1995)

95 **21 **22 **Kangourou en Jeans - Lycées, par M. Pierre Duchet. **ESPACE ** **texte de professionnel

95 **23 **24 **Un rond à couvrir, par M. Pierre Duchet. **ESPACE ** **Quel est le plus grand disque que l'on puisse recouvrir avec six disques, tous les six identiques ?

95 **25 **26 **Histoire de cercles &emdash; module-recherche, 1°S, lycée Pablo Neruda, Saint Martin d'Hères. **ESPACE ** **Quel est le plus grand disque que l'on puisse recouvrir avec des disques, tous identiques ?

95 **27 **28 **Histoire de disques &emdash; module-recherche, 1°S, lycée Pablo Neruda, Saint Martin d'Hères **ESPACE ** **Quel est le plus grand disque que l'on puisse recouvrir avec des disques, tous identiques ?

95 **29 **30 **Disques - Comment couvrir le plus grand disque possible avec un minimum de disques ? &emdash; module-recherche, 1°S, lycée Pablo Neruda, Saint Martin d'Hères. **ESPACE ** **Quel est le plus grand disque que l'on puisse recouvrir avec des disques, tous identiques ?

95 **31 **35 **Disques à couvrir &emdash; collèges Condorcet, Pontault-Combault et Victor Hugo, Noisy-le-Grand **ESPACE ** **Quel est le plus grand disque que l'on puisse recouvrir avec des disques, tous identiques ?

95 **37 **39 **Musées à surveiller, par M. Pierre Duchet. **ESPACE ** **Combien de gardiens doit-on embaucher pour surveiller tous les murs d'un musée ?

95 **41 **44 **Quelques découpages, par M. Pierre Audin. **ESPACE ** **"texte de professionnel. comment découper un disque en parts égales sans passer par le centre ?"

95 **45 **50 **Quel est le plus grand carré contenu dans un cube ? &emdash; collèges Condorcet (77340 Pontault-Combault) et Victor Hugo (93160 Noisy-le-Grand). **ESPACE ** **

95 **51 **54 **Treillis &emdash; par M. Yann Ollivier, lycée Gustave Monod (95870 Enghien les Bains). **ESPACE ** **Combien de diagonales fixer à des losanges articulés pour qu'ils deviennent tous des carrés ?

95 **55 **62 **Démonstration de la formule d'Euler. Polyèdres platoniciens. &emdash; atelier "Exploration Mathématique" du lycée Louise Michel (93 Bobigny). **ESPACE ** **Les polyèdres de Platon ne sont que 5. Pourquoi, comment ?

95 **63 **81 **Polyèdres et formule d'Euler &emdash; deug A1, université d'Aix-Marseille II. **ESPACE ** **Les polyèdres, les plus quelconques possibles ?

95 **83 **89 **Recherche de polyèdres particuliers &emdash; atelier "Exploration Mathématique" du lycée Louise Michel (93 Bobigny). **ESPACE ** **Du ballon de foot aux polyèdres sans diagonales en passant par les polyèdres à trous.

95 **91 **94 **Le coloriage du tore &emdash; atelier "Exploration Mathématique" du lycée Louise Michel (93 Bobigny). **ESPACE ** **Le tore : un monde fait de 7 pays, où chacun a 6 voisins.

95 **95 **103 **Paris et New York sont-ils les sommets d'un carré ? &emdash; collèges Condorcet (77340 Pontault-Combault) et Victor Hugo (93160 Noisy-le-Grand). **ESPACE ** **C'est quoi, un carré, sur la sphère ?

95 **121 **128 **La vie mode d'emploi &emdash; deug A2, université d'Aix-Marseille II. **combinatoire ** **Le mode d'emploi mathématique d'une écriture oulipienne.

95 **129 **130 **Un carré pour des rectangles, par M. Pierre Duchet. **combinatoire ** **texte de professionnel Un produit, c'est la surface d'un rectangle ; une somme de surfaces, c'est un découpage ; un calcul sur une somme de produits serait-il réalisable sous la forme d'un découpage en rectangles ?

95 **131 **134 **Le cube transpercé &emdash; lycée Val de Seine de Grand-Quevilly. **combinatoire ** **Des tours protectrices de petits cubes.

95 **135 **136 **Empilements de sphères &emdash; lycée Jean Jaurès d'Argenteuil. **combinatoire ** **La meilleure façon d'empiler ?

95 **137 **138 **Kangourou en Jeans - Collèges, par M. Pierre Duchet. **combinatoire ** **texte de professionnel

95 **139 **140 **La règle des signes, par M. Pierre Duchet. **combinatoire ** **"texte de professionnel. Quel ancêtre choisir pour que la pyramide des générations successives produites par la règle des signes contienne autant de + que de &endash; ?"

95 **141 **144 **Les partitions d'entiers &emdash; module de 1°S du lycée Louise Michel (93 Bobigny). **combinatoire ** **4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 = 2 + 2 Š

95 **145 **146 **Le réseau &emdash; module-recherche de Seconde technologique du lycée Pablo Neruda de Saint Martin d'Hères. **combinatoire ** **Si le Vecteur est un agent de transmission d'une information entre points, quels seront les points contaminés ?

Sujet O2C01 du Laboratoile -> Documents et échos disponibles

95 **147 **152 **Cryptographie &emdash; module de 1° S du lycée Louise Michel (93 Bobigny). **combinatoire ** **Mais où sont les codes d'antan où les messages pouvaient être publics mais les clefs devaient rester secrètes ?

95 **153 **158 **La suite de Conway &emdash; deug A2, université d'Aix-Marseille II. **combinatoire ** **CONWAY ; 1C1O1N1W1A1Y ; 111C111O111N111W111A111Y

95 **169 **170 **Les nombres de Fibonacci &emdash; module de 1°S du lycée Louise Michel (93 Bobigny). **NOMBRES ** **Après 1, 2, 3, il y a 5, et tous les autres.

95 **171 **174 **Suites de Fibonacci &emdash; lycées La Fontaine et Buffon (Paris). **NOMBRES ** **La suite des nombres Š

95 **175 **178 **Quels nombres ont une forme carrée ? &emdash; collèges Condorcet (77340 Pontault-Combault) et Victor Hugo (93160 Noisy-le-Grand). **NOMBRES ** **Š ou combien de points entiers peut-il y avoir dans un carré ?

95 **179 **182 **Fractions continues &emdash; lycée Saint Exupéry (69 Lyon). **NOMBRES ** **Une autre façon d'écrire les nombres et d'en trouver des approximations avec des fractions.

95 **183 **186 **L'aiguille de Buffon &emdash; lycées La Fontaine et Buffon (Paris). **NOMBRES ** **Quand on vous dit que ¼ est partout ; une expérience banale de statistiques pour un Comte avide de chiffres.

95 **187 **189 **Pile ou face &emdash; lycée La Fontaine (Paris) ou lycée Buffon (Paris) ? **NOMBRES ** **Une balade aléatoire dans les fortunes de deux joueurs.

95 **191 **193 **Marche aléatoire &emdash; lycées La Fontaine et Buffon (Paris). **NOMBRES ** **Des graphiques en escaliers pour une marche à pile ou face.

95 **221 **223 **Promenade aléatoire dans un labyrinthe : mise en recherche, par M. Pierre Duchet. **ANNEXES ** **"MATh.en.JEANS / congrès. Présentation d'un sujet de recherche à des enseignants pour leur mise en recherche. Peut-on sortir d'un labyrinthe en l'explorant au hasard ?

95 **225 **229 **Des sujets de recherche, des comptes-rendus des groupes parrains sur les exposés au Congrès. **ANNEXES ** **

Voici des sujets qui ont été présentés au congrès 1995, et dont nous avons seulement le compte-rendu qu'en ont fait d'autres élèves (les parrains du groupe dont nous espérions l'article). A défaut de disposer du sujet précis sur lequel les élèves démarrèrent leur travail, on peut avoir une idée de ce que des élèves peuvent faire d'un tel sujet.

jeu de la vie

Betous Carole, Betous Dorothée et Cornet Bénédicte, élèves du lycée Val de Seine à Rouen, ont étudié le sujet suivant : "Le jeu de la vie". Il s'agit d'observer l'évolution de cellules dans un quadrillage fini, une case ne pouvant comporter qu'une de ces cellules.

Les règles suivantes permettent de jouer :

€ 1 cellule continue à vivre si elle est entourée par 2 ou 3 cellules voisines

€ 1 cellule meurt si elle est entourée par moins de 2 cellules voisines ou par plus de 3

€ 1 cellule naît dans une case vide entourée par 3 cases remplies.

Leur exposé consistait à expliquer l'évolution et, notamment les différents déplacements des cellules (figure mouvante, stable et périodique Š)

(Présentation de Mustapha Laajaj, David Bernardo et Lim Siek-Hi du collège Victor Hugo.)

pavages de l'échiquier

Il est question, dans cet exposé, de paver un échiquier avec des dominos. Il y a un nombre pair de cases sur l'échiquier ainsi que des dominos rectangulaires avec 2 cases (2 carrés). Le but est de "paver" ; recouvrir l'échiquier à l'aide de ces dominos. Ils ont trouvé, lors de leurs recherches, une méthode qu'ils n'ont pas démontrée.

Cet exposé a été clair et très compréhensible. Nous avons toutes (nous sommes 6) trouvé cet exposé intéressant, pas trop long et sympa.

(groupe "Partitions d'entiers" de Bobigny.)

solitaire

Ce groupe a débuté en appliquant les règles du jeu "Solitaire" puis en faisant une démonstration jusqu'à la fin du jeu, le but n'était pas atteint car il restait sur la grille plusieurs pions au lieu d'un.

