Comptes Rendus MATh.en.JEANS 91-01

[Article vérifié et annoté : les passages entre crochets sont des éditeurs]

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1. Premier essai, au Collège Gustave Courbet, de Gonfreville l'Orcher, 76.

 J'ai tenté en 1981-82, dans une classe de quatrième dont les élèves étaient triés (bilingues) une expérience de recherche. Mon idée de base est que dans un exercice comme dans un problème ouvert, pour un élève comme pour un chercheur professionnel, la démarche fondamentale en mathématiques est celle de la recherche.

Et c'est donc cela que je dois enseigner à mes élèves.

Un certain nombre de contraintes m'en empêchent : le programme à finir, le temps que nécessite une démarche de recherche authentique, l'effectif de la classe qui se prête mal à une écoute personnalisée et attentive, la motivation plus ou moins forte des élèves.

L'ensemble de ces contraintes m'oblige à me contenter d'enseigner à mes élèves des savoir-faire, alors que l'évolution des matériels et des logiciels montre que c'est à peu près inutile. Même parmi les mathématiciens professionnels beaucoup n'ont jamais su leurs formules de trigo par c¦ur (mais ils savaient les trouver à la main ou dans des formulaires). Même les mathématiciens se mettent à utiliser des logiciels de calcul formel, des cahiers de brouillon informatiques, des bases de données. Le problème essentiel qu'il leur reste à régler est du ressort de la méthode, le reste peut se faire par d'autres moyens. Jusqu'à la démonstration du théorème des 4 couleurs qui a nécessité le recours à l'ordinateur.

J'ai proposé aux élèves d'avoir une activité de recherche mathématique, en travail supplémentaire, devant se terminer avec la rédaction d'un mémoire de recherche, et un exposé en classe en fin d'année. Les élèves et leurs parents étaient un peu déroutés. Mais j'étais jeune prof et donc encore un peu "cinglé" c'est-à-dire plein d'illusions Š

Choix des sujets : ne disposant pas des facilités de photocopie qui existent désormais dans la plupart des établissements scolaires, ni des facilités qui découlent de l'utilisation de traitements de textes, j'ai fait circuler un classeur dans la classe, ce qui a pris près de deux mois pour une rotation complète. Les derniers jours, pour cause de date limite que j'avais imposée, la consultation du classeur a dû avoir lieu à plusieurs, ce qui a permis à plusieurs groupes de se constituer par affinité.

Le classeur contenait le texte "Mémoire de Recherche" (Annexe 1), une liste de sujets [ci-dessous], et des explications et pistes de recherche pour chaque sujet. Les élèves avaient donc, à tour de rôle, tous les éléments leur permettant de choisir leur sujet, et le temps de choisir.

[On trouvera en Annexe 3 la présxentation du sujet "symétrie" et des exemples de production d'élèves sue ce sujet.]

Ces quelques exemples montrent que cette "recherche" n'était qu'embryonnaire. Pourtant, malgré le retard au démarrage à cause du temps de circulation des sujets dans la classe, les élèves ont disposé de toute la période allant de décembre à juin (inclus).

Ils ont formulé des écrits du type :

« si on applique deux fois la symétrie sur un même plan, on revient au point de départ »

[ce] qui est ambigu, car cela figure en dessous du dessin 1 : qu'est-ce que les élèves appellent "appliquer deux fois", et "revenir au point de départ" ?

Echec provisoire.

J'ai ainsi tenté en 1981-82 cette initiation à la recherche. Les élèves n'étaient pas tous intéressés, mais beaucoup l'étaient, et ils ont joué le jeu pour la plupart d'entre eux. La plupart des élèves se sont bien amusés ; aucun groupe n'est parvenu à une production. Le travail n'est pas achevé, ni précisé, et aucune synthèse n'a eu lieu. A posteriori, maintenant que "MATh.en.JEANS" est bien lancée, il m'apparaît que c'est le chercheur professionnel qui a manqué à ce premier essai. Sur le moment, j'interprétais les choses différemment.

Ma tentative s'étant soldée par un échec, je voyais plusieurs raisons à ça : les groupes constitués sur chaque sujet n'avaient pas d'horaire institutionnalisé pour se rencontrer et devaient prendre l'initiative de leurs rendez-vous, je ne voulais pas déborder sur le cours "officiel" pour ne pas avoir de problèmes avec l'institution ou les parents d'élèves, je n'étais pas prêt à prendre les élèves en dehors des heures obligatoires car j'étais "turbo-prof" exilé en province et mes horaires de train étaient plus importants que les horaires de travail de mes élèves.

2. Serge Lang

En 1984, j'ai découvert par hasard deux livres de Serge Lang, intitulés "Serge Lang, des jeunes et des maths" et "Serge Lang fait des maths en public".

