• Atelier scientifique du Lycée Buffon en 2001-2002.
• Une correspondante (Irène) en 2002. Réf. 0201

Réf 0101 Problème de périmètre (Atelier Scientifique du Lycée Camille Sée)

Un tétraèdre se trouve à l'intérieur d'un autre tétraèdre. Est-ce que la somme des longueurs des arêtes de la pyramide intérieure peut être plus grande que celle de la pyramide extérieure ?

Voici une référence pour ce problème, trouvée sur http://mathforum.org/

Problem of the Week 834: Prince Rupert's Tetrahedra?

Can you find a tetrahedron T contained inside a tetrahedron W such that the sum of the lengths of the edges of T is bigger than the sum of the lengths of the edges of W?

Source: Crux Mathematicorum, December 1996, proposed by "Proof." [The problem name (my fault) refers to Prince Rupert's cube. -Jeff]

© Copyright 1997 Stan Wagon. Reproduced with permission.

Réf 0201 Triangle équilatéral dans la feuille A4 (Irène) irene.marcovici@wanadoo.fr

Objet : Le plus grand triangle équilatéral inscrit dans une feuille A4
Date : Mar 3 déc 2002 17:00

Bonjour, j'ai étudié le problème qui est sur le site de Math en Jean (dans le "laboratoile") [...] [Mon texte] est rédigé en assez bon français pour une fois (ce qui n'exclut pas les fautes d'orthographe)... mais il y a surement pas mal d'erreurs à corriger A bientôt, Irène

Le triangle équilatéral doit avoir ses 3 angles sur un bord ou un coin de la feuille, sinon, cela signifie qu'on peut trouver un autre triangle équilatéral plus grand inscrit dans la feuille.

Soit le triangle a deux sommets sur la même face (c'est à dire qu'un de ses côtés correspond à une partie du côté de la feuille). Alors, on voit bien que le triangle isocèle le plus grand est celui qui a 21 cm pour hauteur. On trouve (par le théorème de Pythagore) qu'il a 14(racine de 3) cm pour côté.

Si le triangle n'a pas deux sommets situés sur la même face du triangle, il a soit un angle dans un coin de la feuille soit aucun angle dans un coin (on voit bien qu'il n'y a pas de triangles équilatéral qui ont la diagonale pour côté).

Mais si aucun des sommets n'est situé dans un coin de la feuille, cela signifie qu'en déplaçant le triangle parallèlement à un bord de la feuille, il pourra forcément avoir un bord dans un coin et alors un autre de ce point ne sera plus situé sur un bord de la feuille ce qui signifie qu'on pourra trouver un triangle isocèle plus grand.

Donc revenons au cas où un des angles du triangle est situé dans un coin de la feuille et les deux autres sur un bord, sans que le triangle aie deux sommets sur la même face (voir pièce jointe).

D'après le théorème de Pythagore (la feuille étant rectangle) on trouve les valeurs indiquées sur la figure.

Résolvons l'équation x^2 = (29,7-racine de (x^2-21^2))^2 + (21-racine de (x^2-29,7^2))^2.

La seule solution positive est un peu supérieure à 98, ce qui est impossible (j'avoue que ce résultat me semble un peu bizarre....)

J'en conclus que le plus grand triangle équilatéral qui tient dans une feuille A4 est celui qui a 14(racine de 3) cm pour côté.

Réf 0201.1 sur le triangle équilatéral dans la feuille A4 (LaboraToile) laboratoile@free.fr

Réponse au message 0201 et commentaires.

La solution que tu apportes nous semble satisfaisante, à quelques détails près. Voici quatre remarques

1° Certains des arguments que tu utilises nous semblent intéressants car il ont une portée générale.
Par exempe, tu écris : "Le triangle équilatéral doit avoir ses 3 angles sur un bord ou un coin de la feuille, sinon, cela signifie qu'on peut trouver un autre triangle équilatéral plus grand inscrit dans la feuille. "
Cela est important et mérite d'être précisé : comment fait-on pour obtenir un triangle équilatéral plus grand ?

Ta conclusion (les trois sommets sont sur le bord) est-elle valable pour d'autre formes que la feuille A4. Lesquelles ? (Les rectangles en général, les polygones convexes, etc. ?)

2) le mot "isocèle", que tu utilise deux fois est à remplacer par "équilatéral".

3) Sur ton équation et sa "solution bizarre".

Pour que l'équation corresponde bien à ta figure, on devrait ajouter (29,7-racine de (x^2-21^2))>0 et (21-racine de (x^2-29,7^2))>0. Il n'est donc pas anormal qu'il y ait des solutions "bizarres", c'est à dire sans rapport avec ta figure.
La solution positive de l'équation est obtenue avec (29,7-racine de (x^2-21^2))<0 et (21-racine de (x^2-29,7^2))<0. Elle correspond à une autre figure.

4) Ta solution est-elle généralisable à d'autres rectangles ? Lesquels ?
En particulier, peut-on résoudre ton équation (qui parait assez dure) pour des valeurs générales des cotés ?
On peut peut-être contourner la résolution de l'équation, avec des considérations géométriques : lorsque P se déplace sur (CD), le sommet Q d'un triangle équilatéral PQA se déplace sur une droite, obtenue en faisant pivoter (CD) autour de A de 60°....

Bonne continuation...

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Quel est le plus grand carré contenu dans un cube ? (collèges Condorcet (77340 Pontault-Combault) et Victor Hugo (93160 Noisy-le-Grand)). Actes MATh.en.JEANS, 1995, p.45-50.

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