Un jumelage MATh.en.JEANS (Collèges Condorcet de Pontault-Combault et Anne Frank de Bussy Saint-Georges) en 1999-2000.

Un jumelage MATh.en.JEANS (élèves de CM2, 6ème et 5ème de Melun) en 2000-2001.

Un jumelage MATh.en.JEANS (élèves de 4ème et 5ème et 6ème, St Brice et Montmorency) en 2001-2002.

Un projet de "TPE" en 1èreS (traité par "Scud2005") en 2001-2002.

Un jumelage MATh.en.JEANS (Lycées de Bobigny et de Montreuil) en 2002-2003.

Réf 9901 le début des motifs pour les nombre impairs (Didier.)

QUESTION: Copyright © 1999 . Epsilon, mag de maths.
http://perso.wanadoo.fr/eps/forper.htm

* Je n'ai pas trouvé comment poser une question dans ton forum alors je te la pose et si tu veux bien tu transmettras. Merci de démontrer (si c'est vrai !) que l'inverse d'un nombre entier supérieur à 1, impair et non divisible par 5 a sa période qui commence dès le premier chiffre après la virgule. En effet : 1/3 = 0,33333..3..,1/7=0,142857.....142857...1/21=0,047619....047619...mais 1/12=0,0833333... 1/15=0,066666...6 etc Merci et bonne recherche.

Didier.

Réf 9901.1 réponse au message 9901 (Alain Larroche)

REPONSES: Copyright © 1999 . Epsilon, mag de maths.
http://perso.wanadoo.fr/eps/forper.htm

* Dire que l'inverse d'un nombre entier supérieur à 1, impair et non divisible par 5, a sa période qui commence dès le premier chiffre après la virgule revient à dire qu'il existe p entier naturel tel que10^p.x - x = la période si x = 1/(n+1). Par exemple, si x = 1/3, 10x - x = 3, si x = 1/7, 10⁶x - x = 142857 etc... Je vais d'abord démontrer que si 2n + 1 est divisible par 5, alors la période ne peut pas commencer dès le premier chiffre aprés la virgule. En effet, si c'était le cas, il existerait un entier p supérieur à 1 tel que pour x = 1/(2n+1) nous aurions 10^px - x =k, entier. C'est-à-dire: 10^p - 1 = k(2n+1), ce qui signifierait que 10^p - 1 serait divisible par 5, ce qui est impossible! Maintenant, dans le cas où 2n+1 n'est pas divisible par 5, il existerait p et k entiers tels que:  10^p - 1=k(2n+1).(E) Cela revient à démontrer que pour tout nombre impair 2n+1, différent de 1 et non divisible par 5, il existe un entier p tel que 2n+1 divise 10^p - 1. Mais d'après le petit théorème de Fermat, nous savons que si a et n sont deux entiers premiers entre eux alors n divise a^n-1 - 1. Mais ici, 2n+1 étant impair et non divisible par 5 est  premier avec 10 et donc 2n+1 divise 10²ⁿ - 1, ce qui permet de conclure avec dans ce cas p = 2n.

Alain Larroche.

Réf 0001 annonce de solutions (Yann Miquel)

De : "ymiquel@libertysurf.fr" <ymiquel@libertysurf.fr>
Date : Sun, 28 May 2000 20:05:05 +0200 (MET DST)
À : laboratoile@free.fr
Objet : comment celà fonctionne

J'ai trouvé votre site par Lycos mais je ne sais pas où est "le camps de base". Si vous etes loin de lyon,comment devenir membre car j'ai répondu au 2 premiers problèmes de "La période trouble des inverses" et j'aimerai vous les envoyer. Merci de me répondre rapidement.

Yann Miquel

P.S. :Je suis un passionné des mathématiques numériques.

Réf 0001.1 réponse au message 0001 (LaboraToile)

C'est en faisant le ménage, que nous retrouvons un de vos messages de l'an dernier, lequel semble bien etre reste sans reponse... Recevez nos plus plates excuses. Si vous etes toujours interesse, vous pouvez nous envoyer votre essai a laboratoile@free.fr. (...)

Le LaboraToile

NB : les questions concernées par votre courrier étaient les suivantes :

• Existe-t-il des nombres de période 1999 ? Plus généralement étant donné un nombre p, peut-on trouver un nombre dont la période est p ?
• Peut-on caractériser (ou au moins trouver des propriétés sur) les nombres de période 0 ? 1 ? 2 ? etc.

