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Paris et New York sont-ils les coins d'un carré ?
Une manière simple d'aborder les géométries non-euclidiennes en mettant à l'épreuve les notions les plus courantes de la géométrie scolaire. Dans un monde courbe, où même l'existence d'un carré devient problématique, seul l'enchaînement déductif permet de contrôler les intuitions.
Comment projeter la même ombre qu'un cube avec le moins de matière possible ? Une problématique d'optimisation continue, inspirée du thème des surfaces minimales, qui appelle en fait des raisonnements combinatoires en géométrie. Ce thème invite, à un niveau élémentaire, à la découverte de la perspective cavalière et de la connexité ; l'étude à un niveau professionnel conduirait à une délicate recherche de solutions non nécessairement mesurables.
Quel point prendre pour centre d'un polygone plan ? Le plus intérieur, A, réalisant la distance maximum au coté ou au sommet le plus proche ? Le plus influent, B, à distance minimum du sommetou du coté le plus éloigné ? Le centre de gravité, C, réalisant une position moyenne ? Les emplacements optimaux, les méthodes de construction et les applications varient suivant les définitions adoptées. Un problème non résolu est de trouver les formes convexes d'aire 1 pour lesquelles les points A et B sont le plus loin possible l'un de l'autre.
Tous les bouchons flottent-ils couchés ? Certains flottent-ils debout ? Cela dépend aussi bien de la forme que de la densité du matériau. Trouver une solution "élémentaire" est certainement difficile : on peut tenter de développer une approche géométrico-combinatoire des centres de gravité, à l'instar des méthodes d'Archimède pour le calcul de volume (cf. sujet n°62). Pour les densités autres que 1/2, on ne sait pas si la forme sphérique est la seule qui réalise un équilibre indifférent. Voir aussi sujet n°62.
L'assemblages d'un nombre réduit d'unités élémentaires de calcul permet la schématisation d'un calcul formel (un polynôme, une tresse, etc.). Comment s'apercevoir si des schémas différents conduisent au même calcul ? Le problème des mots en théorie des groupes est l'un des avatars de cette problématique qui est centrale en théorie des noeuds.
Les croisements d'une boucle de ficelle posée sur un plan sont les lettres d'un alphabet. Lire le noeud c'est suivre la ficelle et former le mot correspondant à la succession des croisements. Comment reconnaître ces mots et former les noeuds correspondant ? Peut-on ainsi transmettre la recette d'un noeud par téléphone ? Comment reconnaître les mots différents qui correspondent à un même noeud?
Comment construire ou reconnaître la perspective d'un cube ? d'une pyramide ? d'une sphère ? Comment doit-on photographier un cercle pour que sa photo soit un cercle ? Comment, avec Cabri-Géomètre© animer l'image d'un cube tournant ? Autant de questions invitant à la découverte de la représentation spatiale.
Comment construire ses propres stéréogrammes. A partir de quelques exemples de stéréogrammes et d'une initiation kinesthésique permettant de les voir en relief, il s'agit de modéliser les projections radiales et la vision binoculaire pour aboutir à des résultats quantitatifs.
Escaliers montant indéfiniment, perspectives absurdes, fausses images. Paradoxes, illusions ou oeuvres d'art ? Une étude mathématique de la sémiotique des perceptions visuelles visant au contrôle et à la reconnaissance automatique de scènes tridimensionnelles à partir d'images planes.
Quelles positions peut prendre un polyèdre en basculant plusieurs fois sur un plan ou une portion de plan ? Exemples du cube basculant sur un échiquier et des autres polyèdres réguliers. Un sujet inédit où se mêlent plusieurs cadres et où la description finie de l'infinité des mouvements possibles devient un enjeu fort.