Je les ai achetés tous les deux car Serge Lang était pour moi l'auteur de certains livres avec lesquels je préparais l'agreg, et cela a aiguisé ma curiosité. Je crois que ce sont les deux livres que j'ai lu le plus vite de ma vie.

Et j'ai été abasourdi de voir avec quelle facilité des élèves de cinquième assumaient un passage à la limite. Au moment même où les Inspecteurs essayaient de m'expliquer que c'est trop compliqué, qu'il faut y aller doucement, avec les calculatrices, etcŠ

J'ai essayé de me procurer le reportage vidéo de cette séance de Serge Lang en cinquième. J'ai fini par avoir une cassette VHS de cette séance, en octobre 1989 ; "MATh.en.JEANS" avait déjà démarré. A l'époque, je suis donc resté sur ma faim, à me demander si ce que racontait Serge Lang était bien réel.

3. 1.000 classes, ... 1.000 chercheurs

En 1985, j'ai découvert l'existence de "l'Opération 1000 classes 1000 chercheurs", à peu près par hasard &emdash; mais grâce à la Documentaliste (note 1) du lycée Georges Braque d'Argenteuil, merci à elle.

Je me suis dit que c'était l'occasion ou jamais de savoir si l'expérience de Serge Lang était réalisable. J'ai donc contacté le mathématicien de la liste CNRS que j'ai obtenue, laquelle était &emdash; je crois &emdash; celle des seuls chercheurs CNRS qui participaient à l'Opération dans la Région Parisienne.

La présence du chercheur dans cette expérience nous a paru tellement fondamentale que nous avons décidé de la relater sous forme de brochure où nous avons transcrit &emdash; avec Pierre Duchet &emdash; une bonne partie des séances mot à mot. La brochure a été publiée en 1989 par l'APMEP (tirée à 2 000 exemplaires, il en reste quelques unes disponibles à l'APMEP, 26 rue Duméril, 75013 Paris). Le numéro 16 de "Tangente" a publié un extrait de la brochure : une (longue) interview de Pierre Duchet par des élèves, qui est significative de l'intérêt que représentait l'Opération 1000 classes 1000 chercheurs pour les élèves.

Pierre Duchet avait trop de travail pour recommencer 1000 classes 1000 chercheurs chaque année. et nous ne voulions pas non plus nous scléroser en recommençant la même chose chaque année. L'expérience n'a donc duré que sur l'année scolaire 1985-1986. Mais nous sommes restés en contact à cause de la brochure, et il m'a provoqué une fois en me faisant remarquer que finalement les élèves avaient été des spectateurs et non des acteurs de la recherche mathématique.

C'est la raison d'être de l'expérience "MATh.en.JEANS" : (sa-)voir si les élèves peuvent effectivement devenir des chercheurs.

La réponse est oui.

• Ils ont fait des maths en équipe.
• Ils ont construit leurs propres mathématiques.
• Ils ont pratiqué un loisir "comme d'autres font du tennis".

Ils étaient de niveaux scolaires très variables et ils sont restés de niveaux scolaires très variables. Leur prestation à Vaugrigneuse devant des mathématiciens professionnels, la réalisation de l'exposition, leur participation à l'exposcience "PERIF 90", tout cela montre bien qu'ils ont parfaitement assimilé ce qu'ils ont fait, qui est hors-programme.

Que leur niveau scolaire soit resté pratiquement inchangé n'est pas très étonnant puisque l'évaluation officielle ne prend en compte aucune des qualités révélées par "MATh.en.JEANS".

4. MATh.en.JEANS, mise en place.

L'expérience que nous souhaitions mener a été mise au point en avril 1989 ; les premières démarches pour mettre en place le projet ont démarré en mai-juin 1989. Le travail des élèves a commencé effectivement la semaine de la rentrée.

Nous souhaitions emmener les élèves faire des maths dans un château, et les faire travailler sur documents. Nous n'avions ni l'un, ni l'autre ; et pas d'argent pour nous procurer l'un ou l'autre.

Pourquoi travailler sur documents ? Essentiellement pour nous assurer de ne pas leur faire un cours, et que leur travail ne se limite pas à quelques exercices que nous leur donnerions, mais qu'ils s'habituent à l'écrit, que leur démarche suive au mieux celle que doit suivre un chercheur &emdash; qui n'a pas de prof qui lui donne l'énoncé, la méthode, voire la solution.

Pourquoi un château ? Pour sortir les maths du cadre scolaire qui lui a donné son rôle sélectif, et qui lui a fait perdre imagination, méthode, force, beauté au profit de savoir-faire sans âme ni utilité, acquis dans un système répressif.

Les sujets proposés aux élèves étaient libellés comme suit :

1) Combinatoire de l'échiquier. Parcours du cavalier. Placer des tours, des reines, des dominos. Les fin de parties aux échecs. Analyse rétrograde. Les grilles magiques.