Ils se sont demandés, en cherchant une solution pour gagner, pourquoi ne partiraient-ils pas de la fin ? Ils ont cherché avec 2, 3 et 4 pions, ils ont trouvé 1 configuration pour 2 pions, 2 pour 3 et 5 pour 4.

Sébastien, Laurent, Vincent et leur professeur M. Cheval du collège Gaëtan Denain à Compiègne, aidés du chercheur M. Villon, vont conclure en disant qu'ils se sont arrêtés à chercher avec d'autres nombres de pions car il y avait trop de solutions dues aux axes de symétrie.

(groupe parrain "Disques à recouvrir")

&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;&emdash;

Questions des parrains à nous. Ils nous ont interrogés :

1.&emdash; sur notre prénom

2.&emdash; sur notre âge

3.&emdash; sur le sujet

4.&emdash; sur la règle

5.&emdash; sur le nombre de pions dans le jeu

6.&emdash; sur la recherche

7.&emdash; sur la solution

(groupe "Solitaire")

mastermind

Avec 1 heure par semaine depuis le mois de novembre 1994, David et Anne-Marie, deux élèves du lycée Corneille de Rouen se sont penchés sur un sujet appelé Master Mind.

Il s'agit d'un jeu qui fait appel à l'intuition et à la déduction pour trouver la combinaison de l'adversaire en un minimum de coups possible.

Cette combinaison est composée d'un certain nombre de pions de couleurs différentes.

Ils ont commencé par 2 pions et 2 couleurs. Pour schématiser leur expérimentation, ils ont utilisé des arbres.

Les résultats étaient très convaincants.

Finalement, ils n'ont pas trouvé de méthode pour réussir le jeu normal (5 pions, 7 couleurs) mais seulement pour un jeu à 2 pions et 3 ou 4 ou 5 couleurs.

(compte-rendu de Isabelle Ang, Siek-Thor Lim, Elinne Lin, Raphaël Nicole, Sayana Pen, Céline Phong, Aurélien Pic, Raymond Ros. Collège Victor Hugo, Noisy-le-Grand et collège Condorcet, Pontault-Combault)

chiffres et carrés

Problème : trouver x, y et b dans N tels que (xx_b)² = (yyyy_b)

L'exposé était d'autant plus agréable que pour un sujet si difficile les explications furent très claires. Les voix étaient vivantes et les transparents bien présentés, le tableau bien utilisé. Bref ce fut l'un des meilleurs exposés de ce dimanche.

approximation de nombres réels

Comment faire pour approximer les nombres irrationnels ? C'est la question que se sont posée 2 groupes des lycées Buffon et La Fontaine de Paris. Ils ont trouvé plusieurs méthodes pour approximer ˆ2 : par dichotomie, fraction continue Š

(Groupe « Chiffres et carrés » Rouen, lycée Corneille, Jérémie Cosmao, Paul François.)

premiers chiffres d'un nombre

Cet exposé s'est décomposé en 3 parties :

€ une, pratique, s'appuyant sur des prix d'un catalogue d'articles Æ le "1" ressort le plus souvent.

€ une application sur calculatrice, ceci sur différents intervalles :

[0, 100] . équiprobabilité des 9 chiffres

[0, 200] . le 1 ressort le plus souvent

[0, 500] . 1, 2, 3 et 4 sortent le plus souvent.

€ Puis graphique avec courbes d'apparition des chiffres 1, 5 et 9 quand l'intervalle varie.

Þ le 1er chiffre d'un nombre sort en fonction de l'intervalle choisi.

(Buffon - La Fontaine)

différences

On prend un nombre a de 4 chiffres ; on les classe dans l'ordre croissant et dans l'ordre décroissant ; on fait une soustraction.

Exemple : 1995

9951

- 1599

8352

8532

- 2358

6174

7641

- 1467

6174

Il montre que :

si le chiffre des milliers moins l'unité = 6

et les centaines - les dizaines = 2

alors on obtient directement 6174 dès la première soustraction.

Avec 5 chiffres cela fait un cycle de 4 nombres.

Ils ont fait une démonstration avec un programme informatique avec tous les nombres à 4 chiffres. (...)

(compte-rendu du groupe infini, d'Argenteuil : Hocine Tazibt et Benoit Mariette. « L'infini c'est très grand surtout vers la fin »)

95 **231 **232 **Le Sofa, par M. Pierre Duchet. **ANNEXES ** **texte de professionnel

1996 (sujets présentés suivant la pagination des Actes MATh.enJEANS 1996)

96 **15 **17 **La forme des nombres ** ** **Quels nombres peuvent obtenir une forme agréable ?

96 **19 **24 **Du carré à l'escalier ** ** **Une boîte carrée contient des cubes identiques disposés sur une seule couche. On désire utiliser tous ces cubes pour fabriquer un "escalier".

96 **25 **32 **Les nombres p-adiques ** ** **On utilise p chiffres (p premier). Sur le même principe que l'écriture décimale avec virgule, on considère les suites de chiffres (éventuellement illimitées vers la gauche).

Échos à propos de ce sujet

96 **33 **44 **Cercles modulo p ** ** **L'équation x² + y ² = 1 (cercle de rayon 1) n'a que quatre solutions en nombres entiers. A-t-on plus de solutions lorsque qu'on calcule modulo p (p premier fixé) ?

96 **45 **52 **Des doigts jusqu'au supercalculateur Š ** ** **Des systèmes mécaniques plus ou moins ingénieux ont permis à l'homme de compter et de calculer.

96 **53 **58 **Systèmes balançaires ** ** **En mettant certains poids tous différents, à droite, à gauche ou pas du tout, on arrive à « peser » un nombre. Une pesée permet de coder un nombre à l'aide de trois signes : "droite", "gauche", "pas du tout".

Échos à propos de ce sujet

96 **59 **62 **Numération : bases standards et exotiques ** ** **La suite de Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, Š) est un système possible de poids marqués.

Échos à propos de ce sujet

96 **63 **66 **Sommes d'ensembles de nombres ** ** **Additionner A = {3, 5} et B = {3, 6, 8}, c'est former un nouvel ensemble A + B = {6, 8, 9, 11, 13} avec les résultats des additions de nombres pris dans A et dans B. Additionnons plusieurs fois un même ensemble.

96 **67 **71 **Combinatoire autour du problème "007" ** ** **De combien de manières un nombre N (par exemple 007) peut-il s'exprimer comme somme de p nombres plus petits (par exemple 0+0+7) ?

96 **73 **78 **Carrés magiques ** ** **On réussit à disposer des nombres sur une figure pour que toutes les lignes remarquables de la figure aient la même somme.

96 **79 **79 **Points à distances toutes entières ** ** **Peut-on mettre des points non tous alignés dans le plan de telle manière que les distances entre deux de ces points soient des nombres entiers ?

96 **103 **110 **Tous les nombres peuvent-ils s'écrire sous forme de fractions ? ** ** **

96 **111 **116 **Les suites de Farey ** ** **Comment s'approcher le mieux possible d'un nombre arbitraire par une fraction à petits nombres ?

96 **117 **120 **Approximation par des fractions : racines carrées ** ** **Comment peut-on approcher au mieux ces nombres irrationnels ?

96 **121 **124 **Piéger un rayon lumineux ** ** **Peut-on imaginer un miroir qui prendrait un rayon lumineux au piège, qui ne renverrait aucune image ?

96 **125 **130 **Trajectoires périodiques et billard triangulaire ** ** **Comment obtenir dans un triangle des trajectoires de particules qui, périodiquement, rebondissent sur les parois ?

96 **131 **139 **Billards lumineux ** ** **Lorsque la direction d'envoi d'un rayon lumineux est choisie "au hasard", on s'attend à ce que la trajectoire passe presque partout.

96 **141 **141 **Statistiques expérimentales ** ** **Si un dé est truqué, comment s'en apercevoir ?

96 **143 **143 **Sauts de puce aléatoires ** ** **Une puce se déplace sur une règle en sautant au hasard.

96 **145 **150 **Stratégie au jeu de pile ou face ** ** **Peut-on bien jouer à pile ou face ?

96 **151 **155 **Modélisation du hasard ** ** **Qu'est-ce que le hasard ?

