MATh.en.JEANS 2001-2002
Le sujet
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Dans "Le Sceptre d'Ottokar", Tintin s'y reprend à plusieurs fois pour réussir à lancer le sceptre à travers une grille. |
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Les barreaux des calandres de voitures, permettent à l'air de passer. tout en protègeant le moteur des gros cailloux. |
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Le ventilateur des voitures est protégé par un grillage à maille carré assez serré. |
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La question peut se décliner sous diverses formes :
- Quelle chance a un petit pois extrafin (diamètre moyen 0,6 cm) ou une allumette (longueur 5 cm, épaisseur 1,5 mm) de passer à travers un quadrillage de maille 2 cm réalisé avec un fil de 2 mm d'épaisseur ?
- Pour un type de projectile donné, quelle sorte de grillage réalisé avec 100 m de fil de fer, protège le mieux une surface de 1 m2 ? Les mailles triangulaires sont-elles plus avantageuses que les mailles carrées ?
- Pour un type de grillage donné, quelle forme de projectile (à volume fixé), a le plus de chance de passer ?
La recherche doit répondre à deux préoccupations :
La réalisation concrète d'une expérience "cruciale" permettra alors de comparer les résultats aux prévisions théoriques.
Premières pistes
Il s'agit de simuler le mieux possible une situation réelle, en construisant un "modèle" prédictif.
Choisir des hypothèses simplificatrices : une forme simple d'objet (un simple segment, un disque, une boule...), un grillage particulier (réseau plan de droites parallèles ou quadrillage ou réseau triangulaire...), une épaisseur de fil (négligeable ou au contraire importante)...
Trouver un moyen simple de décrire les positions et le mouvement du projectile : pour donner la position d'une boule, par exemple, le centre suffit ; les trajectoires peuvent être supposées rectilignes et orthogonales à la surface du grillage.
Prendre des hypothèses sur le hasard et sur sa mesure : on supposera, par exemple, que les points où la trajectoire rencontre le plan du grillage sont équiprobables. En particulier cela permet de définir la probabilité qu'un point (un grain de poussière d'épaisseur négligeable) passe à travers un grillage comme le rapport entre la surface des trous et la surface totale.
Pour la confrontation avec l'expérience, on adoptera le principe fondateur de la statistique ("loi des grands nombres") : la proportion de cailloux qui, lancés au hasard, franchissent le grillage. est une valeur approchée de la probabilité correspondante, une valeur d'autant plus précise que le nombre de lancers est grand.
Suggestions
Ne pas hésiter à étudier des cas très simplifiés, par exemple en 2 dimensions seulement ; les résultats et méthodes obtenues peuvent peut-être se généraliser. On peut par-exemple remplacer le grillage par une rangée de quilles posées sur une patinoire et étudier des palets ou des tiges qui glissent au hasard dans une direction perpendiculaire à la rangée.
A quoi ça sert ?
La simulation du hasard en laboratoire permet d'éviter des expériences concrètes, longues, coûteuses, difficiles, voire impossibles. L'intérêt des modèles probabilistes est double : prévoir les phénomènes (en particulier les risques) et expliquer les résultats statistiques (recherche de causes, par exemple).
Le développement constant de la Théorie des probabilités est nécessaire aussi bien à la compréhension du monde physique, que pour la prévision des risques, naturels ou artificiels . Quelques exemples
- Les particules élémentaires de la Matière sont observées, de manière tout à fait essentielle, comme des "probabilités de présence"...
- Pression et température d'un gaz traduisent un comportement statistique global de molécules qui se déplacent chacune de façon imprévisible. Les prévisions météorologiques s'appuient sur des modèles mathématiques de l'atmosphère.
- Pour les assurances, l'évaluation des risques prend souvent en compte les statistiques disponibles ; pour les centrales nucléaires, au contraire, l'estimation des risques d'accidents s'appuie sur des modèles de "scénarios-catatrophes".
- L'évolution des marchés financiers semble suivre des lois semblables à celles des grains de pollen à la surface de l'eau (mouvement brownien).
Articles dont la lecture peut être utile... (puisqu'il y est question de chances)
Sur un problème proche :
Étude de la probabilité qu'a une aiguille de tomber à cheval sur deux lattes de parquet.
Sur l'histoire et les principes du calcul des probabilités :
Pascal et Fermat, la
naissance du calcul des probabilités,
conférence de Claude Dellacherie (texte de professionnel,
abordable par tout public),
Actes
MATh.en.JEANS, 1994, pp.207-214.
Sur l'importance et le développement de la théorie des probabilités (pour les afficionados et les animateurs d'atelier) :
Probabilités
: quelle actualité pour la recherche et l'enseignement
? conférence de M. Jean-Pierre Kahane, donnée
à l'Académie des Sciences le 13 novembre 1995.)
Texte de professionnel. De Hilbert au mouvement brownien."
Actes
MATh.en.JEANS, 1995, pp.195-210.
Des exemples de calcul de probabilités :
Pile ou face,
(lycéens du jumelage MATh.en.JEANS entre les lycées
La Fontaine et Buffon, Paris, 1994-95),
Actes
MATh.en.JEANS, 1995, pp 187-189. Une étude du
nombre de fois où on se trouve "à jeu", sans gagner,
ni perdre, lorsqu'on lance la pièce n fois.
Marche
aléatoire, (lycéens du jumelage MATh.en.JEANS
entre les lycées La Fontaine et Buffon, Paris, 1994-95),
Actes
MATh.en.JEANS, 1995, pp 191-193. Un calcul des chances de
gagner 0 franc à la fin du jeu.
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