Comptes Rendus MATh.en.JEANS 91-01

La recherche à l'école

Rubik's cube

thème n°1 : démontrer que certaines positions des couleurs sont impossibles à obtenir.

thème n°2 : établir un "algorithme" permettant de reconstituer le cube, et le démontrer : justifier la validité de la méthode de reconstitution des 6 faces pour une position de désordre quelconque Š

thème n°3 : vocabulaire mathématique du "cube" : groupe, générateur, permutation, ordre d'un mouvement, pour un exposé mathématique de la reconstruction du cube.

thème n°4 : construire des positions régulières des couleurs sans utiliser l'algorithme général : chercher le nombre minimum de "1/4-de-tour-autour-d'une-face" pour réaliser la disposition en question.

ð Proposer des problèmes de ce type (‰ défis)

thème n°5 : étude des "variantes" du Rubik's cube : cube 2 x 2 x 2, domino, cube tronqué, kami-cubes, tour de Babylone, Š

Problèmes sur un échiquier

thème n°1 : proposer et résoudre des finales d'échecs :

&emdash; problèmes en 1 ou 2 coups.

&emdash; finales de pions : parvenir à la case de promotion ; théorie des Rois en opposition.

thème n°2 : problèmes utilisant un échiquier et des pièces d'échecs, sans être des problèmes d'échecs à proprement parler :

exemples :

1.&emdash; placer 8 tours sur un échiquier, sans qu'aucune ne soit en prise par une autre ð trouver toutes les solutions, et leur nombre ; rapport avec les fonctions ou les applications d'un ensemble à 8 éléments dans un ensemble à 8 éléments ?

2.&emdash; même problème (plus difficile) pour 8 reines (dames) à la place des tours : combien de solutions (difficile), algorithme de recherche des solutions ?

3.&emdash; problème du cavalier : parcourir l'échiquier en passant une fois et une seule sur chaque case. ð problème plus difficile : même problème en réalisant un carré semi-magique : numérotant les cases dans l'ordre de parcours du cavalier, on peut obtenir un carré 8 x 8 où la somme de chaque colonne et la somme de chaque ligne sont toujours égales (mais pas magique : ‚ somme suivant une diagonale).

thème n°3 : proposer et/ou résoudre de petits problèmes sur de petits damiers (à partir de différents jeux).

Pavages

thème n°1 : (dessin) construire quelques pavages en décrivant :

1. le pavé de base
2. la méthode de construction du dessin, en pratique

Définir les pavages.

thème n°2 : démontrer que certaines figures simples peuvent paver le plan : triangle, parallélogramme, hexagone

thème n°3 : à partir de l'un des dessins précédents, démontrer que la figure obtenue, après l'avoir mathématiquement définie, est un pavage.

thème n°4 : à partir d'un pavage géométrique, décrire, et vérifier ensuite, les conditions de raccordement qui permettent d'utiliser ce pavage comme trame pour en réaliser un autre, plus figuratif.

Moebius' band

thème n°1 : découper une bande de M¦bius par le milieu, au tiers de sa largeur, etc.

Classifier les résultats obtenus par différents découpages dans une bande de M¦bius ð jeu littéraire (éventuel, difficile) : envisager des textes à écrire sur une bande de M¦bius (cf. Luc Etienne, et aussi "Mille milliards de poèmes" de Queneau).

thème n°2 : chercher le nombre minimum de cubes permettant de constituer un volume dont la surface fasse apparaître une seule face, puis 2 faces, etc Š constituées de facettes de cubes ayant une arête commune (voir article de Scientific American).

thème n°3 : Etablir des résultats analogues avec des tétraèdres à la place des cubes, etc Š

Multiplication

thème n°1 : donner différentes méthodes de multiplication, et les démontrer, c'est-à-dire :

* ne pas se contenter d'exposer la méthode de multiplication (de la décrire),
* mais s'assurer que la méthode est juste, avec une démonstration pour chaque méthode.

exemples :

- justification de la méthode classique donnée dans les écoles françaises ð adaptation à la multiplication en base 2.
- multiplication éthiopienne.
- multiplication avec des baguettes, des bouliers.

Plan des 9 points

thème n°1 : vérifier les axiomes d'incidence ; établir l'existence ou la non-existence de différentes notions : milieu, projection, symétries, distances, etc Š

thème n°2 : regarder ce que deviennent certaines propriétés et certains théorèmes établis en cours.

thème n°3 : Quelles sont les directions de droites ? les projections ?

thème n°4 : compter les droites, les directions, les parallélogrammes, etc Š

Géométrie non-euclidienne

thème n°1 : historique du "Postulat d'Euclide".

thème n°2 : géométrie de Riemann.

axiome de Riemann : par un point extérieur à une droite donnée, il ne passe aucune droite disjointe de celle-ci.

modèle concret de la géométrie de Riemann : le "plan" est le sphère (la Terre par exemple), les droites sont les "grands cercles" de la sphère, c'est-à-dire ceux de rayon maximum (exemples : l'équateur, les méridiens, Š)

Regarder ce que sont les directions de droites ; est-il possible de définir les projections ? les parallélogrammes Certaines propriétés établies en cours sont-elles encore vraies ?

Symétrie

(*) traité dans les pages précédentes.

Remarques :

En ce qui concerne ces sujets, les libellés étaient souvent très scolaires. En effet, il était clair pour moi que ce travail ne passionnait pas tous les élèves ; si je n'espérais pas un travail de grande qualité de la part de tous les élèves, j'espérais qu'il était possible d'amener tous les élèves à s'intéresser aux mathématiques, et le caractère obligatoire de l'activité proposée me garantissait que les élèves intéressés fassent l'effort que je leur demandais.

L'un des avantages de "MATh.en.JEANS" est de poursuivre le même rêve d'amener tous les élèves à développer une culture mathématique authentique, tout en ne trainant pas le fardeau des élèves qui ne sont d'abord pas intéressés, qui sont ensuite contraints, et qui finissent par saboter.

L'appel au volontariat est une façon de tirer vers le haut, plutôt que de laisser ces élèves non motivés tirer les plus motivés vers le bas.