96 **169 **174 **Formes philippines ** **

1997 (sujets présentés suivant la pagination des Actes MATh.enJEANS 1997)

p. 7 les sans 9

p. 9 les suites de Conway Échos à propos de ce sujet

p. 13 la suite de Conway Échos à propos de ce sujet

p. 19 équation de Pell-Fermat

p. 23 les entiers naturels qui sont sommes de deux carrés

p. 27 les carrés

p. 29 les nombres carrés

p. 33 les chaînes d'additions

p. 35 fractions égyptiennes

p. 39 problème de Syracuse

p. 41 somme des cubes de chiffres (voir aussi p. 147)

p. 47 un cube parfait ?

p. 53 le codage binaire

p. 57 exemples de surfaces minimales

p. 65 coloriage de cartes

p. 67 le sofa

p. 73 le chemin le plus rapide

p. 77 jeux de miroirs

p. 81 alerte à la DDE

p. 85 les pavages

p. 89 les pavages périodiques

p. 93 pavages avec symétrie de rotation.

pavage de Kepler. spirales

p. 99 mosaïque

p. 101 les rep-tiles

Plusieurs exemplaires d'une même figure peuvent parfois s'assembler pour former une nouvelle figure de forme identique à la première. De telles "tuiles reproductrices" (rep-tiles) permettent de paver le plan tout entier ; comment en construire ?

p. 105 le pavage du triangle

p. 111 le cube de Sierpinski

p. 115 les pavages (1)

p. 119 les pavages (2)

p. 125 pliage d'un triangle Échos à propos de ce sujet

p. 129 le "plan de coniques"

p. 135 calcul de l'aire d'un parallélogramme en fonction des coordonnées de ses sommets

p. 139 géométrie sur un quadrillage

p. 143 jeu de Nim

p. 147 les cycles (voir aussi p. 41)

p. 149 damiers et cannibales

p. 155 les reines sur un échiquier

p. 157 pavages avec des dominos

p. 161 culbutos (collège Jean Vilar de Villetaneuse (93))

Un cube roule sur un damier, chaque face ayant exactement la taille d'une case ; peut-on, par une suite de basculements (culbutes) faire passer le cube (le culbuto) du coin Sud-Ouest du damier au coin Sud-Est, en retrouvant au dessus la même face dans la même orientation ?

culbutes triangulaires (pas de texte disponible)

Sujet similaire au précédent, traité par le collège Anne Frank de Bussy Saint Georges (77) : il s'agit d'étudier les culbutes d'autres polyèdres que le cube : tétraèdre, octaèdre, icosaèdre et dodécaèdre.

p. 173 le loto sportif

p. 175 Paris et New-York sont-ils les coins d'un carré ?

p. 177 un cube fantôme

p. 179 points à relier

p. 181 rencontre à coût minimum Échos à propos de ce sujet

p. 205 intersections de courbes

p. 213 les n¦uds

p. 219 maths attacks : the return Š

p. 223 mouvement des corps

p. 227 les cadrans solaires

p. 231 Et si on l'écrase ? ou des tentatives pour aplatir une sphère.

1998 (sujets présentés au congrès 1998 sur le site Michel-ange du CNRS)

Le problème de la duplication du cube

Lycées Georges Braque (Argenteuil) & Romain Rolland (Goussainville)

Un cube est donné ; réussirons-nous à construire géométriquement un cube de volume double ? [La géométrie "de la règle et du compas" équivaut à l'étude d'une certaine catégorie de calculs algébriques où, via le théorème de Pythagore, interviennent les racines carrés.]

Le point le plus proche des trois sommets d'un triangle

Lycée de La Mure (38, La Mure)

Quelle forme minimale projetterait la même ombre qu'un berlingot ? Ici, une version triangulaire et plane de cette question. [Le problème voisin " des arbres de Steiner ", toujours actif en Optimisation Combinatoire, revient à déterminer un réseau de longueur minimum passant par des points donnés.]

Cas particulier du Sujet n° 82 du projet "Esp a ce" sur lequel il existe des échos et documents.
Le sujet voisin "points à relier" est le sujet 01S01 du laboratoile sur lequel il existe aussi des échos et documents.

p-adiques

Lycées Pablo Picasso (Fontenay sous Bois) & Romain Rolland (Ivry sur Seine)

D'autres nombres, généralisant les nombres entiers ordinaires écrits en base p, p étant un nombre premier. [ Ces "nombres" s'avèrent très utiles en arithmétique, notamment pour la recherche de critères de primalité.]

Hasard

Collège Elsa Triolet (St Denis), Robespierre (Épinay sur Seine) & Lycée Paul Éluard (St Denis)

Comment vérifier qu'une liste de nombres "au hasard" est "honnêtement" aléatoire ? Comment fabriquer de telles listes ? [ La fabrication d'un "bon" hasard par une machine est un problème de nature paradoxale où des progrès constants sont faits d'année en année.]

Additionner des points sur des courbes

Lycées Pablo Picasso (Fontenay sous Bois) & Romain Rolland (Ivry sur Seine)

Une "cubique" (courbe représentant une équation du 3ème degré) recèle une merveilleuse loi ressemblant à l'addition ordinaire. [ De telles lois se sont révélé très utiles pour l'étude de propriétés de nombres entiers. Elles interviennent par exemple dans la récente preuve par Wiles du fameux "théorème" de Fermat. ]

La distance minimale pour se rencontrer

Collèges Victor Hugo (Noisy-le-Grand) & Condorcet (Pontault-Combault)

Où choisir le lieu de réunion de manière à minimiser, au total, les déplacements de quatre personnes ? [ Ce problème, résolu par Toricelli et Fermat pour 3 personnes, est ouvert pour plus de 6 personnes. ]

Sujet n° 82 du projet "Esp a ce" sur lequel il existe des échos et documents.
Un sujet voisin "points à relier" est le sujet 01S01 du laboratoile sur lequel il existe aussi des échos et documents.

Trajectoires dans un billard

Faculté des Science de Marseille-Luminy (Marseille II, Option DEUG A)

Étude de la succession des rebonds d'une boule de billard, pour diverses formes de tables : phénomène périodique, prévisible ou chaotique ? [Chaque état dépend simplement du précédent. Il est pourtant fort délicat de prévoir l'évolution de ce " système dynamique " : un problème central pour la " Théorie Ergodique ".]

Pavages, I

Lycée Louise Michel (Bobigny) & MJC Daniel André (Drancy)

Fabrication assistée par ordinateur de carrelages colorés du plan à partir d'un seul type de pièce de base, Mosaïques colorées du plan réalisées avec des "triangles flous" identiques, disposés en rond ou en spirale.

Géométrie sur la sphère

Lycées Georges Braque (Argenteuil) & Romain Rolland (Goussainville)

Géométrie bien curieuse, puisque les "droites" y sont courbes, mais bien utile ... surtout depuis que la Terre est ronde. [ Historiquement issues de la question du postulat des parallèles, les " géométries non-euclidiennes " étudient de nos jours les plus courts chemins des espaces courbes de la physique.]

Pavages et polyminos

Lycée de La Mure (38, La Mure)

Les pièces de base d'un puzzle ont toute la même forme, celle d'un morceau de quadrillage. Peut-on assembler un rectangle ? Paver le plan tout entier ? [ Des pavages de même nature pour les espaces à plusieurs dimensions fournissent des " codes " permettant de rectifier les erreurs de transmission de messages numérisés.]

Découpages de polygones

Lycées Georges Braque (Argenteuil) & Romain Rolland (Goussainville)

Deux polygones ont même superficie ; essayez de bien découper le premier pour former le second en recollant les morceaux. [Peut-on découper un cube pour en faire un tétraèdre : une des fameuses questions posées par Hilbert en 1900 ? La réponse, négative, fut donnée par Dehn.]

Sommes des chiffres à partir d'un carré parfait

Faculté des Sciences de Marseille-Luminy (Aix-Marseille II, Option DEUG A)

On pose S(64) = 1 car 64Æ 6+4 =10Æ1+0=1. De même, S(169)=7, etc. Les chiffres S(n¥n) ainsi obtenus apparaissent-ils aussi souvent les uns que les autres ? [ Si des nombres nk ne sont pas "au hasard", on s'attend, dans certains système de numérations, à observer des déviations systématiques pour S(nk) ? Cette problématique est très actuelle en Arithmétique.]

Le chemin le plus rapide

Collèges Victor Hugo (Noisy-le-Grand) & Condorcet (Pontault-Combault)

Une savonnette, située en un point A, glisse sur une rampe, jusqu'à un point B, plus bas. Quelle forme de rampe permet d'arriver en B le plus tôt ? [ Une approche par éléments finis du calcul des variations.]

Cycloïde

Lycée Jean Macé (Vitry-sur-Seine)

La trajectoire d'une rustine sur une roue de bicyclette ... vue par un observateur immobile. [Une courbe intéressante pour des arches de ponts et des pendules parfaits ! Notez que si on observe la trajectoire en se déplaçant avec la bicyclette, on voit une autre courbe fameuse bien connue...]

Planète trésor

Collèges André Doucet (Nanterre) & Paul Éluard (Nanterre)

Comment partager équitablement la surface d'une nouvelle planète avec des pylônes colorés et des câbles ? Deux pylônes reliés ne peuvent être colorés de la même façon. [Une variante du célèbre problème de coloriage des cartes de géographie, étudié en " Théorie des Graphes ".]

Fractions continues

Lycées Pablo Picasso (Fontenay sous Bois) & Romain Rolland (Ivry sur Seine)

Un nombre "réel" quelconque n'est pas toujours une fraction ; les fractions continues permettent de s'en approcher. [Le développement en fraction continue d'un nombre perfectionne l'idée de développement décimal et permet de traiter certains nombres irrationnels par ordinateur.]

Le centre de la France

Collèges Victor Hugo (Noisy-le-Grand) & Condorcet (Pontault-Combault)

Où est-il ? Tout dépend bien sûr de ce que nous convenons d'appeler "point central". Le point cherché devrait en tout cas apporter un certain équilibre...

Le bouchon

Collèges Victor Hugo (Noisy-le-Grand) & Condorcet (Pontault-Combault)

Tous les bouchons flottent-ils couchés ? Certains flottent-ils debout ? [ Trouver une solution "élémentaire" à cette question est certainement difficile. A la manière d'Archimède, nous cherchons une approche géométrico-combinatoire du calcul des volumes et des équilibres de forces.]

Le verger

Collèges Elsa Triolet (St Denis), Robespierre (Épinay sur Seine) & Lycée Paul Éluard (St Denis)

Les arbres sont régulièrement disposés, en quadrillage. Jusqu'où voit-on entre les troncs quand les arbres deviennent plus gros ? [La problématique sous-jacente est l'approximation des nombres réels par des fractions dont les numérateurs et dénominateurs restent petits.]

Polynômes parents

Collèges André Doucet (Nanterre) & Paul Éluard (Nanterre)

A la recherche de lois pour le nombre de coloriages convenables des " Chromo Sapiens " et autres " graphes " de même espèce.