Réf 0101 motifs ou périodes ? (Le LaboraToile)

Certains contributeurs appellent période ce qui est appelé motif dans l'énoncé du sujet de recherche, c'est à dire le groupe de chiffres qui se répète (pour la première fois) dans l'écriture décimale de la fraction 1/n. La longueur de ce groupe est aussi appelé "la période".

Réf 0102 motif des inverses et nombres permutables ? (Pierre Duchet)

On observe dans le développement décimal de 1/7 le motif périodique 142857. Or, le nombre 142857 apparaît dans une recherche menée par des lycéens en 1994 comme exemple de nombre permutable : 142857, 428571, 285714, 857142, 571428, 714285 sont des multiples de 142857 Š Il y a peut etre une relation intéressante entre les deux sujets.

Leur article : 142857 : nombres permutables " (lycée La Fontaine, Paris), Actes MATh.en.JEANS, 1994, p.181-198. Les auteurs remarquent que les diviseurs des nombres de la forme 10ⁿ-1 sont permutables (les preuves données utilisent les calculs modulo n dans "l'anneau Z/nZ", anneau qui est présenté en annexe).

Réf 0201 TPE : oui pour la période 1999 (Scud 2005)

De : Scud2005@aol.com
Date : Tue, 9 Apr 2002 03:43:13 EDT
À : laboratoile@free.fr
Objet : Période trouble des inverses

Bonjour, je suis en 1er S et je fais un TPE justement sur la périodicité dans les nombres rationels .
Existe t-il des nombres de périodes 1999 ?
Oui ! 1/((10^1999)-1) par exemple
Etant donner un nombre p, x a une période de p si x=a/((10^p)-1) et a sera le motif de x :) mais a ne doit pas etre divisible par le polynome P(x)=10^n+10^(n-1)+...+10^0
sinon x aura une période inférieur à p
exemple : x=11/99 mais x n'a pas une période de 2 car x=1/9 donc une période de 1.
période 0 : nombre décimal, fraction de la forme a/(2^p*5^q) avec a,p et q des entiers.
période 1 : x*9 donne un nombre entier qui est le motif.
période 2 : x*99 donne un nombre entier qui est le motif.
Votre site m'as bcp aidé, je vous recontacterai pour aprofondir le sujet quand j'auraizs fini mon TPE ...
@+

Réf 0201.1 réponse au message 0201 (Le LaboraToile)

Merci de votre courrier, qui nous fait bien plaisir, notre site ayant précisément pour vocation d'inciter et d'aider à la recherche.
Nous nous réjouissons également qu'il existe des projets de TPE avec une dimension mathématique véritable. Les TPE étant, au moins, bidisciplinaires, nous avons essayé de deviner quelle autre matière était concernée par ce thème des motifs périodiques des décimales de fractions. S'agit-il de la périodicité des réseaux cristallins en physique et chimie ? Ou d'autre chose ? Merci de satisfaire notre curiosité ...
Une petite remarque sur vos résultats, qui nous semblent bien éclairer le problème :

<< Etant donner un nombre p, x a une période de p si x=a/((10^p)-1) et a sera le motif de x :) mais a ne doit pas etre divisible par le polynome P(x)=10^n+10^(n-1)+...+10^0
sinon x aura une période inférieur à p
exemple : x=11/99 [...]>>

Votre énoncé est un peu bizarre et nous ne l'avons pas bien compris: P(x) ne ressemble pas à un polynôme en x (cela ressemble plutot à la valeur pour 10 d'un certain polynôme, soit P(10)) De plus votre expression P(x) dépend d'un n dont on ne sait pas très bien ce que c'est. (n=p?)
Les restrictions que vous imposerez pour a devraient en tout cas inclure les exemples suivants où la période est inférieure à p
1313/9999 ; 121212/999999 ; 454454/999999 etc.
(comme vous l'avez implicitement remarqué, les fractions inférieures à 1 suffisent pour fournir tous les motifs possibles).
Bonne continuation .. et à bientot.

Réf 0501 et si p est premier ? (François Blanchet)

De : Francois.Blanchet@ujf-grenoble.fr
Date : jeudi 10 février 2005 14:02
À : laboratoile@free.fr
Objet :

bonjour,
je suis tombé par hasard sur votre adresse mail sur un site matheux du net.
Je cherche un démo du résultat suivant: si p est un entier premier différent de 2 et 5 alors le rationnel 1/p a une écriture décimale dont le motif commence dès la première décimale et dont la période divise p-1.
pouvez vous m'aider?
merci

Réf 0501.1 réponse au message 0501 (Pierre Duchet)

REPONSE:

Voici une réponse à votre question.

