Un exemple de question

Mon compas vient de rester conincé sur une ouverture. Vu son état, je pourrai tracer encore trois cercles avant qu'il ne casse complètement. J'ai une règle dont les graduations sont effacées et j'ai perdu mon équerre.

Puis-je encore parvenir à tracer la perpendiculaire à la droite (d) passant par le point M de (d) ?

[d'après le Rallye mathématique de Franche-Comté 2006-2007]

Un document sur les constructions possibles avec le logiciel CabriII^®

http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Coniques/Panoplie/Panoplie.html

Voici quelques extraits

C - construtibilité : À partir d'un ensemble E de points donnés du plan (par défaut deux points qui sont identifiés à leurs affixes : l'origine et l'unité dans le plan complexe), l'ensemble C(E) est l'ensemble des points contenant E et obtenus par un nombre fini d'intersections de droites et de cercles définis à partir des points de C(E). La définition est récursive, mais chacun comprend, et c'est plus simple qu'une définition itérative "à la Carrega".

Exemple de théorème classique relatif à la C-constructibilité [Carrega p 42 entre autres]

L'angle t est trissectable [à la règle et au compas] ssi le polynôme 4x³ - 3X - cos t   est réductible dans Q(cos t)[X].

C₂ - construtibilité : idem en ajoutant des coniques : à partir d'un ensemble E de points donnés du plan, l'ensemble C₂(E) est l'ensemble des points contenant E et obtenus par un nombre fini d'intersections de droites, de cercles et de coniques définis à partir des points de C₂(E).

Nombres construtibles : ce sont les nombres dont les coordonnées, dans le corps des complexes, sont construtibles (ensemble C ou C₂) à partir de deux points considérés comme étant respectivement d'affixe 0 et 1.

Théorèmes de caractérisation - Polygones réguliers constructibles.

Thèorème de Wantzel (1832) : L'ensemble des nombres C-construtible est le plus petit sous-corps des nombres complexes stable par conjugaison et racine carrée.

Théorème de Videla (1997) : L'ensemble des nombres C₂-construtible est le plus petit sous-corps des nombres complexes stable par conjugaison, racine carrée et racine cubique.

Conséquences pour les polygones réguliers constructibles

Théorème de Gauss : un polygone régulier à n côtés est C-constructible ssi n est de la forme 2rp1p2...pk où lespi sont des nombres premier de Fermat distincts.

Contient les cas r = 0 et k= 0. Les nombres premiers de Fermat sont de la forme 2^p+1, et alors p est une puissance de 2. On ne connait que 5 nombres premiers de Fermat, ceux pour p = 20, 21, 22, 23, 24.

Théorème de Videla : un polygone régulier à n côtés est C2-constructible ssi n est de la forme 2^r3^sp₁p₂...p_k où les p_i sont des nombres premiers distincts de la forme 2^p3^q+1