Timbres-poste

Lycées Montaigne (Bordeaux) & Sud Médoc (Le Taillan Médoc)

La Poste édite h séries de timbres de même taille. Sur une enveloppe on peut en coller k. Quelles valeurs choisir pour permettre tous les affranchissements ?

De rebonds en rebonds

Lycées Georges Braque (Argenteuil) & Romain Rolland (Goussainville)

L'histoire d'une balle élastique soumise à la pesanteur et à des règles mathématiques qui expliquent ses mouvements. [Une occasion de comprendre mathématiquement les principes de la mécanique newtonienne qui permettent, entre autres utilités, de faire atterrir une fusée lunaire sur Mars.]

Sur la fragilité des réseaux

Comment construire les réseaux capables de maintenir les communications en dépit d'un nombre donné k de destructions locales ? [ Pour k„3, les théoriciens des " Graphes " ne connaissent pas encore de construction systématique des réseaux de " connectivité " (= "résistance") supérieure à k .]

La courbe des tangentes à une courbe

Lycées Pablo Picasso (Fontenay sous Bois) & Romain Rolland (Ivry sur Seine)

Où l'on verra comment, à l'aide d'une courbe conique, des droites se métamorphosent en points. [ La " Géométrie Algébrique " permet de représenter les droites d'un espace comme les points d'un autre espace, appelé "dual".]

Pavage d'un losange aztèque

Lycées Montaigne (Bordeaux) & Sud Médoc (Le Taillan Médoc)

Imaginez un losange dont les côtés sont des escaliers. Combien de manières pour carreler cette figure avec des dominos (deux fois plus longs que larges) ? [On utilise notamment ce type de modèle pour déterminer statistiquement l'énergie d'un système de particules chargées placées dans un champ magnétique...]

Communication sur une grille

Collège l'Ardillière de Nézant (Saint-Brice-sous-Forêt)

Quels points d'un quadrillage peuvent être informés par des règles données : "1 pas à droite et 3 pas en haut" ou "2 pas à gauche et 2 pas en bas" ... ? [Une version bidimensionnelle d'un célèbre problème de Frobénius en théorie des nombres : exprimer un nombre par combinaison linéaire à coefficients positifs de nombres donnés. ]

Loto-foot

Lycées Montaigne (Bordeaux) & Sud Médoc (Le Taillan Médoc)

Combien de bulletins faut-il pour gagner à coup sûr ? [ Ce problème combinatoire, qui reste ouvert en général, a des applications en planification et en théorie des questionnaires.]

Étude d'écrans.

Collèges Molière (Ivry sur Seine) & Romain Rolland (Ivry sur Seine)

Observer sans être vu ... et autres problèmes de visibilité dans des figures planes avec obstacles. [On pense aux avions furtifs, mais des applications pacifiques de la géométrie de la visibilité sont nombreuses : amortissement d'échos, élimination de parasites, robotique ...]

Chromo Sapiens

Collèges André Doucet (Nanterre) & Paul Éluard (Nanterre)

Le coloriage de nouveaux hominidés faits de lampes et de fils, avec le moins de couleurs possible : deux lampes reliées doivent toujours être de couleurs différentes. [Le célèbre problème combinatoire des 4 couleurs est maintenant résolu mais la question du coloriage simultané des pays d'une carte terrestre et de leurs colonies lunaires reste ouvert.]

Période électorale

Collèges André Doucet (Nanterre) & Paul Éluard (Nanterre)

Lors d'une campagne électorale, comment attribuer les salles de réunion disponibles pour satisfaire les candidats et leurs électeurs ? [Un problème d'emploi du temps couramment traité en Recherche Opérationnelle.]

Pavages, II

Lycée Louise Michel (Bobigny) & MJC Daniel André (Drancy)

Mosaïque colorées planes et réalisation d'un assemblage jointif parfait de 7 pièces sur une chambre à air .

Pavage de rectangles

Collèges Molière (Ivry sur Seine) & Romain Rolland (Ivry sur Seine)

Comment carreler une pièce avec des carreaux ayant une forme curieuse (exemple du "tétramino en L", obtenu par collage de deux dominos) ? [En ramenant un problème à celui de l'existence d'un pavage, on parvient, dans certains cas, à prouver son indécidabilité algorithmique ou logique.]

Des pixels dans un carré

Collège l'Ardillière de Nézant (Saint-Brice-sous-Forêt)

Un pixel est un tout petit carré lumineux sur un écran d'ordinateur. Combien de tels petits carrés contribuent à faire l'image d'un grand carré ? [Le problème général, lié à la Théorie des Nombres, est de déterminer le nombre de points à coordonnées entières dans un polyèdre donné].

Jeux infinis

Lycée Fustel de Coulange (Massy)

Comment gagner dans un jeu où l'issue est déterminée par une suite illimitée de lettres ? Il suffirait de connaître les bons coups ... [Une approche moderne pour étudier les nombres "réels" écrits avec une infinité de décimales, consiste à "les faire jouer" sur des automates qui révèlent alors leurs propriétés...]

Solitarium, cogitarium

Collège Elsa Triolet (St Denis), Robespierre (Épinay sur Seine) & Lycée Paul Éluard (St Denis)

A chaque coup deux pions se déplacent en sens contraire ... cela ressemble à un jeu, mais c'est aussi un moyen d'organiser stratégiquement des nombres entiers.

Pentaminos à assembler.

4 écoles d'Angers et de Saumur (classes de CM2) Chercheurs : Duchet et Mainguené

Des morceaux de damier qui comportent 5 cases sont appelés les pentaminos. Quelles carrelages peut-on réaliser en collant ces morceaux entre eux ? Certaines formes ne peuvent être construite que d'une seule manière : chercher parmi celles-ci les plus solides possible, c'est à dire celles qui utilisent le plus de colle. Peut-on réaliser des pavages illimités ?

Le cavalier d'Euler,

4 écoles d'Angers et de Saumur (classes de CM2) Chercheurs : Duchet et Mainguené

On fait évoluer un cavalier par sauts sur les cases d'un échiquier (de taille variable) en suivant la règle de déplacement du jeu d'échecs. Sur combien de cases peut-on passer si on s'interdit de passer deux fois sur la même case ?

Les couleurs de Guthrie,

4 écoles d'Angers et de Saumur (classes de CM2) Chercheurs : Duchet et Mainguené

Avec le moin de crayons de couleur possible, il s'agit de colorer les murs de briques et, plus généralement les cartes géographique, en évitant que deux briques voisines (ou deux pays voisins) recoivent la même couleur.

Systèmes balançaires [P. Jullien]

4 écoles d'Angers et de Saumur (classes de CM2) Chercheurs : Duchet et Mainguené

Un système de trois poids marqués1g, 3g, 9g permet de peser des objets pesant de 1 à 13g avec une balance à deux plateaux. Trois signes seulement permettent de noter une pesée et d'écrire les nombres entiers correspondants : G (plateau de gauche) D (plateau de droite) 0 (aucun plateau). Quel poids marqués ajouter pour aller plus loin ? Comment faire les opérations usuelles dans ce nouveau système de numération ?

Des pions surveillent des lignes

4 écoles d'Angers et de Saumur (classes de CM2) Chercheurs : Duchet et Mainguené

Comment placer le minimum de pions sur un échiquier de sorte que chaque ligne en contienne au moins un ?

Les tresses d'Artin

4 écoles d'Angers et de Saumur (classes de CM2) Chercheurs : Duchet et Mainguené

Comment dénouer une tresse par l'ajout d'une autre tresse ? Comment déméler les fils embrouillés d'une marionnette ?

1999 (classement alphabétique avec indication des niveaux concernés : le niveau souligné est celui où il a été posé en 98-99)

Les arbres      C L U  

Collèges L'Ardillière de Nézant (95 Saint-Brice) et (95-Montmorency). Chercheur Gilles Christol.

Un arbre mathématique est composé d'un tronc, de branches, de noeuds et de feuilles. Pour en dessiner un, on fait un trait (c'est le tronc) dont on marque l'extrémité (ce point est le premier noeud de l'arbre). Puis on continue en tracant de nouvelles branches, noeuds et feuilles : Pour tracer une nouvelle branche et un nouveau noeud, on fait partir un trait d'un noeud déjà existant vers un endroit libre : l'extrémité du trait sera notre nouveau noeud. Pour tracer une feuille, on dessine un boucle qui part d'un noeud et y revient. Chaque noeud peut ainsi porter une nouvelle feuille, une nouvelle branche ou plusieurs nouvelles branches, chaque nouvelle branche se termine par un nouveau noeud. Attention : un noeud qui porte une feuille ne porte rien d'autre! A la fin, tous les noeuds doivent porter quelque chose (branche ou feuille).

Le problème est de compter les arbres qui ont un nombre fixé de branches et de trouver un méthode qui permette de les dessiner tous une fois et une seule.

Billards rectangulaires et triangulaires C L U +

Collège Julliette Adam de Gif sur Yvette et Paul Éluard d'Evry. Chercheur : Hubert Comon

A quel endroit une boule bleu doit-elle taper le bord du billard pour toucher la boule rouge en 1 bande, 2bandes, 3 bandes, .... On examinera le cas de boules ponctuelles ou de vraies boules. Généraliser : dans quelle direction peut-on envoyer la boule bleu pour toucher la rouge en un nombre quelconque de bandes ?

Le chemin le plus rapide C L    

Lycée Pablo Picasso (94-Fontenay s/ bois). Chercheur : François Jouve.

Quel est le chemin le plus court possible pour aller secourir un homme qui se noie ? Simulation avec des expériences optiques.

