sujet 1. Billard circulaire

Imaginez une table de billard circulaire avec deux balles dessus (les balles sont supposées être des points). Dans quelles directions faut-il frapper la première balle de sorte qu'elle rebondisse une seule fois sur le billard et touche ensuite la deuxième balle?

Remarques pour les encadrants. Pour simplifier on peut supposer que

- la première balle est positionnée en un point de coordonnées cartésiennes (a, b) avec la contrainte a2 + b2 < 1 sur une table de billard de rayon 1,

- la seconde balle est positionnée au point (-c, 0) avec -1 < c < 0, comme l'indique la figure 1 (vérifier que ces hypothèses ne sont pas restrictives). Il existe plusieurs façons de procéder. Ici s'intéresse à une solution géométrique (sans utiliser la loi de la réflexion ou le principe de Fermat). On commencera par raisonner sur une ellipse avec une balle sur chaque foyer. On en déduira ensuite une technique pour trouver une solution géométrique pour le billard circulaire.

sujet 2. Partage du gâteau

On considère un "donut", c'est-à-dire un gâteau en forme de pneu (un tore) de section circulaire. Trouver le nombre maximal de morceaux que l'on peut obtenir en découpant le gâteau avec un couteau parfaitement plat (un plan), en faisant d'abord une coupe, puis 2, 3, ... Décrire à chaque fois le découpage correspondant (on ne déplace aucune pièce du donut durant les coupes).

Remarques pour les encadrants. On pourra regarder d'abord le cas d'un gâteau plat et plein, puis plat et creux, puis le donut (voir figure 2).

cas 1 (disque)

cas 2(disque creux)

cas 3 (tore)

FIG. 2 - partage du gâteau

sujet 3. Aires minimales

Trouver la figure d'aire minimale à l'intérieure de laquelle, d'un mouvement continu, on puisse faire tourner de 360 degrés un segment de longueur unité (imaginez une aiguille très fine tournant en glissant dans une boite plate).

sujet 4. Colliers de perles

On dispose de n perles, chaque perle étant noire ou blanche. Combien de colliers fermés circulaires différents peut-on constituer avec ces perles? Les colliers ne différant que par une réflexion ou une rotation sont considérées comme identiques.

Remarques pour les encadrants. Si on part du collier qui n'a pas de perle, on obtient la série 0, 2, 3, 4, 6, 8, 13, 18, 30, ... (voir la figure 3 pour 3 perles.

FIG. 3 - les 4 colliers différents à 3 perles de 2 couleurs

sujet 5 (complémentaire). Tour de cartes, tour de magie?

Un spectateur choisit une carte dans un jeu de 27 cartes. On distribue le jeu en 3 piles, cartes tournées vers le haut (figurines apparentes). On demande au spectateur de montrer la pile contenant la carte choisie. Les piles sont ensuite rassemblées (sans mélanger les cartes) et le jeu distribué une fois de plus en 3 piles (toujours figurines apparentes). A nouveau le spectateur indique la pile contenant la carte choisie. On répète la même opération une troisième et dernière fois. Le specteur peut rassembler lui-même à chaque fois les piles et dans un ordre quelconque. Le partage en 3 piles est effectué à chaque fois en tournant le jeu vers le bas, et les cartes distribuées en les tournant vers le haut. Le magicien est alors capable

- de donner la position exacte de la carte choisie à partir du dessus du paquet,

- d'amener la carte choisie dans une position imposée à l'avance par le spectateur. A vous d'être le magicien!

Remarques pour les encadrants. On peut ensuite faire varier le nombre de cartes...