Un jumelage MATh.en.JEANS (Lycée d'Altitude de Briançon et Lycée de Pézenas) en 2000-2001

Un jumelage MATh.en.JEANS (École Jean Bonis et Collège Frédéric Chopin, 77000-Melun) en 2001-2002

Réf 0101 13 décembre 2001 Forme des dents, vitesse. (Collège Chopin, Melun)

Nous étudions la forme des dents : il faut éviter le blocage et aussi le vide entre les roues.

La forme des dents d'une roue permet de trouver la forme des creux de l'autre roue.

Pour un engrenage de deux roues, la plus petite roue tourne-t-elle plus vite que l'autre ? Nous ne sommes pas encore d'accord sur cette question.

Réf 0101.1 16 déc. 2001 Creux et bosses (Le chercheur : Pierre Duchet)

Pour une forme donnée de dents de la roue n°1, on trouve une forme en creux pour la roue n°2 (on peut imaginer que la roue n°2 est en pate à modeler, alors que la n°1 est rigide). Cela change aussi la forme des dents de la roue n°2 : sur cette roue, une bosse entre deux creux constitue une nouvelle forme de dent.

Est-on sûr que ces nouvelles dents s'adaptent bien aux creux de la roue n°1 ? Ne faut-il pas recommencer à creuser la roue n°1 avec les dents de la roue n°2 ? (Et, s'il nous faut recommencer, les creux, donc les bosses de la roue n°1 changent à leur tour, et on se sent obligé de recommencer, en changeant encore les creux, donc les bosses, de la roue n°2 ! Pourra-t-on s'arrêter un jour ?)

Réf 0101.2 16 déc. 2001 Comment construire le centre d'un arc de cercle ? (Le chercheur : Pierre Duchet)

Pour tracer des dents arrondies, il est commode prendre des arc de cercles. Au cours du travail de l'atelier, des élèves ont cherché à retrouver le centre d'un arc cercle donné: ils traçent deux cordes dont les extrémités sont sur l'arc de cercle donné et obtienne le centre cherché à l'intersection des deux médiatrices de ces cordes.

Hélas les deux médiatrices sont si proches l'une de l'autre que la méthode est très imprécise. Peut-on trouver une meilleure méthode ?

Réf 0001.3 16 déc. 2001 Vitesse des roues et fractions (Le chercheur : Pierre Duchet)

Il faut que l'on se mette d'accord sur le mot "plus vite". Il ne devrait pas être trop difficile ensuite de se mettre d'accord sur la question de savoir quelle roue tourne le plus vite.

Je propose de dire qu'une roue n°1 a tourné plus vite qu'une roue n°2 si la roue n°1 fait un tour complet avant la roue n°2.

On peut aussi voir les choses autrement : on fait tourner l'engrenage et au bout d'un moment on s'arrête : la roue n°1 a tourné plus vite que la roue n°2 si, la roue n°1 a fait plus de tours que la roue n°2.

Je pense que vous serez d'accord que les deux points de vue ("avant" et "plus de tours") sont équivalents.

On peut être plus précis : Je propose de dire qu'une roue n°1 tourne 2 fois plus vite qu'une roue n°2 si la roue n°1 fait 2 tours quand la roue n°2 ne fait qu'un tour. On peut aussi dire que lorsque la roue n°1 fait 1 tour, la roue n°2 fait 1/2 tour.

Les fractions apparaissent comme un moyen commode de mesurer ce qui se passe : si une roue n°1 fait 5 tours lorsque la roue n°2 en fait 3, alors la roue n°1 fait 10 tours quand la n°2 en fait 6, et en fait 15 quand la n°2 en fait 9, etc.. Les suites 5, 10, 15,... et 3, 6, 9, ... sont proportionnelles et les fractions 5/3, 10/6, 15/9, etc. sont égales...

Nous dirons donc que la roue n° 1 a été plus vite que la roue n°2 dans un rapport égal à 5/3. Cette fraction 5/3 sera appelé le rapport de vitesse entre la roue n°1 et la roue n°2 (prises dans cet ordre). Le rapport de vitesse entre la roue n°2 et la roue n°1 (ordre inverse) est alors 3/5 (la fraction inverse): la roue n°2 fait 3 tours lorsque la roue n°1 en fait 5.

Si le rapport de vitesse roue A/roue B est plus grand que 1, la roue A tourne plus vite que la roue B, si le rapport est plus petit que 1, la roue A tourne moins vite que B.

Un petit problème simple extrait d'un rallye mathématique pour comprendre la logique des engrenages enchaînés

Les mathématiques des engrenages (lycée), Comptes-Rendus MATh.en.JEANS n°01-01 2001. [+ Une version abrégée publiée dans Tangente, n°92, sept. 2001].

Une étude sur la manière de réaliser un rapport donné par un système d'engrenages où le nombre de dents de chaque roue est compris (au sens large) entre 15 et 50.