Colorer les briques irrégulières d'un mur de manière à ce que deux briques colorées avec la même couleur ne se touchent jamais ? Combien de couleurs utiliser au minimum ? Colorer d'un carte d'Afrique, les départements d'un carte de France, etc. avec le nombre minimum de couleurs ? De nombreuses variantes du "problème des 4 couleurs" restent énigmatiques, telle cette conjecture d'Erdös : si des segments du plan ne forment aucun triangle, 3 couleurs suffisent pour les colorer de manière à ce que deux segments de même couleur ne se rencontrent jamais.
Dans un réseau à maille carrée de barres articulées à leur extrémités, comment placer des traverses (= diagonales de carrés) pour rigidifier l'ensemble ? Une entrée dans l'optimisation combinatoire et ses applications à l'architecture.
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Communiquer dans une grille
Quels points d'un quadrillage peuvent recevoir une information propagée au moyen de règles données du type : "1 pas vers la droite et 3 pas vers le haut" ou "2 pas vers la gauche et 2 pas vers le bas"...? Une version vectorielle du fameux problème de Frobénius en théorie des nombres : exprimer un nombre arbitraire par combinaison, à coefficients entiers positifs, de nombres donnés.
Peut-on disposer n grains régulièrement de manière à remplir des formes simples : triangle, carré, rectangle disque, pyramide, etc. On peut par exemple s'intéresser aux nombres de pixels qui dessinent un carré ou un rond sur un écran d'ordinateur. Les nombres premiers apparaissent naturellement comme les nombres "informes". La recherche des points à coordonnées entières dans les domaines convexes traverse plusieurs branches actives des mathématiques contemporaines : optimisation combinatoire, géométrie des nombres, géométrie algorithmique...
On souhaite que chaque ligne d'un échiquier (horizontales, verticales ou diagonales) contienne une case occupée par un pion. Quel est le nombre minimum de pions nécessaires ? Comment faire si on désire surveiller toutes les cases avec le nombre minimum de pions (une case est surveillée si il existe une ligne qui la contient et qui contient une case occupée). Les analogues multidimensionnels de ces problèmes sont ouverts.
Quel est la plus petit boite rectangulaire pouvant contenir n pions circulaires identiques ? n caramels carrés ? Comment emballer n boules de la manière la plus économique possible ? Pour des boules identiques, l'empilement "de l'épicier" s'avère le plus dense possible, comme on le sait depuis peu.
Le n-ième rectangle harmonique a pour côtés 1/n et 1/n+1. Quel est le plus petit carré permettant de les placer tous sans chevauchement ? Un problème ouvert proposé par Graham, Knuth et Patachnik.
On coupe 100 fois un cube. Combien de pointes peut-on obtenir au maximum ? au minimum ? Une découverte des polytopes simpliciaux et de leur structure faciale (formule d'Euler, théorème de la borne supérieure)
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Trajectoires dans un billard
Étude de la succession des rebonds d'une boule de billard, pour diverses formes de tables : phénomène périodique, prévisible ou chaotique ? Chaque état dépend simplement du précédent. Il est pourtant fort délicat de prévoir l'évolution de ce système dynamique : un problème central de la théorie ergodique, lié à la théorie algébrique des nombres.
L'histoire d'une balle élastique soumise à la pesanteur et aux principes de la mécanique newtonienne : recherche d'attracteurs dans ce système dynamique.
Une savonnette, située en un point A, glisse sur une rampe, jusqu'à un point B, plus bas. Quelle forme de rampe permet d'arriver en B le plus tôt ? Une situation-recherche intéressante dès le collège qui met en jeu une approche du calcul par éléments finis et invite à la récursivité.
Des arbres sont régulièrement plantés, en quadrillage. Depuis l'origine du quadrillage, jusqu'où voit-on entre les troncs lorsque les arbres deviennent plus gros ? La problématique sous-jacente est l'approximation des nombres réels par des fractions dont numérateurs et dénominateurs restent petits. Ce problème de visibilité est ouvert lorsque le point d'observation est ailleurs qu'à l'origine.
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Avec quel volume nagez-vous ?
