Sujet 1 : Une suite qui se raconte. [exposé]
nb d'élèves : 3 & (9+9)

Considérons le tableau suivant :

Il est obtenu de la manière suivante : si une ligne est formée par les nombres a₁ , a₂, ..., a_k (qui sont par ordre croissant, quand on les lit de gauche à droite) alors la ligne suivante sera formée de a_k fois le nombre 1 puis a_k-1 fois le nombre 2, et ainsi de suite; elle se terminera par le nombre k répété a₁ fois. Par exemple la quatrième ligne est formée par les nombres 1, 1, 2, 3 donc la cinquième est formée de 3 fois le chiffre 1, puis de 2 fois le chiffre 2, 1 fois le chiffre 3 et 1 fois le chiffre 4.

On s'intéresse alors à la suite que l'on peut lire dans la colonne de droite du tableau : elle commence par
1, 2, 2, 3, 4, 7, ... .

• Quels sont les termes suivants ?
• Combien arriverez-vous à en calculer ?
• Arriverez-vous à calculer le n-ième terme de cette site sans écrire en entier la n-ième ligne du tableau (ni même la (n &endash; 1)-ième, voire davantage ...) ?
• Que pouvez-vous dire du n-ième terme de cette suite, quand n est grand ? (même sans le calculer explicitement, pouvez-vous en donner un encadrement ?)

Notes de la rédaction : Plusieurs exemples de suites de nombres "qui se lisent" ont été étudiés dans nos ateliers de recherche : voir par exemple les mots de Kolakoski (sujet 2002 du LaboraToile) et la documentation associée .

Sujet 2 : Développement décimal de 1/n. [exposé]
(cf. sujet 2001 du "LaboraToile " : La période trouble des inverses.)
nb d'élèves : 3 & 2

Quand on ecrit, en base 10, l'inverse d'un entier, on obtient une suite périodique de chiffres. Par exemple on a :

1/7 = 0, 142857 142857 142857 ...
1/48 = 0, 0208 3 3 3 3 3 3 3 ...

Quelles relations pouvez_vous trouver entre un entier n et la période de 1/n (par exemple entre 7 et 142857, ou entre 48 et 3) ? Pouvez-vous donner un encadrement (en fonction de n) du nombre de chiffre de la période de 1/n . Il pourra être utile, d'ailleurs, de démontrer que le développement décimal de 1/n est effectivement périodique ... Pouvez-vous dire quand la période commence juste après la virgule (comme pour 1/7), et quand elle commence plus tard (comme pour 1/48, avec la présence intermédiaire de 0208) ?

Notes de la rédaction : Ce sujet a été traité de nombreuses fois et une documentation existe : voir les échos de la recherche sur ce sujet

Sujet 3 :Report des minutes sur un portable. [non traité]