Sujet 1 :
Polyèdres semi-réguliers
[Exposé].
nb d'élèves : 4 &
?
Un polyèdre est
semi-régulier s'il vérifie les conditions suivantes
:
- Chaque face est un polygone
régulier.
- Tous les sommets sont
équivalents, c'est à dire sont voisins du même
nombre de faces du même type et dans le même
ordre.
Trouver tous les polyèdres
semi-réguliers (et éventuellement les construire en
pailles ou en carton).
Note de la
rédaction. Un sujet
voisin Cauchy et les polyèdres a été traité par des
collègiens de Cergy en 2001-2002.
Sujet 2 :
Le jeu
du ping-pong. [Exposé]
nb d'élèves : 4 &
?
Les jeux du ping et du
pong se jouent sur un damier rectangulaire, avec des
jetons bicolores (noirs d'un côté, blanc de l'autre). Au
début, tous les pions montrent leur face blanche. Dans les
deux jeux, on choisit successivement des cases puis on retourne tous
les pions voisins de cette case; le pion sur la case elle-même
reste inchangé.
- Dans le jeu du ping il faut que tous les pions montrent leur
face noire.
- Dans le jeu du pong il faut que tous les pions montrent leur
face blanche (c'est à dire qu'apparemment il n'y a rien de
changé) après avoir retourné les voisinages
d'un nombre impair
de cases.
Pour quels damiers le jeu du ping ou du
pong a-t-il une solution ?
Le jeu du pong a une variante qui peut
paraître plus naturelle : il faut restaurer le damier dans son
état original, en retournant le voisinage d'au moins une case
: c'est le jeu de pang.
Message du
chercheur : les recherches
ont utilisé un logiciel que j'ai réalisé,
fonctionnant sur PC ; les fichiers
sources sont
disponibles.
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Note de la rédaction.
Ce sujet dont l'origine
remonte à Shannon (switching games- vers 1940, est
décrit dans la rubrique de J.-P. Delahaye,Pour la Science, Août 2002.
Il peut être étudié de manière
plus générale sur un graphe quelconque
:
Des boutons lumineux sont disposés en réseau
(un exemple est donné par la figure). Un clic sur un
bouton change l'état, allumé ou éteint,
du bouton lui-même et celui de ses voisins.
- Par une succession de clics, la
plus courte possible, on cherche à éteindre
tous les boutons à partir d'une configuration
donnée.
- Une variante consiste à ne
changer l'état que des seuls voisins [le graphe
correspondant est alors "sans boucle"].
Le cas général est
abordé dans Le problème des
interrupteurs, par des
élèves du jumelage des lycées E. Faure
de Lormont et F. Daguin de Mérignac en 1999-2000,
Comptes Rendus
MATh.en.JEANS n°
00-13,
Un cas particulier où le graphe a une forme
étoilée a été traité sous
le titre "allumer les étoiles" en 2002 à Cergy.
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Sujet 3 : [non
traité] dames
chinoises.
Sujet 4 : [non
traité] Jeux de
Nim.
Sujet 5 : [non
traité] Colorations des
cartes.