Recherche du volume d'un tore "à la manière d'Archimède", à partir d'idées élémentaires prises pour axiomes : volume du cube, invariance par découpages et déplacement, multilinéarité, principe de Cavalieri. Une définition d'un volume (évitant l'usage des limites et les questions de mesurabilité), et une méthode de détermination par approximation finie sont donnés en document.
Cabri est un logiciel de manipulation directe d'objet de la géométrie plane permettant de faire évoluer des figures complexes construites partir d'objets de base déplaçables. Lorsque que l'on mesure l'aire d'un polygone défini avec des points de base on trouve toujours des nombres fractionnaires avec des suites périodiques de décimales, et ceci même après déplacement des sommets. En revanche, certaines constructions simples donnent lieu à des séquences apparemment imprévisibles. Comment expliquer ces phénomènes ? Aurait-on des propriétés analogues avec des calculs de volume ?
Tout polymino pavant le plan pave-t-il le tore ? Cette conjecture de Grünbaum est à relier à la recherche d'un pavage apériodique fait avec une seule forme de base (le fameux pavage de Penrose, décrivant la structure de certains quasi-cristaux, utilise 2 pièces de base).
Un brenom, c'est un nombre "en verlan", un nombre écrit à l'envers, formé par une suite illimitée de chiffres (dans un système de numération fixé) écrits de droite à gauche : addition et multiplication usuelles sont donc immédiatement transposables ; la division, elle, pose problème. Une entrée originale dans l'arithmétique des nombres p-adiques qui permet, par contraste, de comprendre le fonctionnement du système décimal usuel et l'usage des équations. L'approche géométrique des métriques p-adiques est un aspect intéressant du sujet.
Quel est le plus grand cadre carré que l'on puisse mettre dans un colis postal cubique ? La variante du Prince Ruppert consiste à faire passer le plus grand cube possible à travers un autre cube. La problématique générale est toujours active (exemple de l'ellipsoïde de Löwner) : deux formes A et B étant données quelle est la plus grande forme qui puisse être contenue dans une forme B ?
La connaissance de l'état futur d'un système peut souvent se ramener à la recherche de point fixe d'une transformation. Prenons une fonction croissante de [0,n] dans [0,n]. Examiner l'existence d'un point fixe dans les cas suivants : (a) variable et valeurs entières, (b) variable et valeurs décimales (c) variable et valeurs fractionnaires (d) variable et valeurs réelles. Problème d'une grande richesse pour comprendre le statut mathématique des nombres et aborder les enjeux du travail des analystes contemporains.
Une version discrète du problème de Dirichlet sur les fonctions harmoniques : le bord d'une portion de quadrillage est remplie avec des nombres entiers naturels, les cases intérieures sont remplies avec 0. L'opération de base consiste à choisir une case intérieure et à remplacer son contenu par la moyenne des cases voisines, arrondie à l'entier inférieur. Il s'agit d'étudier l'existence et l'unicité d'une configuration stable obtenue par répétition d'opération de base, suivant diverses stratégies.
Des plis verticaux ou horizontaux (creux ou bosses) jalonnent une feuille de papier en la divisant en rectangles. Quelles configurations de plis permettent de replier la feuille en respectant le sens des pliures ? Comment la replier ? Combien y a-t-il de manières différentes ? Lorsque que seuls des plis complets sont autorisés, on retrouve le problème ouvert dit "de la planche de timbres".
Quel est la surface minimale permettant à une voiture de faire demi-tour ? De rentrer dans un garage ? d'effectuer un créneau ? Des variantes encore énigmatiques du problème de "l'aiguille de Kakeya".
Dans les communautés primitives mayas, la surface d'un champ bordé par 4 côtés s'obtenait avec des règles extrêmement simples : faire la moyenne de deux côtés opposés puis des deux autres cotés, puis multiplier les nombres obtenus. La surface de champs de formes plus complexe s'obtenait par division en régions à 4 côtés. Ces procédés sont-ils bons ? Comment faire pour un champ triangulaire ?