2) Géométries non-euclidiennes. Les énoncés équivalents à l'axiomes des parallèles. La géométrie euclidienne est une géométrie non-euclidienne. La géométrie de Lobatchevski. Quadrangles. Sinus et Cosinus. Théorème de Pythagore. Axiomatisation de la géométrie utilisable dans l'Enseignement et par l'Enseignement. Géométrie finies.

3) Le nombre d'or. Définition; rectangles et triangle d'or. Suite de Fibonacci. La nature, la musique et les arts. Algorithme d'Euclide, paradoxe de Lewis Caroll. Fractions continues. Application au solitaire.

4) L'infini. L'infiniment grand et l'infiniment petit. Histoire et histoires. La continuité ou les continuités. Le continu, le transfini.

Nous avions ainsi constitué au Lycée Racine de Paris et au Lycée Jean Jaurès d'Argenteuil, quatre équipes de recherche, chacune d'elles ayant la possibilité, à plusieurs reprises, de rencontrer l'équipe correspondante.

Il restait à les mettre au travail.

Nous leur avons donné les mêmes documents, trop nombreux, constitués surtout de la collection complète du "Petit Archimède"; nous simulions ainsi une "banque de données", dans laquelle les élèves ne savaient pas quoi chercher, ni comment, et avec laquelle ils ont obtenu soit beaucoup (trop) d'informations, soit peu, suivant les sujets.

(à ce sujet, voir l'annexe 4)

Les élèves ont ainsi travaillé de différentes manières : personnelle, en groupe, avec l'aide éventuelle de l'enseignant, avec supervision du chercheur. Contre toute attente, ils ont produit de nouvelles mathématiques, pas tant en ce qui concerne les résultats obtenus que les démonstrations qu'ils ont inventées (par exemple, démonstration inédite d'un résultat connu : celui de la divergence de la série harmonique).

Ils ont produit leurs mathématiques. Hors de la structure classe, ils ont pratiqué un loisir, faisant des maths "comme d'autres font du tennis". Ils ont fait des maths ensemble, acceptant de se tromper ensemble, de se faire contester ou rectifier par les autres, de donner des explications et de convaincre.

5. Le rôle de l'enseignant.

Les enseignants ont appris à se taire. les élèves se fourvoyant dans de fausses pistes ou des contre-sens, il n'était pas question de leur apporter la bonne parole ou "le" résultat "juste" sous prétexte de ne pas laisser dire de bêtises : le prof était présent pour répondre à la demande des élèves, mais s'abstenait de donner des réponses, au sens habituel qu'un prof peut donner à ce mot : nous les mettions sur une piste, nous leur proposions des directions qu'ils prenaient ou pas, nous leur indiquions des sources qu'ils consultaient ou pas.

D'autres fois, nous allions à leur rencontre, posant nous-mêmes des questions, pour les obliger à affiner leurs réponses, ou les amener à envisager des situations auxquelles ils n'avaient pas pensé, ou pour lesquelles leurs réponses étaient incomplètes.

Aidant les élèves à formuler leurs questions et leurs réponses, nous leur avons apportés un langage ; nous leur avons aussi donné quelques théorèmes dont ils avaient besoin pour poursuivre l'étude de leur sujet. Mais nous, professeurs &emdash; et chercheur &emdash; nous nous sommes refusés à leur faire une démonstration. Nous leur avons donné (quelquefois) des outils parce que l'avancement de leur travail exigeait qu'ils leur soient donnés.

Mais il s'agissait de leur démonstration, et ce sont eux qui nous demandaient le soutien théorique dont ils avaient besoin à ce moment là. Notre travail de "direction de recherche" a essentiellement consisté à nous taire, ou à les provoquer pour redynamiser leur travail.

6. Évaluation.

Au lieu de "répéter nos explications" en cours, nous avons eu le plaisir d'observer les élèves se construire leurs mathématiques. Le plaisir de les regarder présenter leurs travaux à des mathématiciens sous le charme, à des profs et des élèves étonnés ou à des parents fiers fiers comme ils l'auraient été s'ils avaient assisté à une audition d'un chérubin apprenti musicien.

Le plaisir aussi de les voir écrire des articles comme des professionnels et en respectant les dates imposées par "Tangente" ou "Quadrature", qui acceptaient de publier ces articles après avoir jugé de la qualité de leur travail et de leur exposé.

La phase ultime de leur travail fut en effet de communiquer leur travaux : expositions, articles Š car il ne sert à rien de trouver quelque chose si on n'est pas capable de le faire savoir aux autres.

évaluation,
évaluations ?

Face à notre plaisir subsiste une inquiétude de taille. Les élèves demandent à ce que ce travail reste en marge de leur scolarité : il s'agit de culture et, de leur point de vue, cela ne regarde pas l'Ecole. Ils ne veulent pas que l'expérience s'intègre au cours.

