Regardons ensemble les nombres 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7... , c'est à dire les inverses des nombres entiers positifs.

Leurs écritures décimales respectives sont

0,5 , 0,3333... , 0,25, 0,2 , 0,16666... , 0,142857142857142...

Nous remarquons le phénomène suivant:

soit l'écriture décimale est finie comme pour 1/2, 1/4, 1/5 (ces nombres sont des nombres décimaux)

soit il semble qu'à partir d'un certain stade, il y a un groupe de chiffres qui se répète indéfiniment. Nous appellerons motif périodique (ou plus simplement motif) de la fraction 1/n, un tel groupe de chiffres qui soit le plus court possible.

Par exemple, pour 1/3, le motif est 3 ; pour 1/9, c'est 1 ; pour 1/7, c'est 142857 !

On appellera période du nombre 1/n et, par abus de langage, période du nombre entier n, le nombre de chiffres que contient le motif du nombre 1/n. Quand l'écriture de 1/nest finie, on dira, par convention, que la période de nest 0.

Voici le tableau des périodes des 19 premiers entiers positifs :

Plusieurs questions se posent

• Existe-t-il des nombres de période 1999 ? Plus généralement étant donné un nombre p, peut-on trouver un nombre dont la période soit précisément p ?
  
• Peut-on caractériser (ou au moins trouver des propriétés sur) les nombres de période 0 ? 1 ? 2 ? etc.
  
• Les nombres 7, 17, 19 ont des périodes de 6, 16, 18. Existe-t-il d'autres nombres n avec la même propriété, c'est à dire dont la période soit n- 1 ? En existe-t-il une infinité ? Comment les trouver ?
  

A quoi ça sert ?

Ces questions qui relèvent de la théorie des nombres n'ont pas au premier abord d'application dans la vie courante. Pourtant, depuis quelques années, des problèmes similaires, qui paraissaient purement théoriques, se sont révélés très importants pour faire de la cryptographie (science des codes secrets).

Au-delà des applications directes on cherche toujours à ordonner et à classer les nombres afin de mieux les comprendre : c'est dans ce sens que va ce sujet, qui contient encore des zones d'ombre au yeux des mathématiciens.

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