La règle et le
compas permette de construire certains nombres correspondant à
certaines longueurs. Mais certains nombres comme 
ou
restent inaccessibles.
L'intérêt principal d'une construction à la
règle et au compas est d'être générique :
Cabri-Géomètre® permet de l'enregistrer comme
une macroconstruction. Avec d'autres instruments ou d'autres courbes
(abaques), que peut-on construire ? On peut par exemple se
demander ce que peut construire le logiciel
Cabri-GéomètreII® qui permet l'usage des courbes
coniques.
Un jeu issu de la théorie des langages. Des billes sont réparties en plusieurs tas. A chaque coup, on prélève une bille dans chaque tas puis on forme un nouveau tas avec les billes prélevées. Que se passe-t-il à la longue ? Combien de coups sont nécessaires avant de retomber sur une configuration déjà obtenue ?
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Systèmes de numération balançaires
En mettant certains poids tous différents, chacun en 1 seul exemplaire, (par exemple des poids de 1, 3, 9 et 27 g.), à droite, à gauche ou pas du tout, on arrive à peser ainsi un objet en équilibrant une balance. Une pesée réussie permet donc de coder le poids de l'objet à l'aide de trois signes : "droite", "gauche", "sans". Comment faire les opérations usuelles (addition, soustraction, ...) dans un tel système ? De tel codages sont utiles pour accélérer les calculs des ordinateurs.
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Fractales : les IFS (Iterated Function Systems)
A l'aide de l'ordinateur qui effectue des modèles réduits systématiques (opérateur de Hutchinson), on peut dessiner une forme par des motifs qui sont des images en réduction de la forme elle-même, obtenant après itération une image fractale. Comment contrôler la ressemblance à l'original (distance de Hausdorff) ?
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Plus court chemin dans un milieu hétérogène
Dans un domaine où une vitesse de passage est définie en chaque point, comment trouver le chemin le plus rapide ? Inspiré par les équations différentielles (de Lorentz notamment), ce type de question est inévitable lorsqu'on souhaite comprendre l'évolution d'un système dynamique, simuler ou contrôler l'écoulement d'un gaz, d'un liquide. On peut aborder sous cette forme les géodésiques des espaces courbes et les géométries non-euclidiennes. Une approche possible de la mesure des courbures, suivant Freudenthal...
Explorer un labyrinthe au hasard permet-il d'en sortir ? En combien de temps ? Des stratégies non aléatoires sont-elles meilleures ? Que faire s'il y a des sens uniques ? L'exploration aléatoire du plus simple des labyrinthes, avec des carrefours tous alignés, met en scène le jeu de pile ou face ; avec un réseau quadrillé, on a un modèle du mouvement brownien.
Ce sont des pièces de bois rangées à plat dans un espace limité et pouvant coulisser dans les espaces laissés vacants. Le problème est d'obtenir une configuration particulière à partir d'une disposition donnée.
Tous les infinis sont-ils équivalents ? Comment mettre en correspondance bijective un segment ouvert et un segment fermé ? Un segment et une droite ? Fractions et nombres entiers ...
Un simple cercle gradué parcouru par des lignes successives obéissant à des règles arithmétiques élémentaires (exemple : joindre la position courante à la position dont le rang est double). La superposition systématique de tels dessins et leur visualisation colorée sur ordinateur (le logiciel, sous DOS, est fourni) produit des motifs étonnants dont le charme n'a rien à envier aux plus belles rosaces de cathédrales ou aux fractales. L'objet de la recherche est la découverte de lois numériques expliquant les formes observées et de propriétés mathématiques insoupçonnées révélées par ces "chryzodes".
Placer le nombre minimum de caméras pour surveiller l'intérieur d'un polygone. Le problème, qui a fait l'objet d'un ouvrage récent, est loin d'être résolu complètement.