Eux-mêmes n'intègrent pas leur travail, leur méthodes, leurs résultats, leurs acquis dans le déroulement du cours classique.

Ainsi, dans un "devoir à choix multiple" où les élèves de 1ère S avaient à choisir les exercices à traiter dans une liste d'énoncés (trop longue pour être traitée en totalité), aucun élève de "MATh.en.JEANS" n'a choisi de traiter un exercice en rapport avec son sujet de recherche.

Le seul point nouveau dont j'ai pu juger, pour les élèves que j'avais aussi en classe, c'est qu'ils se sont mis à participer davantage au cours, au fur et à mesure que l'année s'écoulait. Mais leur résultats n'ont guère évolué, et ce n'étaient pas pas, loin s'en faut, les meilleurs élèves de mes classes.

Quant à ceux qui avaient d'autres enseignants en cours, beaucoup disaient être en complet décalage avec leur prof, n'ayant même pas toujours droit à la parole alors que c'est un droit qu'ils ont effectivement conquis dans "MATH.en.JEANS", entre eux et faces aux adultes !

7. Conclusion ?

Pourtant, pour nous, les mathématiques ne sont pas un catalogue de recettes plus ou moins utiles à ingérer. Les mathématiques sont vivantes ; leur enseignement devrait donner le goût d'en faire, devrait donner les moyens d'en faire.

Ce ne sont pas les résultats qu'il faut apprendre mais les méthodes.

Ce n'est pas la difficulté d'une discipline qu'il faut revendiquer, mais l'efficacité, la force, voire aussi la beauté d'un raisonnement qu'il faut transmettre.

Et si l'Economie désire des créateurs, si l'Education Nationale veut susciter des vocations et former des profs des qualités , si la Recherche veut s'éviter un vieillissement important de ses cadres, c'est bien ces mathématiques là qu'il faut enseigner.

Mais même un pédagogue talentueux ne peut pas pour l'instant mettre ses élèves en situation réelle de recherche mathématique dans le cadre de son cours. Cela exige des élèves motivés (même faibles), une utilisation de temps importante qui ne permettra pas de "boucler le programme", un travail par lui même difficile à noter (la recherche doit se faire en groupe et non dans des tours d'ivoire) et ne préparant pas à "l' examen" traditionnel qui ne sert qu'à contrôler des savoir-faire.

Et l'authenticité de la recherche menée par les élèves ne peut être assurée que par un intervenant extérieur : un chercheur ! La formation d'un prof ne lui permet pas de tenir le rôle de directeur de recherche. Et le discours du prof est visiblement suspect aux yeux des élèves qui le connaissent trop. Le contact avec le chercheur est ainsi essentiel pour eux, une raison supplémentaire, et non la moindre, étant la rencontre avec un travailleur véritable, différent du seul qu'il ont l'habitude de côtoyer &emdash; leur prof.

Car les motivations des élèves de "MATh.en.JEANS" sont diverses :

- attrait pour les mathématiques,
- recherche d'une activité de type soutien pour des élèves qui se sentent en difficulté et se trompent sur nos objectifs,
- activité périscolaire en concurrence avec l'Ecole,
- établissement de rapports plus profonds avec d'autres élèves de leur lycée, avec des élèves d'un autre lycée, d'un autre milieu socio-culturel,
- rencontre avec un métier mystérieux, ou avec une "bête curieuse", ou tout simplementŠ
- curiosité pour quelque chose d'original qui démarre dans leur lycée.

Pour la plupart, ils ont produit des mathématiques par eux-mêmes, ils ont "séché", ils se sont découragés, ils se sont pris par la main et ont surmonté leurs découragements, ils ont parlé d'égal à égal avec leur profs, avec des mathématiciens, ils ont trouvé des mathéma-tiques mais ils ont aussi découvert la réalité des mathématiques qui se font. Ils ne deviendront sans doute pas tous des mathématiciens, des enseignants ou des ingénieurs, mais le devenir leur semble désormais concevable.

Et si au début de l'année ils n'osaient pas trop dire aux copains qu'ils faisaient des maths en plus du cours, sans y être obligés, au fur et à mesure ce sont leurs copains qui leur demandaient des explications ou des nouvelles sur ce qu'ils faisaient.

Premier pas vers une dédramatisation des mathématiques.

Paris, 7 juillet 1991

1.  Mémoire de recherche (1981-82)
2. Thèmes donnés en 4° en 1981-82
3. Exemple de sujet : SYMÉTRIE
4. L'utilisation de documents par les élèves (MATh.en.JEANS, 1989-90)
5. "MATh.en.JEANS" poursuit son développement Š

1. quelques années après, juste retour des choses, son fils participait à l'An 2 de MeJ.

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