Compter en verlan C L U  

Collèges L'Ardillière de Nézant (95-Saint-Brice) & Charles Lebrun (95-Montmorency). Chercheur Gilles Christol.

Pour additionner deux nombres, on vous a appris à faire les calculs de la droite vers la gauche. En verlan, on fait tout à l'envers : on va de la gauche vers la droite et donc on reporte les retenues sur colonne de droite. Pour ces calculs à l'envers, les nombres seront appelés, bien sûr, des brenoms.

En fait c'est plus facile d'ajouter des brenoms car on a pas besoin de se soucier du nombre de chiffres après la virgule. Mais au fait, est-il vrai que l'on obtient le même résultat en faisant des additions du même brenom plusieurs fois ou bien en multipliant le brenom directement par le nombre ?

Rem. Le thème des brenoms s'inspire des calcul p-adiques, suivant une idée de Pierre Duchet et de Catherine Goldstein.

La conjecture "abc". C L U +

Lycées Montaigne de Bordeaux & Sud-Médoc de Le Taillan-Médoc. Chercheur : Laurent Habsieger

Le radical d'un entier n noté rad(n) est le produit des nombres premiers qui le composent. Soient a, b, c trois entiers avec a et b premiers entre eux et a + b = c et . La quantité ln(c) / ln(rad(abc)) peut-elle être majorée, indépendamment des valeurs de a, b, c ?

Les décimales des fractions C L U +

Lycée P. Eluard (Saint-Denis), Collège Robespierre (Épinay), Collège E. Triolet (Saint-Denis). Ch. : François Parreau

Vous savez sans doute que lorsque on calcule les décimales successives d'une fraction on obtient toujours un bloc qui se répète indéfiniment, autrement dit que la suite des décimales est périodique à partir d'un certain rang. Vous savez peut-être que, réciproquement, toute suite de décimales périodique correspond à un nombre fractionnaire. Au delà de ce résultat que vous pourrez commencer par démontrer, on peut remarquer des propriétés curieuses (regardez par exemple les décimales de 1/7) et se poser beaucoup de questions :

• Si on change le numérateur de la fraction en gardant le même dénominateur, trouve-t-on toujours la même période ? le même bloc de décimales répété ? Que peut-on dire des décimales de 1/n ?
• Quelles sont les fractions correspondant aux suites de décimales de période 2, 3, 4 ? Pouvez-vous résoudre le puzzle : (EVE) / (DID) = .TALKTALKTALK....? Comme c'est en anglais, la virgule est remplacée par un point et on n'a pas écrit le 0 avant. Il s'agit de remplacer chaque lettre par un chiffre, deux lettres différentes correspondent à des chiffres différents et on demande en plus que la fraction soit irréductible.

Découpage d'un carré C L U  

Lycées Montaigne de Bordeaux & Sud-Médoc de Le Taillan-Médoc. Chercheur : Laurent Habsieger

Découper un carré de côté entier en carrés de coté entier plus petits de tailles toutes distinctes.

Disposition de pièces de monnaie. C L U +

Lycées Montaigne de Bordeaux & Sud-Médoc de Le Taillan-Médoc. Chercheur : Laurent Habsieger

Comment disposer des pièces de monnaie sur une table pour que la surface de leur enveloppe convexe soit minimale ?

Distances de la Lune et du Soleil C L    

Lycée P. Eluard (Saint-Denis), Collège Robespierre (Épinay), Collège E. Triolet (Saint-Denis). Ch.: François Parreau

Ces distances ont été évaluées dès l'Antiquité par Aristarque, peu après qu'Erathostène ait réalisé une mesure du rayon de la terre. Bien sûr les résultats étaient très approximatifs, surtout pour le Soleil, mais il a fallu attendre les progrès de l'astronomie XVII-ème siècle pour trouver mieux et, comme disent les Cahiers Clairaut, "Il peut être cependant instructif de revenir sur les mesures anciennes : elles étaient fondées sur des principes simples qui restent à la base des mesures modernes..."

Pouvez-vous imaginer comment un observateur attentif, sans instrument de grande précision, avec un modèle simplifié du système solaire et une bonne intuition géométrique, peut se faire une idée assez précise de la distance de la Lune puis de celle du Soleil ?

Enigme de Goldbach. C L U +

Lycées Georges Braque (94-Argenteuil )& Romain Rolland (93-Goussainville). Chercheur : Stéphane Labbé

En 1742 Goldbach envoya une lettre à Euler pour lui poser la question : " Tous les entiers > 5 sont-ils somme de 3 nombres premiers ?" Alors Euler formula une autre question : "Tous les entiers pairs > 4 sont-ils somme de deux nombres premiers ?" .

Focalisation de la lumière. C L    

Lycées Georges Braque d'Argenteuil & Romain Rolland de Goussainville. Chercheur : Stéphane Labbé

Etudier en 2 dimensions les miroirs d'équation ax2 + by2 +cxy + dx + ey + f = 0, du point de vue de la focalisation en supposant que la lumière parte d'une source ponctuelle donnée.

Galerie d'art C L U +

Lycées Georges Braque d'Argenteuil & Romain Rolland de Goussainville. Chercheur : Stéphane Labbé

Combien faut-il de gardiens au minimum pour surveiller une salle de musée polygonale ? Que se passe-il si l'on rajoute des obstacles ?

Jeu du solitaire C L U +

Collège Julliette Adam de Gif sur Yvette et Paul Éluard d'Evry. Chercheur : Hubert Comon

En partant des règles du jeu de solitaire français, trouver différentes solutions pour n'avoir qu'un pion central à la fin du jeu. Trouver une solution avec le moins de prises (multiples) possibles. Généraliser : peut-on atteindre une configuration finale choisie à partir d'une configuration initiale ? Cas des dispositions en rectangle, en triangle... Quand peut-on dire qu'un pion est trop loin pour être mangé ?

Le jeu de Gründy. C L U +

Lycée Romain Rolland d'Argenteuil. Chercheur : Loïc Allys

Chacun des deux joueurs, à son tour, divise un tas d'allumettes en deux tas de tailles inégales. Le dernier à pouvoir jouer a gagné.

Jeux de haricots C L U +

Collège Julliette Adam de Gif sur Yvette et Paul Éluard d'Evry. Chercheur : Hubert Comon

On se donne des règles autorisant à transformer certains morceaux d'une expression écrite avec des haricots rouges (R) et blancs (B). A partir d'une expression donnée, on cherche une formule permettant de savoir combien on va obtenir de B après une succession de transformations possibles.

Exemple : "RB donne BR" (règle1) ou "RB donne BRB" (règle 2). Avec la règle 1, l'expression RRBBB donne RBRBB puis BRBRB puis BBRBR puis BBBRR qui ne peut plus être transformé.

Dans quel cas le jeu de transformation s'arrête-t-il ? Peut-on donner des familles de règles pour lesquelles le jeu ne se termine pas ? Peut-on généraliser les formules à plusieurs règles (essayer par exemple avec les deux règles précédentes) ?

Les mosaïques arabes C L   

Lycées Camille Saint Saens (95-Deuil La Barre) & de l'Hautil (95-Jouy le Moutier). Chercheur : Lionel Schwartz.

Les zelliges sont des mosaïques des palais de Fez, Rabat, ... Il s'agit de déterminer la construction ( s'il en existe une) de la mosaïque "à la règle et au compas".

Bibliographie : VACCARD André, Le Maroc et l'artisanat traditionnel islamiste dans l'architecture, 2 tomes, Ed. Atelier,1974.

Les nombres entiers et leur écriture décimale C L U +

Université de Marseille Luminy, Chercheur : Christian Mauduit

Quelles proprétés des nombres entiers peut-on reconnaître à partir de leur écriture décimale ? Comment, par exemple reconnaître un carré parfait ? Peut-on reconnaître facilement un nombre triangulaire, une puissance de 2, un nombre premier ? Peut-on trouver des critères, simples et rapides, de divisibilité par un nombre donné, ? etc.

Les nombres fabuleux C L U  

Collège Julliette Adam de Gif sur Yvette et Paul Éluard d'Evry. Chercheur : Hubert Comon

307 est un nombre fabuleux car 307 ¥ 307 = 94249 qui est un nombre symétrique par rapport au milieu. On recherche des nombres fabuleux, sachant que leurs carrés se terminent par 1, 4, 5, 6 ou 9. A partir d'un nombre fabuleux peut-on fabriquer des familles (ex : 11, 111, 1111,...) ? Ces familles sont-elles limitées ou illimitées ?

Les nombres presque entiers L U +

Université de Marseille Luminy . Chercheur : Christian Mauduit

Quels nombres réels positifs x ont la propriété que xn se rapproche d'un entier ? On souhaite que xn puisse s'écrire xn= a(n)+ e(n), où a(n) est entier et où e(n) tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

A l'ombre des polygones C L    

Lycées Georges Braque d'Argenteuil & Romain Rolland de Goussainville. Chercheur : Stéphane Labbé

Existe-t-il des polygones non illuminables en tous points grâce à une source de lumière ? Envisager le cas sans réflexion sur les côtés et avec réflexion.

Partage du plan par des droites C L U +

Lycée d'altitude de Briançon. Chercheur Charles Payan.

En combien de régions des droites données découpent-t-elle un plan ? En combien de régions des plans donnés découpent-t-ils l'espace ?

Remarque: La classification des types de configurations des régionnement déterminés par des plans (ou hyperplans en dimension supértieure) sont l'objet de recherches actives en Géométrie combinatoire.

Partition d'un entier C L    

Lycées Camille Sée (Paris) & Charles Poncet (Cluses). Chercheur : Jean Christophe Novelli

Soit n un entier non nul, On appelle partition de n toute suite décroissante d'entiers non nuls dont la somme vaut n. Il s'agit de trouver une manière de compter rapidement le nombre de partitions de n.

