Sujet 1 : Tour de France  [exposé]
nb d'élèves : 3 & 0 (Fanny BRULEBOIS (Ter S), Aurore DESCOTES (ter S), Rémi DURAFFORT (1S))

[Il s'agit de colorer les divisions territoriales de la France métropolitaine (Régions, départements,...) en utilisant le moins de couleurs possibles, l'objectif étant que deux territoires de même couleur ne se touchent jamais.]

[Note de la rédaction. Ce problème de coloration, connu sous le nom de "problème des 4 couleurs" est également traité à Cestas et Mérignac (1). La problématique générale est celle de la coloration de graphes, traité sous diverses formes à Merignac (2) et Pessac et à St-Orens de Gameville et Toulouse.

Sujet 2 : Constructions à la règle et au compas  [exposé]
nb d'élèves : 2 & 0 (Mathieu FUSCIEN ( Ter S), Paule REGINATO ( Ter S) )

On dispose uniquement d'une feuille non quadrillée, d'une règle non graduée et d'un compas. Sur cette feuille sont placés deux points, O et I, distants d'un centimètre.

Initialement, l'ensemble des points constructibles, P, se réduit à {O,I}. On définit l'ensemble A des droites passant par deux points de P et l'ensemble B des cercles dont le centre est un point de P et le rayon est la distance entre deux points de P.

On ajoute à l'ensemble P tous les points d'intersection de deux droites de A, d'une droite de A avec un cercle de B ou de deux cercles de B.

• Montrez que l'on peut construire un point J tel que OIJ définisse un repère orthonormé.

L'ensemble P grossit à chaque étape car on peut recommencer la construction avec tous les nouveaux points que l'on a construits à partir des deux seuls points O et I.

• Montrez que par ce procédé, on peut construire tout point de coordonnées (k,0) où k est un entier puis avec k un rationnel.
• Montrez que si le point de coordonnées (k,0) est constructible, alors le point (1/k, 0) l'est aussi.
• Construire un pentagone régulier à la règle et au compas.

Note de la rédaction : un sujet analogue "nombres à construire" est traité à Melun

Sujet 3 : Savez-vous compter? (Des chiffres et des lettres). [exposé]
nb d'élèves : 3 & 3 (Fabien BARBIER (Ter S), Damien BENAMAR ( Ter S), Sonia FAUT (Ter S) & Emilie PARISOT, Jenny PERROT, Rihab SAADI)

"Il y a trois types de mathématiciens, ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas."

3.1 [Arithmétique]

• Montrez qu'un entier est un multiple de 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Regardez l'écriture décimale de fractions rationnelles telles que 4/5, 1/9, 3/7, 8/205, Š.. Que remarquez-vous ?
• Montrez qu'un nombre rationnel a une écriture décimale périodique à partir d'un certain nombre de chiffres après la virgule.
• Montrez que réciproquement, un nombre qui a une écriture décimale périodique à partir d'un certain rang est rationnel.

3.2 [Cryptarithme]

Chaque lettre désigne un chiffre différent et on interdit aux lettres S et H de représenter le 0.

• Trouver la valeur des lettres E, H, I, P, S, T, U, X pour que la somme suivante soit exacte :

SI X + S E P T + H U I T __________ = S U I T E

3.2 [Une nouvelle multipication ?]

• Sauriez-vous expliquer le phénomène suivant ?

On écrit en tête de deux colonnes deux nombres à multiplier, choisissons par exemple 457 et 365. Sur chacune des lignes qui suivent, on divise par deux dans la colonne de gauche (sans se préoccuper du reste) le nombre du dessus, et on multiplie par deux celui du dessus dans la colonne de droite. On s'arrête lorsque le nombre de la première colonne est 1.	457 228 114 57 28 14 7 3 1 365 730 1 460 2 920 5 840 11 680 23 360 46 720 93 440
On fait alors la somme des nombres de la colonne de droite situés en face d'un nombre impair de la colonne de gauche, ce qui donne :        93 440 + 46 720 + 23 360 + 2 920 + 365 = 166 805 Or il se trouve que 166 805 = 457x365. Terrible non ?

• Sauriez « inventer » le même type de raisonnement en divisant et multipliant par 3 plutôt que par 2
  (il y a quelques modifications non évidentes à faire).
  

Sujet 4 : L'élastique.  [exposé]
nb d'élèves : 0 & 2 (COFFIE Adjoba, ??? Sophie)

Paul dispose d'un élastique d'un centimètre quand il n'est pas étiré et on suppose qu'on peut l'étirer autant qu'on le veut. Il marque un point de l'élastique au crayon rouge. Il étire l'élastique jusqu'à doubler sa longueur puis le replie en deux. Il regarde la nouvelle position du point rouge.

• Peut-il retomber sur la même position ? Pour cela, on commencera par donner la position du point à la deuxième étape en connaissant la position à la première étape.

Il renouvelle son opération autant de fois qu'il le désire.

• Peut-il retrouver la position initiale au bout de 2, 3, 4, k étapes ?
• Donner la position que doit avoir le point rouge initialement pour qu'au bout de k étirements exactement, le point rouge soit à la même position qu'au début.
  

Sujet 5 : Epidémie.  [exposé]
nb d'élèves : 0 & 4 (Stéphane CALDERON, Cuauhtémoc CASTELLANOS, Elisabeth LAM, Anès ???)

Thème initial du sujet : Propagation d'une épidémie.

On souhaite étudier la propagation d'une épidémie. On considère une population dont on néglige les fluctuations dues à d'autres facteurs que la maladie contagieuse (on ne tiendra donc pas compte des naissances, décès ne provenant pas de la maladie ou migration). On justifie cette hypothèse par le fait qu'on ne s'intéresse qu'aux conséquences de l'épidémie. La population se scinde en 4 groupes :

1. Les personnes saines immunisées contre la maladie,
2. Les personnes saines susceptibles de contracter la maladie, on noteS le nombre de telles personnes,
3. Les personnes infectieuses, dont le nombre est noté I,
4. Les personnes retirées, R (ce groupe comprend les personnes décédées des suites de la maladie ou incapables de transmettre la maladie).

La population globale de ces 4 groupes est donc supposée constante. On note a le taux de contagion et b le taux d'isolement.

• Proposer un modèle qui montre l'évolution des différents groupes en fonction de la répartition de la population initialement et en fonction des taux de contagion et d'isolement.