Sujet 1 : Problème de billard [non choisi]
nb d'élèves : 0

La trajectoire d'une boule de billard dépend de la pente de tir initiale :

Fig. 1 &endash; Problème du billard.

• Quels liens existent-ils entre la trajectoire d'une boule de billard et la pente de tir initiale ?

Pour traiter le sujet, on fera les hypothèhses suivantes :

1. Le billard est carré de côté 1. On déisigne par O le coin situé en bas et à gauche.

2. La boule est tirée de O.

3. Il n'y a pas de frottement. La boule ne s'arrête pas au bout d'un certain temps.

4. Lorsqu'une boule frappe une bande du billard, la trajectoire (IB) (appelé trajectoire réfléchie) et la trajectoire (IA) (trajectoire incidente) sont symétriques par rapport à la droite comme indiqué sur la figure.

Sujet 2 : Evolution d'un population d'individus. [non choisi]
nb d'élèves : 0 & 0

Sujet 2 : Evolution d'une population d'individus.

On considère une population d'individus . Celle-ci peut croître ou décroître selon un certains nombres de paramêtres : taux de reproduction, taux de mortalité, ressources limitées en nourriture, en espace, maladies,...

• Comment évolue cette population au fil des années ?

  Pour traiter le sujet, on envisagera chacun des cas suivants :

  1er cas : La croissance ou la décroissance de la population ne dépend que d'un seul paramêtre : le taux de "croissance"

  2ème cas : La croissance ou la décroissance de la population dépend de deux paramêtres : le taux de croissance et une certaine limitation des ressources (le nombre d'individus ne peut dépasser une population " limite " ).

Sujet 3 : Faire de la géométrie avec une distance non-euclidienne. [exposé]
nb d'élèves : 5 & ?

Au lieu d'utiliser la distance euclidienne habituelle dans un plan entre les points M(x; y) et M0(x0; y0), c'est à dire

d(M, M₀) = (x - x₀)² + (y - y₀)²

on définit la distance par

d(M, M₀) = |x - x₀| + |y - y₀|

• Que devient un cercle, une médiatrice ?
• Comment sont les chemins les plus courts, ...,
• que devient le théorème de Pythagore (s'il y en a un), ...,
• comment calculer le périmètre d'un «cercle» ? , etc ...

Sujet 4 : Communiquer dans une grille ? [exposé]
nb d'élèves : 10 & ?

Réussira-t-on à informer tout le monde en respectant les règles de communication en vigueur dans le réseau ?

Sujet 01L02 du LaboraToile. également traité par l'atelier du Collège Robespierre à Epinay

Motivations : La diffusion rapide d'une information dans une ville, un pays, un réseau téléphonique, peut être organisée de bien des facons : le principe dit "du téléphone arabe" où chacun transmet la nouvelle à ses voisins est bien connu. C'est suivant le même principe que se propage le feu dans une forêt (à la différence essentielle près qu'un arbre brûlé ne transmet plus). La recherche des meilleures organisations possibles des transmissions dans un réseau relève de la théorie des graphes. Le problème particulier où l'on cherche à informer tout le monde en un minimum de temps est connu sous le nom de "problème des ragots".

L'étude systématique des propagations aléatoires, du type feu de forêt, utilise des techniques mathématiques variées : les probabilités, la théorie de la percolation (appelée ainsi à cause de la propagation de la vapeur dans la poudre de café) la théorie ergodique qui étudie notamment les zones d'un billard atteintes par une boule qui y circule indéfiniment et la théorie des équations aux dérivées partielles.

Documentation disponible

Communication sur une grille (collèges l'Ardillière de Nézant à Saint Brice sous Forêt et Condorcet à Pontault-Combault). Actes MATh.en.JEANS, 1994, pp.45-50. [facsimilés version gif, version pdf]
Tous publics. Arithmétique et vecteurs pour diffuser l'information sur une grille,

Le réseau (module-recherche de Seconde technologique du lycée Pablo Neruda de Saint Martin d'Hères). Actes MATh.en.JEANS, 1995, pp.145-146.
Si le Vecteur est un agent de transmission d'une information entre points, quels seront les points informés ?

Communiquer dans une grille, par des élèves de troisième du Collège l'Ardillière de Nézant à St Brice sous Forêt (1997-98), Comptes-Rendus MATh.en.JEANS , n° 9801, 2000.

Sujet 5 : Aux antipodes l'un de l'autre [exposé]
nb d'élèves : 4 & ?

Des astronautes escargots sont sur une boite à chaussures, perdus au plein milieu de l'espace. Ils se rejettent la responsabilité de l'erreur qui les a mis dans une telle situation. Depuis, ils se font la tête au point de chercher à se placer sur cette boite de manière à être le plus loin possible les uns des autres.

• Où peuvent-ils se mettre ?

Remarque. Pour répondre aux questions précédentes, il serait utile de connaître le plus court chemin joignant deux points sur une boite : ce serait le chemin que nos deux escargots prendraient pour se rencontrer en cas de réconciliation.