Paver un carré à l'égyptienne. C L U +

Collèges L'Ardillière de Nézant (95-Saint-Brice) & Charles Lebrun (95-Montmorency). Chercheur Gilles Christol.

Avec 21 carrés de côtés de longueurs 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11,15, 16, 17,18,19, 24, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 42, 50, on sait (mais ce n'est pas facile du tout) recouvrir un "grand" carré dont les côtés sont de longueur 112 (pourquoi 112 ?) ...

On va se poser un problème un peu différent : peut-on recouvrir un carré avec des rectangles "égyptiens", c'est à dire des rectangles de côtés (1,1/2), (1/2,1/3); (1/3,1/4), ... ? (Les fractions de l'unité 1/2; 1/3, 1/4, 1/5, ... sont les seules que se permettaient les mathématiciens de l'Égypte antique).

Bien entendu, si on a le droit de prendre plusieurs fois le même rectangle, ce n'est pas difficile. Mais peut-on le faire avec des rectangles tous différents?

Remarque. Peut-on paver le plan avec tous les carrés de coté entiers (utilisés une fois et une seule) ? Nul ne le sait. Paver un carré (de coté 1) avec tous les rectangles égyptiens est aussi une question ouverte (Graham et D. Knuth, 1991).

Le piano de Shepard. C L U +

Lycées Montaigne de Bordeaux & Sud-Médoc de Le Taillan-Médoc. Chercheur : Laurent Habsieger

Etant donné un corridor de largeur 1 coudé à angle droit , trouver la forme de l'objet de plus grande surface possible que l'on puisse y faire passer.

La pile de crêpes. P C L U +

Lycée de La Mure & Lycée d'altitude de Briançon. Chercheur : Charles Payan

Comment avec une simple palette, remettre dans l'ordre les crêpes d'une pile ? Au départ, les crêpes (de taille toutes différentes) sont empilées n'importe comment. On veut les ranger par ordre décroissant, de la plus grande en bas à la plus petite en haut, en effectuant le moin de manipulation possibles. La seule opération permise est d'insérer une palette entre deux crêpes et de retourner en bloc le haut de la pile.

Pliage d'une bande de timbres. C L U +

Lycées Camille Sée (Paris) & Charles Poncet (Cluses). Chercheur : Jean Christophe Novelli

Combien y a-t-il de manières de plier, ou de replier, une bande de timbre, jusqu'à obtenir une pile unique avec un seul timbre visible ? Quel résultat obtenez pour cette bande de 5 timbres ? Dans quel ordre peuvent se trouver les numéros dans la pile ?

Plier un triangle C L U  

Collèges L'Ardillière de Nézant (95 Saint-Brice) et (95-Montmorency). Chercheur Gilles Christol, sujet d'Olivier Bodini.

On a un morceau de tissu. Pour le ranger, on a le droit de le plier un nombre donné de fois, l'essentiel étant qu'à la fin le tissu occupe le moins de surface possible. Dans le cas d'un morceau en forme de disque, la solution est facile : si on a droit à un seul pli, on plie suivant un diamètre. Si on a droit à deux plis, on plie suivant deux diamètres perpendiculaires. Que faire pour d'autres formes ?

La promenade au hasard. C L U  

Collège George Sand de Chatillon. Chercheur : Fabrice Gamboa

Marc Koff habite le centre de la France dans le petit village de "Les Chênes Transients". Ce village a la particularité de se trouver à égale distance (400km) entre Paris et Montpellier. En juillet 98, Marc Koff est très indécis sur sa destination de vacances. Il hésite entre aller visiter la tour Eiffel ou partir se baigner à Montpellier. Comme il n'arrive pas à décider entre ses 2 options de voyage, il opte pour la stratégie suivante. Au départ de son voyage, il choisit une des 2 directions nord (Paris) ou sud (Montpellier) au hasard. Il choisit d'aller au sud avec q [theta] chances sur 100 (q est un paramètre du problème qui peut valoir 1,2,..,99 que l'on se donne au départ, a vous de le décider), il choisit d'aller au nord avec 100-q chances sur 100. Ensuite, chaque fois qu'il a parcouru 10 km son indécision refait surface. Il remet alors en cause la direction de son voyage. A nouveau, il choisit d'aller au sud avec q chances sur 100 et d'aller au nord avec 100-q chances sur 100. On se propose d'étudier les chances qu'a Marc Koff de terminer son voyage à Paris ou à Montpellier en fonction de la donnée q.

Ranger des bouteilles. C L U +

Collèges Condorcet (94-Pontault-Combault)& Anne Franck (94-Bussy Saint Georges) & MJC André (93-Drancy). Chercheur : Olivier Bodini

Déterminer le quadrilatère d'aire minimale servant de base à un casier contenant n bouteilles verticales.

Reproduction des protozoaires C L U  

Collège George Sand de Chatillon. Chercheur : Fabrice Gamboa

Le berlav est un protozoaire (être vivant unicellulaire) qui se reproduit toutes les heures suivant la dynamique suivante :

A) soit la cellule meurt sans se reproduire,

B) soit la cellule continue à vivre sans se reproduire,

C) soit elle se divise en deux cellules.

On suppose que l'éventualité B a une chance sur deux de se produire, et l'éventualité A a q [theta] chances sur 100 de se produire, où q est un paramètre à fixer : dans le problème q peut prendre les valeurs 1 à 50. On se propose d'étudier les chances de survie de l'espèce en supposant qu'il y a un seul Berlav à l'instant initial.

Les tours sur l'échiquier à trois dimensions C L U +

Lycée P. Eluard (Saint-Denis), Collège Robespierre (Épinay), Collège E. Triolet (Saint-Denis). Ch.: François Parreau

Le problème bien connu des dames de l'échiquier consiste à trouver combien de dames au minimum faut-il placer sur un échiquier pour qu'ensemble elles contrôlent toutes les cases. Si on remplace les dames par des tours, le problème est plus simple, mais en dimension 3 ?

L'échiquier à 3 dimensions est un cube partagé en n × n × n cases, chacun des côtés étant divisé en n intervalles égaux. Une "tour" contrôle les trois lignes de cases parallèles aux côtés passant par la case où elle se trouve. On se demande combien placer de tours au minimum, et comment les placer, de façon qu'elles contrôlent tout l'échiquier (commencez avec n = 2, 3, 4,...).

Trajectoires dans le billard rectangulaire C L U +

Lycée P. Eluard (Saint-Denis), Collège Robespierre (Épinay), Collège E. Triolet (Saint-Denis). Ch. :François Parreau

Dans les billards mathématiques, les boules n'ont pas d'épaisseur et il n'y a ni effet ni frottement : on étudie la trajectoire d'un point qui se déplace en ligne droite à l'intérieur d'un rectangle et rebondit sur les côtés avec la seule règle "angle de réflection = angle d'incidence". On peut aussi considérer qu'il s'agit de la trajectoire d'un rayon lumineux qui se réfléchit les côtés comme sur des miroirs (et utiliser les symétries pour la construction géométrique).

Une trajectoire est déterminée par un point de départ (sur un côté) et une direction initiale. On se demande si, avec ces données, on peut trouver dans quel ordre 1es côtés seront touchés. On propose de coder "0" lorsque la trajectoire touche un côté horizontal et "1" lorsqu'elle touche un côté vertical : une trajectoire correspond donc a une suite de "0" et de "1". Etant donnés un point de départ sur un côté et la pente initiale de la trajectoire, comment déterminer cette suite? Vous pourrez vous ramener au cas d'un carré et étudier d'abord les cas où la trajectoire revient sur elle-même et continue de façon périodique, en commençant par les plus petites périodes.

Les triplets de Pythagore P C     

4 Écoles primaires d'Angers et de Saumur. Chercheurs Pierre Duchet et Jean Mainguené.

On peut disposer des graines régulièrement pour dessiner un carré. Avec 9 graines on peut faire 3 rangées de 3., avec 16 graines 4 rangées de 4, avec 25 graines 5 rangées de 5, etc. Les nombres 1=1¥1, 4=2¥2, 9=3¥3, 16=4¥4, puis 25, 49, 64, 81, 100, etc. sont appelés des nombres carrés (on dit aussi des carrés parfaits ou simplement des carrés) . Quelquefois, en ajoutant deux carrés, on obtient un carré plus grand: par exemple 3 fois 3 ajouté à 4 fois 4, donne 9+16=25, c'est à dire 5 fois 5. Lorsque cela arrive, on dit que les trois nombres de base (dans l'exemple ce sont 3, 4 et 5) forme un triplet de Pythagore. Pythagore, mathématicien de la grèce antique, a montré comment fabriquer un angle droit avec un tel triplet : par exemple avec le triplet (3,4,5) on construit un triangle dont les cotés ont pour longueurs 3,4 et 5 : l'angle formé par les deux cotés les plus petits est alors droit ! Peut-on trouver d'autres triplets avec la même propriété ? Comment les trouver ?

Le verger aveuglant C L U +

Lycées Camille Saint Saens de Deuil La Barre & de l'Hautil de Jouy le Moutier. Chercheur : Lionel Schwartz

Lycées Georges Braque (94-Argenteuil )& Romain Rolland (93-Goussainville). Chercheur : Stéphane Labbé

Un verger, de forme circulaire, est composé d'arbres plantés aux intersections d'un quadrillage régulier. Le centre du verger est un noeud du quadrillage (où il manque un arbre). Quelles sont les hypothèses à faire (sur le rayon du verger, le diamètre et la distance des arbres), pour qu'il soit impossible à un observateur, placé au centre du verger, de voir les arbres de la périphérie ?