Lacer une chaussure avec le plus court lacet possible. Une situation apparemment simple où s'enchevêtrent les choix d'une modélisation, la recherche d'inégalités métriques et une démarche d'optimisation.
Le but est de constituer avec les pièces d'un tangram (ou avec des tétraminos ou des pentaminos) des formes pavables d'une unique manière. On préférera les formes les plus serrées possibles (périmètre minimum). Initiation aux symétries, maîtrise de raisonnements déductifs arborescents et de preuves d'impossibilité.
45 Sur la fragilité des réseaux
Comment construire des
réseaux capables de maintenir les communications en
dépit d'un nombre donné k de pannes locales ? [
Pour k
3,
les théoriciens des graphes ne connaissent pas de
construction systématique des réseaux de
connectivité (= "solidité") supérieure à
k.
Plusieurs cyclistes courent à des vitesses uniformes différentes sur une piste circulaire. On conjecture que chaque coureur deviendra nécessairement solitaire à certain moment de la course : il sera le seul dans un secteur ouvert d'amplitude 2/n (n étant le nombre de coureurs). Ce problème d'approximation diophantienne se rencontre aussi dans l'étude des flots à valeurs entières dans les réseaux.
Comment découper un cube pour pouvoir fabriquer un tétraèdre avec les morceaux ? Quel tétraèdres sont possibles ? En réponse à une des fameuses questions posées par Hilbert en 1900, Dehn prouva l'impossibilité d'obtenir un tétraèdre régulier. Dans le plan, l'équivalence par découpage de deux polygones de même aire fut établie par Euclide ; on ne sait pas déterminer le nombre minimum de morceaux nécessaires. On peut aussi s'orienter vers la recherche de preuves par découpage de théorèmes classiques concernant les aires ou les volumes (Pythagore, pyramides, etc.) .
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La courbe des tangentes à une courbe
Un outil courant de la Géométrie Algébrique est la dualité qui permet de représenter les droites d'un espace comme les points d'un autre espace. On propose ici d'identifier les courbes représentant la famille des tangentes à une autre courbe. La cas des coniques est déjà intéressant.
Peut-on recouvrir tout le plan en utilisant les éléments d'une suite de formes dont la série des aires est divergente ? Le problème "des carrés d'Eva" est une variante séquentielle finie de cette question : un sac contient des carrés (en nombre infini) dont la somme des aires est 1. On tire un par un, au hasard, les carrés du sac ; le carré puisé est placé où l'on veut sur le plan, mais une fois posé il ne peut plus être déplacé. Peut-on trouver une stratégie de pose permettant de recouvrir sûrement un carré d'aire a ? Quel est la plus grande valeur possible de a ? Ce problème ouvert est dérivé d'une conjecture de Hadwiger affirmant que toute forme convexe d-dimensionnelle peut être recouverte par 2d modèles réduits d'elle-même (un modèle réduit est obtenu par une homothétie de rapport k, 0<k<1).
Des tuiles identiques pentagonales peuvent-elles carreler le plan ? La classification des pentagones et des pavages possibles est encore incertaine. En dimension 3 (ou supérieure), peut-on trouver un polyèdre convexe avec un nombre arbitrairement grand de faces qui remplisse exactement l'espace ?
Un polymino est un morceau d'échiquier. Quels rectangles peut-on carreler avec des tétraminos (ou des pentaminos ou d'autres polyminos) de forme imposée ? Peut-on paver le plan ? (Problème indécidable en général). Des pavages réalisés avec des polyminos généralisés (en dimension 3 ou supérieure) permettent la construction de bon codes correcteurs d'erreurs (le problème est par exemple ouvert pour les "boules de Lee").
Un jeu de stratégie où l'objectif est le contrôle d'un territoire plan par le nombre minimum de pions. La version solitaire est un des problèmes combinatoires classiques, NP-difficile en général. Les versions unidimensionnelles donnent lieu à une étude arithmétique fine des fonctions de Gründy.
