Bébé ver de terre dort dans n'importe quelle position...

Sa mère voudrait tricoter une couverture qui permette de le couvrir entièrement, quelle que soit la position du petit.

Par souci d'économie, elle voudrait que cette couverture soit de surface aussi petite que possible.

Entrées possibles

Pour simplifier, on prendra la longueur du bébé ver comme unité de longueur et on assimilera une position du bébé ver à une courbe plane. Il est commode de se munir de quelques bouts de fil de fer souple pour pouvoir faire des essais ( 1 unité = 10 cm par exemple).

• On peut étudier des formes particulières de couverture : triangle, disque, rectangle, carré etc. Quelles dimensions une telle forme doit elle avoir pour pouvoir couvrir n'importe quelle courbe de longueur 1 ?
• On peut simplifier le problème en s'intéressant à des formes particulières de ver, par exemple à des lignes brisées composées d'un nombre fixe de segments (2, 3, ...).
• On peut aborder le problème "à l'envers" : étant donné un domaine D, on cherche une forme de courbe, la plus courte possible, qui ne puisse être placée à l'intérieur de D.

Variantes

On peut se poser une question légèrement différente relative à une forme particulière de ver, en espérant que certaines idées seront utilisables pour le problème initial. On cherche alors, pour une courbe plane fixe C une "couverture minimale" , c'est à dire un domaine plan D d'aire minimum tel que, pour tout angle q, on puisse amener D à recouvrir C en faisant tourner D de l'angle q, puis en faisant glisser la figure obtenue dans une direction et sur une longueur adéquates. Autrement dit, on veut que D contienne un translaté de chaque figure obtenue en faisant tourner C d'un angle arbitraire.

Lorsque la forme choisie est un simple segment on retrouve un problème proche de celui de l'aiguille de Kakeya :

Problème de l'aiguille de Kakeya

Faire effectuer un demi-tour à une aiguille dans un espace aussi réduit que possible. Autrement dit, on doit faire passer une aiguille d'une position où la pointe est en A et le chas en B à la position inverse où le chas est en A et la pointe en B, en balayant une surface d'aire la plus petite possible.

A quoi cela sert-il ?

Bien que l'on soit souvent amené dans la pratique à manoeuvrer ou à stocker des objets de forme variées dans des espaces limités, l'intérêt d'un problème comme celui du ver de terre est surtout de développer la connaissance théorique.

L'histoire a abondamment montré que de nombreuses formes mathématiques découvertes par des études de caractère plutôt spéculatif ont par la suite expliqué des phénomènes naturels ou trouvé des applications techniques remarquables : floraison des tournesols, croissance des matulas de grenouille, spirale et hélices d'Archimède, essuie-glaces de voiture, phares paraboliques, coeur artificiel ...

Actualité du sujet et documents

Disponibles au fur et à mesure de vos contributions dans

Début

 Retour aux

  Sujets profs 2002

Tous les sujets 2002