Remarque : Le problème est ouvert si le centre du verger est placé au milieu d'un carreau du quadrillage.

Autres thèmes proposés

L'Awele & le taquin C L U  

Club mathématique, lycée d'altitude de Briançon. Animateur Hubert Proal.

Les plus courts chemins sur le cube C L U  

Club mathématique, lycée d'altitude de Briançon. Animateur Hubert Proal.

Les entrelacs C L U +

Lycées Camille Saint Saens de Deuil La Barre & de l'Hautil de Jouy le Moutier. Chercheur : Lionel Schwartz.

A partir d'un entrelacs, à deux ou plusieurs brins, quelles sont les manipulations à effectuer pour le simplifier ? Combien y a-t-il d'entrelacs possibles (pour un nombre donné de croisements) ? Peut-on les combiner et comment ?

Exploration de sites Internet C L    

MJC Daniel André (93-Drancy). Animateur: François Gaudel.

Réalisation d'un catalogue de site mathématiques accessibles aux jeunes.

La française des jeux & Le Keno C L U +

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Combien acheter de billets pour être sur de gagner ?

Les nombres premiers. C L U +

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Comment les reconnaître ?

le Hasard C L U +

Lycée Jean Macé (94-Vitry). Chercheur : Christophe Hazard

Étude statistique du jeu de pile ou face et des modèles probabilistes sous-jacents.

Pliages de Polyèdres C L U +

Col. Condorcet (94-Pontault-Combault)& A. Franck (94-Bussy Saint Georges), MJC D. André (93-Drancy). Ch. : O.Bodini

Comment réaliser des polyèdres par pliage d'une feuille de papier.

Machine de Turing C L U +

Lycée H. Berlioz (94-Vincennes). Chercheur : J.-P. Ressayre

Un logiciel interactif permet la simulation d'une machine de Turing aléatoire, avec visualisation des configurations instantanées sur l'écran. L'objectif est d'élaborer des programmes réalisant un motif ayant des "qualités artistiques". [La motivation vient de la compréhension des axiomatiques réduites du "lambda-calcul"en Logique]

Modélisation d'une autoroute U +

Université de Marseille Luminy. (DEUG 1) Chercheur: Christian Mauduit

Proposer des modèles pour le trafic autoroutier (toutes les approches sont permises : modélisation discrète "discrète" du type "automates cellulaires", équations aux dérivées partielles, etc.).

Mouvement des planètes C L U +

Lycée Pablo Picasso (94-Fontenay s/ bois). Chercheur : François Jouve

Equation du mouvement, simulation sur ordinateur.

Nombres entiers, écriture à l'envers. C L   

Col. Condorcet (94-Pontault-Combault)& A. Franck (94-Bussy Saint Georges), MJC D. André (93-Drancy). Ch. : O.Bodini

Trouver des propriétés communes à un nombre et à son "écriture à l'envers".

Pavage sur ordinateur C L U +

MJC Daniel André (93-Drancy). Animateur: François Gaudel.

Un logiciel de syntaxe simple permet de reproduire des motifs à des échelles variées et à des emplacements paramétrables. Par itération de constructions de bases, on peut, en choisissant bien les paramètres et les formes du motif de base obtenir des pavages du plan. [Voir le site http://www.mjc-andre.org/]

Pile ou face. C L    

Collèges Molière & Romain Rolland (94-Ivry). Chercheur : Jean Gabriel Attali

Quelle stratégie dans un jeu de pile ou face contre une banque ?

Pliages en 3 dimensions  C L U +

Université de Marseille Luminy . Chercheur : Christian Mauduit . Idée de Michel Mendès-France

Étude des pliages de fil de fer dans l'espace : analogue dans l'espace du pliage itératif de papier suivant des règles immuables. Dans l'espace, chaque pliure est faite dans un plan orthogonal au plan de la précédente pliure.

Polyminos C L U +

Lycées Montaigne de Bordeaux & Sud-Médoc de Le Taillan-Médoc. Chercheur : Laurent Habsieger

Dénombrement des polyminos formés de n carrés.

Les radios C L U +

Collèges Condorcet (94-Pontault-Combault) & Anne Franck (94-Bussy Saint Georges). Chercheur : Olivier Bodini

Combien faut-il faire de radiographies pour retrouver les positions exactes de n lésions ?

Triangles sur un quadrillage C L    

Collèges Molière & Romain Rolland (94-Ivry). Chercheur : Jean Gabriel Attali

Dénombrement des triangles ayant pour sommets des noeuds d'un quadrillage donné.

2000

Les décimales des fractions

Collège Condorcet de Pontault-Combault et Collège Anne Frank de Bussy Saint-Georges

chercheur François Parreau

Vous savez sans doute que lorsque on calcule les décimales successives d'une fraction on obtient toujours un bloc qui se répète indéfiniment, autrement dit que la suite des décimales est périodique à partir d'un certain rang. Vous savez peut-être que, réciproquement, toute suite de décimales périodique correspond à un nombre fractionnaire. Au delà de ce résultat, que vous pourrez commencer par démontrer, on peut remarquer des propriétés curieuses (regardez par exemple les décimales de 1/7) et se poser beaucoup de questions:

• Si on change le numérateur de la fraction en gardant le même dénominateur, trouve-t-on toujours la même période ? le même bloc de décimales répété ?
• Que peut-on dire de la période des décimales de 1/n ?
• Quelles sont les fractions correspondant aux suites de décimales de période 2, 3, 4, ... ?

  Cet énoncé est une variante du sujet 01C02 du LaboraToile "la période trouble des inverses".
  Pour la documentation disponible sur ce sujet .

Ombres minimales.

Collège Condorcet de Pontault-Combault et Collège Anne Frank de Bussy Saint-Georges

chercheur François Parreau

L'ombre d'un objet éclairé est projetée sur un écran perpendiculaire à la direction de la lumière (on suppose la source de lumière très éloignée). On se demande comment orienter l'objet pour que la l'ombre soit la plus petite possible.

On peut interpréter cette question de plusieurs façons différentes : comment obtenir une ombre de surface minimum, ou de diamètre minimum, ou la plus étroite possible...

Vous pourrez aborder ce (ou ces) problèmes par l'expérimentation physique avec différents objets. Pour l'étude mathématique, vu les difficultés de la géométrie dans l'espace il faudra se limiter à des objets très simples.

Vous pourrez aussi commencer par regarder le problème à deux dimensions: l'ombre d'un objet plan est représentée par sa projection sur une droite, un segment, et on cherche à orienter l'objet de façon que sa longueur soit la plus petite possible. Alors, on peut espérer travailler avec des figures un peu plus compliquées et se poser d'autres questions; par exemple pouvez-vous construire des figures non circulaires ayant la même ombre dans toutes les orientations?

Pavages en losanges.

Collège Condorcet de Pontault-Combault et Collège Anne Frank de Bussy Saint-Georges

chercheur François Parreau

Avec des losanges identiques, ayant deux angles de 60 degrés, deux angles de 120 degrés, et tous de même côté, on peut réaliser des pavages d'un hexagone régulier dont le côté est un multiple de celui des losanges.

Le cas le plus simple est celui de l'hexagone de même côté que les losanges, pavé par trois losanges. En regardant le dessin, on voit en fait la représentation d'un cube en projection. Si on essaie avec l'hexagone de côté double, on voit un cube partiellement rempli de cubes de côté moitié.

Est-ce que c'est toujours vrai ? C'est-à-dire est-ce que ces pavages de losanges correspondent toujours à une projection d'un grand cube partiellement rempli de petits cubes? Si on arrive à le montrer, on pourra aborder d'une autre manière des problèmes apparemment insolubles pour les pavages

* Les losanges peuvent être placés dans trois directions différentes. Y en a-t-il autant dans chaque direction ?

* Peut-on compter le nombre de pavages possibles (avec un hexagone donné de côté deux fois, trois fois,... celui des losanges) ?

Puits dans le désert.

Collège Condorcet de Pontault-Combault et Collège Anne Frank de Bussy Saint-Georges

chercheur François Parreau

Dans un désert plat, un bâtiment doit être alimenté en eau à partir d'un certain nombre de puits. Comment tracer les canalisations reliant le bâtiment et tous les puits pour que leur longueur totale soit le minimum possible ?

Ce problème a déjà été traité dans un atelier MATh.en.JEANS pour deux puits, c'est-à-dire trois points à relier. Mais la solution dépend beaucoup des propriétés géométriques des triangles, et elle ne donne pas beaucoup d'idées sur ce qu'on peut dire lorsqu'il y a plus de trois points à relier.

Pouvez-vous trouver les solutions pour quatre points, ou cinq points ? Vous pourrez commencer par des configurations simples, en essayant de tirer parti du travail déjà fait pour trois points ?

sujet 01S01 du laboratoile sur lequel il existe des échos et documents.
Un sujet voisin "points à relier" est le Sujet n° 82 du projet "Esp a ce" sur lequel il existe aussi deséchos et documents.

La période trouble des inverses.

Collège Camille Sée de Paris et Collège République de Bobigny

chercheur Olivier Bodini

Regardons ensemble les nombres 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; 1/5 ; 1/6 ; 1/7... Leur écriture décimale est 0,5 ; 0,3333... ; 0,25 ; 0,2 ; 0,16666... ; 0,142857142857....

On remarque deux choses, soit l'écriture décimale est finie comme pour 1/2, 1/4, 1/5, soit il semble qu'à partir d'un certain stade, il y a un groupe de chiffre qui se répète indéfiniment, c'est la période du nombre. Par exemple, pour 1/3, c'est 3 ; pour 1/6, c'est 6 ; pour 1/7, c'est 142857.