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Carrés en carrés, Cubes en cube
Peut-on découper un carré en carrés différents, un cube en cubes différents ? Peut-on imposer des dimensions entières ?
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Peut-on piéger un rayon lumineux?
Peut-on imaginer un miroir qui prendrait un rayon lumineux au piège ? Un miroir qui ne renverrait aucune image ? Un four ayant une telle forme chaufferait sûrement très bien. Acousticiens et espions sont également intéressés.
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Billard triangulaire et trajectoires périodiques
L'origine de ce problème est l'étude de gaz confinés dans un récipient : les molécules rebondissent sur les parois. Comment obtenir dans un rectangle, dans un triangle, des trajectoires de particules qui, périodiquement, rebondissent sur les parois ?
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Pavage d'un losange aztèque
Imaginez un losange dont les côtés sont des escaliers, rempli de cases carrées. De combien de manières peut-on carreler cette figure avec des dominos (chaque domino couvre exactement deux cases) ? On utilise notamment ce type de modèle en physique statistique pour évaluer l'énergie d'un système de particules magnétiques.
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Les plaques d'égout doivent-elles être rondes
?
Leur forme ronde leur interdit de tomber dans le trou qu'elles couvrent. Peut-on imaginer d'autres formes avec la même propriété ?
Comment disposer sur un fil une serviette rectangulaire pour qu'elle sèche le mieux possible ? Comment, à l'inverse, plier un triangle pour occuper le moins d'espace possible ? Des situations inédites d'optimisation géométrique où les paramètres sont au choix des chercheurs.
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Formes indéfiniment symétriques
Le pliage d'une forme symétrique A selon un axe de symétrie produit une nouvelle forme, B, qui est la moitié de la précédente. Si B a un axe de symétrie, un nouveau pliage donne une nouvelle forme C... Continuons à plier, tant que nous trouvons une symétrie. Quelles sont les formes qui sont indéfiniment pliables de cette manière ?
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La forme des nombres : du carré à l'escalier.
Une boîte carrée contient des cubes identiques disposés sur une seule couche. On désire utiliser tous ces cubes pour fabriquer un "escalier". A quelles conditions est-ce possible ?
Le déplacement aléatoire de deux chevaux (ou plus) dans le jeu de société bien connu pose des questions épineuses de probabilités et de stratégie : un cheval en avance a-t-il un avantage ? Ce n'est pas clair, car il peut être frappé par l'autre !
Est une face qui émerge ou une pointe ? Cela dépend peut-être de la densité du matériau... Une approche,semblable à celle du sujet n°4, des concepts-clés de la géométrie 3D et du calcul barycentrique à partir de l'étude des sections planes du cube.
Peut on défaire une tresse en en ajoutant un autre ? Présentation et étude du groupe de tresses. Modélisation des nœuds et entrelacs par des tresses pures.
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Fractales : Initiation aux L-systèmes
Étude à l'aide de l'ordinateur de systèmes dynamiques générés par une transformation géométrique simple répétée un grand nombre de fois. Des points de départ proches peuvent s'éloigner d'une manière difficilement prévisible.
Il n'est pas difficile de mettre des points dans le plan de telle manière que toutes les distances entre deux de ces points soient des nombres entiers : des points régulièrement alignés conviennent. Peut-on réaliser des distances toutes entières avec des points non tous alignés ? Dans ce domaine initié par Erdös, de nombreuses conjectures restent non résolues .
Un cube est formé de nx nx n petits cubes identiques. Combien de ces petits cubes peut-on parvenir à couper par une même droite, par un même plan ? Combien de petits cubes doivent-ils être marqués pour que chaque alignement de cubes (dans chacune des trois directions de référence) contiennent au moins un petit cube marqué ? Les problèmes généraux correspondant sont ouverts.
