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A la compagnie des eaux de Plucraisse, un ingénieur s'est aperçu que la quantité d'eau prélevée dans la rivière, ne correspondait pas à l'eau qui arrivait au bassin de stockage. Une perte non négligeable, par ces temps de sécheresse, avait donc lieu pendant le trajet. Ceci inquiéta le maire, qui, à coté du bassin, déclara : "Vous devez arrêter cette fuite de toute urgence". L'ingénieur réfléchit : "Le problème, c'est que l'eau peut emprunter de nombreux chemins pour arriver jusqu'ici".

• Connaissant les nombreuses canalisations qui mènent de la rivière au bassin, pouvez-vous aider l'ingénieur à trouver une solution ?

Il y a quelque temps, le nom de famille était le nom du père...
Monsiur Secténope, en contemplant des photos de famille, vit son grand-père enfant entouré de ses parents, ses arrières-grands-parents qu'il n'a, malheureusement pas pu connaître. Il songea alors à sa propre descendance : "Faites que mon nom ne disparaisse pas !".

• A votre avis, à chaque génération, combien de garçons doivent naître, en moyenne, pour que le nom de Secténope traverse les siècles ?

Anne aime confectionner des bijoux en perles : pas cher et toujours original. Aujourd'hui, elle n'a plus que 4 perles bleues, 3 perles blanches, 2 perles oranges et un fil circulaire. A peine de quoi faire un bracelet pour une poupée, pense-t-elle, en plus, je n'ai pas beaucoup de choix avec si peu de perles.

• A-t-elle raison ? Combien de bracelets différents peut-elle faire avec ce matériel ?
• Trouver une méthode générale, si , esnsuite elle désire fabriquer un collier pour elle, très coloré.

Pierre et Paull jouent à pile ou face. Pierre lance une pièce de monnaie, supposée équilibrée, et Paul essaie de deviner le résultat. S'il réussit, Pierre lui donne un euro, s'il échoue, il donne un euro à Pierre.
Après un grand nombre de lancers, Paul est en tête et depuis longtemps sa chance semble ne pas vouloir l'abandonner. Pierre souhaite alors arrêter.

• Que feriez-vous à sa place ?

Capitaine Haddock, pêcheur de son état, cherche à comprendre pourquoi les sardines sont de moins en moins nombreuses dans l'océan Pacifique. Les requins, très présents dans cette région, en feraient-ils leurs repas favoris ?

• Quels conseils donneriez-vous au capitaine Haddock ? Revendre son bateau de pêche tout de suite ou attendre des jours meilleurs ?
• Proposez pour cela un modèle représentant l'évolution de ces deux espèces en notant x(t) le nombre de sardines en fonctions du temps dans la régions de pêche du Capitaine Haddock et y(t) le nombre de requins.

Deux élèves Fred et Max cherchent à échanger des informations durant une interrogation de mathématiques. Ils utillisent pour cela la méthode de codage RSA afin que, même repérés, personne ne comprennent leur messages. Les deux élèves ont chois deux grands nombres premiers p et q puis calculé les produits n=pq et (n)=(p-1)(q-1). Ils ont ensuite choisi un entier r inférieur à (n) et premier avec (n) puis calculé un entier s tel que :

Les nombres n et r peuvent être connus de tous, tandis que les nombres p, q, (n) et s sont gardés secrets par Fred et Max.

Les messages sont représentés par des entiers, l'application de cryptage c d'un message m étant définie par :

Celle de décryptage, d est définie par :

• Pourquoi Fred et Max peuvent-ils se comprendre ?
• Pourquoi à votre avis est-il difficile pour une autre personne de comprendre leur message ?
• On pourra ensuite imiter Fred et Max.

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