On appellera longueur de n le nombre de chiffres que contient la période. Quand l'écriture de 1/n est finie, on dira que la longueur de n est 0.

Voici le tableau des longueurs des 20 premiers entiers strictement positifs:(il figure sur le sujet)

PROBLÈME.

Existe-t-il des nombres de longueur 1999 ? Plus généralement étant donné un nombre N, peut-on trouver un nombre dont la longueur est N ?

Peut-on caractériser (trouver des propriétés) les nombres de longueur 0 ? 1 ? etc...

Les nombres 7, 17, 19 ont des longueurs de 6, 16, 18. Existe-il d' autres nombres N dont la longueur est N-1 ? En existe-t-il une infinité ?

A QUOI ÇA SERT?

Ces problèmes de la théorie des nombres n'ont pas en premier lieu d'application dans la vie courante. Pourtant, depuis quelques années des problèmes similaires, qui paraissaient purement théorique, se sont révélés très important pour faire de la cryptographie (science des codes secrets). Au delà d'une application directe à la vie de tous les jours, les mathématiciens cherchent à ordonner et classer les objets qu'ils manipulent afin de mieux les comprendre. C'est dans ce sens que va notre problématique.

Ce sujet est repris comme sujet 01C02 du LaboraToile "la période trouble des inverses".
Pour la documentation disponible sur ce thème .

Communication sur une grille.

Collège Camille Sée de Paris et Collège République de Bobigny

chercheur Olivier Bodini

Des personnes (ou des relais électroniques, si vous préférez) sont régulièrement disposées dans un plan. Chaque personne peut envoyer des informations à d'autres personnes, à condition de respecter certaines règles. Ces règles, bien précises et immuables, sont les mêmes pour toutes les personnes. En fait, à proprement parler, c'est l'ensemble de ces règles qui définit le réseau.

Les règles de transmission d'un réseau étant fixées, le problème est le suivant : une nouvelle, connue d'une personne particulière peut-elle être transmise à tout le monde en suivant les règles du réseau ? Sinon, quelles sont les personnes qui peuvent être informées ?

Le problème général, qui est non résolu à ce jour, peut être abordé sous bien des aspects :

* Si chacun diffuse immédiatement ce qu'il sait en utilisant toutes les règles, comment se propagent les nouvelles ? En particulier, on peut se demander combien de personnes seront au courant au bout de 1,2, 3,..., n étapes.

* Comment savoir Si une personne choisie à l'avance pourra être informée ? En combien d'étapes? De quelle manière?

* Si on ne trouve aucun moyen de prévenir quelqu'un, comment être vraiment sûr qu'il n'existe aucun moyen?

* Y a-t-il des réseaux plus efficaces que d'autres pour la diffusion ? Pour des dispositions moins régulières des personnes à prévenir, peut-on trouver des méthodes de diffusion rapides générales?

Ce sujet est repris comme sujet 01L02 du LaboraToile "la période trouble des inverses".
Pour la documentation disponible et les échos de la recherche sur ce thème .

Rangement de wagons.

Lycée Charles Poncet de Cluses et Lycée Paul Valéry de Paris

Chercheur Jean-Christophe Novelli

Le but de ce sujet est de s'intéresser à diverses manières de ranger des wagons dans un hangar ceux-ci étants dans un ordre aléatoire au début.

Marcel possède une dérivation pour le faire, Dédé une impasse.

Peuvent-ils ranger tous les soirs leurs wagons dans l'ordre ou échouent-ils parfois ?

Technique de rangement ?

Peut-on savoir quand ils vont échouer ?

Echouent-ils plus souvent qu'ils ne réussissent ?

Le constructeur d'autoroute.

Lycée Charles Poncet de Cluses et Lycée Paul Valéry de Paris

Chercheur Jean-Christophe Novelli

Plusieurs conseils municipaux décident de construire des autoroutes entre certaines de leurs villes.

Ils font appel à un constructeur spécialisé d'autoroutes pour savoir si la chose est réalisable. L seule contrainte à laquelle est soumise celui-ci est qu'il ne peut y avoir de croisement entre deux autoroutes, autrement dit que les liaisons recherchées entre villes ne se croisent jamais.

Peut-il accepter tous les contrats ou doit-il se méfier de certaines demandes ?

Comment peut-il savoir à priori si la construction est possible ?

Patinage pour débutants.

Lycée Charles Poncet de Cluses et Lycée Paul Valéry de Paris

Chercheur Jean-Christophe Novelli

Sur une patinoire rectangulaire de forme m x n , les patineurs présents sont tous débutants : on le voit au fait qu'il ne savent pas s'arrêter correctement. En fait, une fois lancés dans une direction (horizontale ou verticale) ils ne s'arrêtent que lorsqu'ils se retrouvent contre le mur ou contre un autre patineur.

Si l'on place un seul patineur sur la piste, quelles cases peut-il atteindre par ses déplacements ?

Combien de patineurs faut-il dans une patinoire de dimensions m x n (s'ils évoluent l'un après l'autre) pour que toutes les cases soient atteintes ?

Pavages de rectangles.

Lycée Charles Poncet de Cluses &emdash Lycée Paul Valéry de Paris

Chercheur Jean-Christophe Novelli

Peut-on carreler une salle de bain de forme rectangulaire m x n avec des petits rectangles 1 x 3, quelles sont les valeurs de m et n ? Sinon quelle condition doit-on respecter sur m et n ?

Même question avec des carreaux 1 x r, r entier fixé.

On veut maintenant carreler une véranda carrée de côté 7 avec 7 carreaux de forme 1 x3 et 7 éléments formés de 3 carreaux en L. On ne peut carreler que 42 des 49 cases. Etant données 7 cases choisies dans le carré de sorte qu'il y en ait exactement une par ligne et par colonne, peut-on carreler les 42 cases restantes ?

Sinon que dire de ces 7 cases ?

Article paru sur ce sujet

Le problème des fous.

Lycée Romain Rolland de Goussainville. Chercheur Stéphane Labbé

Sur un échiquier combien de fous peut-on placer au maximum sans qu'ils puissent se détruire les uns les autres ?

Evolution.

Lycée Pablo Picasso de Fontenay et Lycée Jean Macé de Vitry. Chercheur François Jouve

Une fonction mathématique f(x) = 4px(1-x) qui modélise l'évolution d'une population.

Statistiques.

Lycée Pablo Picasso de Fontenay et Lycée Jean Macé de Vitry. Chercheur François Jouve

Qu'est-ce qu'un bon lycée ? Étude des statistiques de l'Education Nationale.

Atelier son (math-physique).

Lycée Pablo Picasso de Fontenay &emdash Lycée Jean Macé de Vitry. Chercheur François Jouve

Qu'est-ce qu'un son ?

Analyse de sons de différents instruments avec des logiciels. Harmoniques. Gammes.

La suite de Syracuse.

Lycée D'altitude de Briançon. Chercheurs Charles Payan et M. Verovic

Que remarque-t-on sur la suite de Syracuse ? la vie de certains nombres. La périodicité d'autres nombres ...

La géométrie non euclidienne.

Lycée D'altitude de Briançon. Chercheurs Charles Payan et M. Verovic

Que se passe-t-il dans le 1/2 plan de Poincaré ?

• Comment sont les doites parallèles ?
• Comment sont les triangles ?
• Comment sont les quadrilatères ?
• La somme des angles d'un triangle ?
• Les triangles rectangles ?

Décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers.

Lycée D'altitude de Briançon. Chercheurs Charles Payan et M. Verovic

On donne un entier n, savoir le décomposer en produit de facteurs premiers. (( Ils programment ceci en Java. ))

Faire de la géométrie avec une distance non euclidienne.

Lycée D'altitude de Briançon. Chercheurs Charles Payan et M. Verovic

M(x; y), M'(x'; y')        d(M; M') = x - x'+ y - y'

Que devient un cercle, une médiatrice ? Comment sont les chemins les plus courts, ..., le théorème de Pythagore, ..., = 4 ? , ...

Faire de la géométrie avec une règle de longueur finie.

Lycée D'altitude de Briançon. Chercheurs Charles Payan et M. Verovic

Vous avez une règlede 20 cm, un compas d'écolier et vous devez construire une droite "de 1 m", relier 2 points à une distance plus grande de 20 cm. Construire des droites parallèles, des droites perpendiculaires ...

Le jeu de la vie.

Lycée D'altitude de Briançon. Chercheurs Charles Payan et M. Verovic

Savoir si un entier est premier ou pas.

Lycée D'altitude de Briançon. Chercheurs Charles Payan et M. Verovic

Un nombre étant donné, on doit construire un algorithme "simple" pour savoir si il est premier ou pas.

Les polyminos.

Lycée D'altitude de Briançon. Chercheurs Charles Payan et M Verovic

Comment paver un carré avec des polyminos ? est-ce toujours possible ?

Le calcul du jour de la semaine

chercheur Dominique GIRARDOT. Enseignants Mme BILLEAU et M. MAILLARD

Calcul du jour de la semaine correspondant à une date dans le calendrier perpétuel grégorien (méthode de tête et programmation en fortran ou en C comme prolongement), Pour les 6ème et 5ème.

L'heure de coucher et de lever du soleil

chercheur Dominique GIRARDOT. Enseignants Mme BILLEAU et M. MAILLARD

Calcul de l'heure de coucher et de levée du soleil en tous points de la terre et toute date de l'année, à la minute près, tenant compte en particulier de l'équation du temps (mais aussi bien sûr des fuseaux, de la durée du jour, etc..) avec les 4ème et 3ème.

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