Seule opération permise : glisser une spatule entre deux crêpes de la pile et retourner la partie supérieure de la pile. Combien d'opérations sont nécessaires pour obtenir une pile bien ordonnée de crêpes, de la plus petite à la plus grande. Ce problème ouvert provient des questions d'optimisation du traitement des données sur un ordinateur.
Rotation et translation ne font pas toujours bon ménage... Imaginer des procédés mécaniques simples permettant de transformer un mouvement circulaire uniforme en mouvement rectiligne uniforme.
Angles justes ou distances exactes ? Quel procédé adopter pour établir des cartes les plus justes possible ? Un thème au long cours, depuis les débuts de la navigation à la théorie actuelle des transformations conformes.
Et si nous étions des être plats, sans épaisseur, vivant en surface, dans un espace à deux dimensions ? Comment appréhender notre univers : reconnaître et mesurer les formes, construire des serrures et des clefs, savoir si le monde est fini ou infini, courbe ou plat... ?
Quel est le plus grand
disque que l'on puisse recouvrir avec 2, 3, 4, 5, 6,...,
n disques. Ce problème est ouvert pour n9. La
surveillance d'un territoire par le nombre minimum de satellites ou
de relais radio pose le même type de problème.
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Les courbes de la bicyclette
La trajectoire d'une rustine sur une roue de bicyclette, vue par un observateur immobile : la cycloïde s'avère intéressante pour des arches de ponts et des pendules parfaits. Notons que si on observe la trajectoire en se déplaçant avec la bicyclette, on trouve une autre courbe fameuse bien connue.
Une forme philippine est une forme qui se partage en deux parties superposables. Comment reconnaître de telles formes ?
Comment remplir un tableau carré de dimension quelconque avec des nombres différents donnés à l'avance, de telle manière que toutes les lignes, les colonnes et les (grandes) diagonales aient la même somme ? D'apparence ésotérique, la recherche de constructions systématiques invite à entrer dans le monde des carrés latins et des plans projectifs finis et s'avère d'une grande utilité pour l'élaboration de codes fiables permettant le traitement et le transport rapide de l'information.
La longueur d'une courbe peut être définie comme la borne supérieure des longueurs des lignes polygonales inscrites. Une telle méthode "par éléments finis" ne marche pas pour les surfaces courbes (exemple de la triangulation de Schwartz d'un cylindre). Comment faire alors pour déterminer l'aire d'une surface courbe ?
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Additionner des points sur des courbes
Une "cubique" (courbe représentant une équation du 3ème degré) recèle une merveilleuse loi ressemblant à l'addition ordinaire. De telles opérations se sont révélées très utiles pour l'étude des équations diophantiennes. Elles interviennent par exemple dans la récente preuve par Wiles du fameux "théorème" de Fermat.
La physique des forces postule l'équivalence de certains systèmes de point de vue de leur comportement mécanique global : ainsi un couple de masse ponctuelles égales situées en A et B équivaut-il (sous certaines conditions) à une masse ponctuelle double placée au milieu du segment [AB]. En mettant en jeu des "points pesants" et en adoptant comme hypothèses (axiomes) mathématiques des principes d'équivalence simple, comment déterminer les positions possibles d'un point unique équivalent à un ensemble de points donnés (centre de gravité) ? Une approche très expérimentale de l'algèbre linéaire.
Plusieurs piles de jetons sont disponibles, numérotées de 1 à n. A chaque coup on enlève le jeton du dessus d'une certaine pile. Chaque jeton porte un nombre entier indiquant dans quelle pile doit s'effectuer le tirage suivant. Quelles sont les configurations qui permettent de retirer tous les jetons ?
