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Un jumelage MATh.en.JEANS (élèves de CM2, 6ème et 5ème. école Jean Bonis et collège Frédéric Chopin de Melun (77)) en 2001-2002.
Réf 0101 Sur la division juste (groupe de CM2, école Jean Bonis, Melun)
(12 décembre 2001) Extraits d'un message d'un groupe de CM2, dans le cadre d'un jumelage MATh.en.JEANS entre L'École Jean Bonis et le Collège Frédéric Chopin de Melun (77)en 2001-2002 après 6 séances.
[entre crochets : des précisions du LaboraToile ][[entre doubles crochets : commentaires du chercheur]]
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Q (question principale) : A quelle condition le reste d'une division sera nul ?
1. Si le diviseur égale 1 : le reste sera tout le temps nul
Exemple : (Š)
2. Si le diviseur égale 2 : le reste sera égale à 0 si le dividende est paire.
Exemple : 257643/2 (...) [impair donc reste non nul : le sens l'implication est différent] ["égal" comme verbe ou comme adjectif -> orthographe à corriger]]
3. Si le diviseur égale 3 : le reste sera nul si en additionnant les chiffres du dividende, le chiffre obtenu est =(3,6,9) [ c'est à dire est l'un des trois nombres 3, 6 ou 9] [[nombre‚chiffre]]
Exemple [1] : 153/3 153 : 1+5+3=9 donc le reste sera nul.
Exemple 2 : 278965/3 278965 : 2+7+8+9+6+5=37=3+7=10=1+0=1
Cette division par 3 aura un reste non nul.
[[Quand vous écrivez 37=3+7 ou 10=1+0, vous donnez au signe = un autre sens que "égal à" : les autres personnes ne comprennent plus. Il vaut mieux un autre signe , par exemple une flèche : :---> qui veut dire « on fait la somme des chiffres et on trouve : »
Il faut expliquer que l'on recommence à mettre des flèches (à faire la somme des chiffres) tant que l'on a plusieurs chiffres dans le résultat. Au lieu de somme des chiffres, on parlera donc de "somme finale" du nombre de départ.
Vous avez observé une loi intéressante. La formulation la plus claire (pour que tous comprennent la même chose) est :
LOI n°1 " si la somme finale obtenue est 3, 6, 9 alors le reste est 0 ".
Attention : les exemples 1 et 2 ne sont pas des exemples de la même chose.
1 illustre " si la somme finale obtenue est dans la liste (3, 6, 9) alors le reste est 0 ", c'est la LOI n°1
2 illustre " si alors la somme finale obtenue n'est pas dans la liste (3, 6, 9) alors le reste n'est pas 0 " ce n'est pas la LOI n°1.
En fait plusieurs questions se posent naturellement :
q1. Si le reste est 0, alors la somme finale obtenue n'est pas dans la liste (3, 6, 9) ? Vrai ou faux?
q2. Si le reste est 0, alors la somme finale obtenue est 3, 6 ou 9 ? Vrai ou faux?
q3. Quand la somme n'est ni 3, ni 6, ni 9, que vaut le reste ? Cette dernière question vient des travaux des collégiens (voir référence 0102) qui étudient les restes possibles]].
4. Si le diviseur égale 4 : ?
5. Si le diviseur égale 5 : le reste sera nul si le dividende se termine par 0 ou 5
exemple (Š)[terminaison 5 donc reste nul]
[[mêmes remarque que pour la divisibilité par 3 : LOI à écrire sous la forme "siŠalors".
Question : Si la terminaison n'est pas 0 ou 5, que vaut le reste ?]].
6. Si le diviseur égale 6 : ?
Bilan du 2ème séminaire du collège F. Chopin sur le même sujet. (13 décembre 2001)
Le groupe a étudié la divisibilité par 7.
Il se sont intéressé au reste de la division par 7 et ont formulé les lois suivantes :
LOI n°1 : le reste de la division par 7 est toujours l'un des nombres 0,1,2,3,4,5 ou 6. Pour calculer le reste d'une divison par 7 on n'a pas besoin des chiffres du résultat (appelé le quotient entier) : il suffit à chaque étape de la division de marquer le reste (0,1,2,3,4,5 ou 6) et d'abaisser le chiffre suivant.
LOI n°2 : on peut enlever 7 aux gros chiffres (7, 8, ou 9) sans changer le reste. Plus précisément on a :
- Si il y a un 7 dans l'écriture d'un nombre et qu'on le remplace par 0 on ne change pas le reste.
- Si il y a un 8 dans l'écriture d'un nombre et qu'on le remplace par 1 on ne change pas le reste.
- Si il y a un 9 dans l'écriture d'un nombre et qu'on le remplace par 2 on ne change pas le reste.
exemple : reste de la division 298 356 097180 / 7 = reste de la division 221 356 020 110 / 7
CONSTAT plus général si on enlève 7 ou un muliple de 7 à un nombre on ne change pas son reste.
Le même phénomène se produit pour la division par 3 : si on enlève 3 ou un muliple de 3 à un nombre on ne change pas son reste dans la division par 3.
Dès lors, lorsqu'on se donne un système de
numération, la représentation d'un nombre est
simplement un mot sur un alphabet fini de chiffres. Est-il simple
de reconnaître si un nombre est un multiple de 10 lorsqu'on
regarde sa représentation binaire ? ou si un nombre est un
carré parfait ? ...
Le texte de cette conférence montre comment la
théorie des langages et des automates répond
à ces questions.
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