Soit 0,{S}{T}{T}{T}... le développement décimal "standard" de 1/n.

Ici, S et T sont des entiers, S étant éventuellement absent, et { } désigne la suite des chiffres correspondant ( {S} est vide si S est absent). On suppose en outre que les longueurs (= nombres de chiffres) respectives de S et T, soient s et t, sont les plus courtes possibles.

En multipliant 1/n par 10^s puis par 10^t, on obtient facilement l'égalité suivante :

(1) 10^s(10^t-1)=(S(10^t-1)+T).n

Supposons maintenant que n soit premier avec 10.

Alors, d'après (1) et le lemme de divisibilité classique de Gauss, 10^s doit diviser (S(10^t-1)+T), donc aussi T-S.

Si s>0, cela signifie que S et T se terminent par le même chiffre, soit x.
C'est absurde, car on aurait alors une autre écriture de 1/n avec un motif périodique qui commence plus tot :

1/n = 0,{S'}{T'}{T'}{T'}...{T'} avec {S}={S'}x et x{T}={T'}x.

---> Donc s=0 et {S} est vide : le motif périodique commence tout de suite.

En appliquant de nouveau le lemme de Gauss dans (1), on obtient maintenant que n divise 10^t-1.
Autrement dit 10^t est congru à 1 modulo n.

Soit k le plus petit entier tel que 10^k soit congru à 1 modulo n. (k est donc "l'ordre" de 10 dans le groupe multiplicatif (Z/nZ)*).

On a donc 10^k-1=Kn ou encore 1/n= 0,{K}{K}{K}...
Comme t et T avaient été choisis minimum, on a donc k=t.
Conclusion : la période t de 1/n est exactement l'ordre de 10 dans (Z/nZ)*.

En particulier t divise n-1, l'ordre du groupe (Z/nZ)*.

Ainsi, dès que n est premier avec 10, on a les deux propriétés voulues pour la fraction 1/n :

- le motif périodique commence tout de suite
- la période divise n-1.

Réf 0501.2 1/p de période p-1 ? (Pierre Duchet)

La suite des nombres premiers p tels que la période des décimales de1/p soit précisément p-1 est encore mal connue. Elle est répertoriée dans le catalogue de Sloane On-Line Encyclopedia of Integer Sequences sous le n° A001913.

La division euclidienne et les fractions par Pierre Duchet

Les développements décimaux des inverses des entiers de 1 à 100 (100 décimales)

Les fractions et leur mystère, par J.-P. Delahaye, Pour la Science, n°246 , avril 1998, pp. 100-105.
Une conjecture toujours ouverte, due à Artin porte sur les nombres premiers "longs" en base 10, c'est à dire les nombres premiers p dont la période des décimales de la fraction 1/p est précisément p-1. La proportion de tels nombres parmi les nombres premiers n'est pas connue : elle serait la "constante d'Artin"

C=(1/2)(5/6)(19/20)Š(p²-p+1)/(p²-p) soit 0,3739558136...

Il semble que pour d'autres bases que 10, la proportion de tels "nombres premiers longs" soit de la forme rC où r est une fraction (r vaudrait 1 en base 2, 3/5 en base 8, ...).

Les nombres têtus, par Rodolphe Lampe (projet TIPE présenté à l'ENS de Lyon) [version pdf 232 Ko]. Cet exposé présente les propriétés arithmétiques qui permettent d'étudier les motifs périodiques dans les décimales des fractions de la forme 1/p, p premiere et fait le lien avec les "nombres têtus" dont les chiffres réapparaissent dans leurs multiples (cf. nombres permutables) : les nombres têtus figurent comme motifs des "nombres premiers longs" en base 10 (les nombres premiers p dont la période des décimales de la fraction 1/p est précisément p-1 : cf. la conjecture d'Artin ci-dessus).

La période trouble des inverses, par des élèves de CM2, 6ème et 5ème de Melun. Comptes-Rendus MATh.en.JEANS, 2001.

142857 nombres permutables, (lycée La Fontaine, Paris) [version pdf] Actes MATh.en.JEANS, 1994, pp.181-198. Le nombre 142857 est un exemple de nombre permutable 142857, 428571, 285714, 857142, 571428, 714285 sont des multiples de 142857... Les auteurs remarquent que les diviseurs des nombres de la forme 10ⁿ-1 sont permutables (les preuves données utilisent les calculs modulo n dans l'anneau Z/nZ, anneau qui est présenté en annexe). .