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Dissection des aires planes
Il n'est pas difficile de découper un parallélogramme et d'accoler les pièces obtenues pour former un rectangle de même aire. Peut-on réaliser un tel découpage de manière véritablement parfaite, c'est à dire bijective : on souhaite une dissection, c'est-à-dire une décomposition de l'ensemble des points du parallélogramme (bord compris) en un nombre fini de parties deux à deux disjointes qui puissent être redisposées, sans aucun chevauchement, de manière à former un rectangle. L'impossibilité de réaliser une telle dissection qui transforme un carré en un disque de même aire fut récemment établie par Lascovitch.
Comment organiser au mieux un ravitaillement en essence avec une seul Jeep, connaissant la quantité totale à transporter, la distance à parcourir, la contenance des jerricans, la capacité et la consommation du véhicule ? Comment faire si 2, 3, ... jeeps sont disponibles ? Un problème typique de recherche opérationnelle où les meilleures stratégies sont, en général, "NP-difficiles" à déterminer.
Problème (ouvert) des arbres de Steiner : construire un réseau de connexion le plus court possible joignant des points donnés (pour les sommets d'un polygone convexe, on retrouve la problématique du sujet n°2). Une interaction constante entre combinatoire et géométrie, où le choix des paramètres est laissé aux élèves.
Recherche d'un point dont la somme des distances à n points donnés est minimum. L'utilisation de Cabri-Géomètre© permet de découvrir des minima locaux non optimaux. Ce problème, résolu par Toricelli et Fermat pour 3 points (on rejoint dans ce cas le sujet n°81), est ouvert pour plus de 6 points. Diverses variantes sont dignes d'intérêt (utilisation de sommes pondérées ou du produit des distances au lieu de la somme simple, ou prise en compte des distances à des droites au lieu de distances à des points, etc.).
83 Le problème des marionnettes
Les fils emmêlés d'une marionnette correspondent à un élément d'un sous-groupe particulier du groupe des tresses pures. Comment reconnaître les tresses de marionnette et les démêler (sans couper ni détacher les fils) ? L'existence d'un algorithme de rapidité raisonnable ("polynomial") est conjecturée pour ces questions.
Une courbe algébrique peut être codée par une formule que doivent vérifier les coordonnées des points de cette courbe. Cette formule (appelée équation de la courbe) doit être polynomiale : seules sont permises les multiplications de coordonnées entre elles, les additions, et les multiplications par des nombres fixés à l'avance (les coefficients). Comment voir sur la formule s'il existe des points multiples, des croisements ? Peut-on avoir 2 croisements sans faire intervenir de multiplication de plus de 3 coordonnées ?
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Formes de voisinage minimum
Dans un quadrillage, chaque croisement a 4 croisements immédiatement voisins. Comment occuper n croisements pour que le nombre de croisements libres voisins d'un croisement occupé soit le plus petit possible ? Les formes observées dans de nombreux phénomènes naturels (bulle de savon...) ou données à des objets créés par l'homme (berlingot de lait...) peuvent s'expliquer au moyen de ce principe de voisinage minimum. (voir aussi sujet n°86)
Comment découper la plus longue lanière possible avec une peau de chèvre ? Comment, après cela, entourer la plus grande surface possible ? Un exemple prototypique des problèmes "isopérimétriques". (voir aussi sujet n°85)
Plions nfois en deux une bande de papier rectangulaire, la partie droite venant toujours se replier au dessus de la partie gauche. En donnant à chacun des plis réalisés une ouverture de 90° (ou inférieure) on obtient avec le bord du papier une courbe qui a des propriétés remarquables (auto-similarité, densité 1/4, codage avec la suite de Thue-Morse...). Comment savoir si un point particulier du quadrillage est sur cette courbe ?
Le jeu, inspiré de l'awélé, se joue sur un plateau de cases alignées , chaque case contenant un tas, éventuellement vide, de petits cailloux. A l'inverse du jeu de la roulette hollandaise (sujet n°34), chaque coup consiste à vider une case et à égrener son contenu, unité par unité dans les cases précédentes. Quelles configurations de départ permettent d'amener finalement tous les cailloux dans la première case ?