Comptes Rendus MATh.en.JEANS 98-07

 

Chemin minimal

par

des élèves du Lycée de La Mure (38).

 

Atelier MATh.en.JEANS (Action "Passion Recherche"), année scolaire 1997-98.
Enseignant : Alain IDELON-RITON
Chercheur: Charles PAYAN (CNRS, 38-Grenoble)


[ Article vérifié et commenté : les passages entre crochets sont des éditeurs ]

[ L'icone renvoie au Glossaire MATh.en.JEANS , à un document ]

 

[ Sujet : A,B,C,D, ... étant des points du plan, on cherche un point M qui rende la somme MA+MB+MC+MD+.... la plus petite possible. Cette question (note 1) a été appelée "problème du chemin minimal" par les auteurs. Seul le cas de 3 points est abordé ici. ]

 

Problème 1. [On étudie un problème plus simple ]

Soient deux points A et B et une droite (D) quelconque. Comment placer le point M sur (D) tel que la distance reliant ces trois points [somme MA+MB] soit minimale ? (note 2)

Premier cas : A et B sont deux points n'appartenant pas à la droite (D) [et situés d'un même côté de (D)].

 

On trace le symétrique A' de A par rapport à (D). On trace (A'B), elle coupe alors (D) en un point M [voir note 3]; [soit H, sur (D), le milieu du segment AA'.] On a: AH = A'H et AM = A'M par propriétés sur les symétries et AM + MB = A'M + MB. Le segment [A'B] est le chemin le plus court entre les points A' et B. D'après cela on peut déduire :

[En effet , pour n'importe quel point M' de (D), le chemin BM'A = BM' + M'A est égal au chemin BM' + M'A', lequel est plus long que le segment BA' = BM + MA' = BM + MA. Tous les chemins BM'A sont donc plus longs que le chemin BMA, qui est donc le plus court.]

[Restent les deux cas simples.]

Deuxième cas : [...] A et B appartiennent à la droite (D). [...]

[Troisième cas : A et B sont de part et d'autre de la droite (D). [...]

Problème 2

Où faut-il placer le point M pour que la distance MA+MB+MC (la somme des traits pointillés) soit minimale ?

 

Une inégalité

On sait que par inégalité triangulaire que

AC < AM+MC

BC < BM+MC

AB < AM+MB

donc, par addition on a : AC + AB + BC < 2AM + 2BM + 2MC d'où P/2 < MA+BM+MC, P étant le périmètre du triangle ABC.

[Ainsi, lorsque M est tel que la somme des distances soit minimale, cette somme est de toute façon supérieure à P/2. Mais n'avons pas trouvé mieux. Nous avons quand même tenté une ...]

Approche expérimentale

Pour une approche plus expérimentale du problème nous avons mis au point un programme assisté par ordinateur (compatible PC/MAC). Ce programme a pour but de nous aider à résoudre le problème du chemin minimal. Il permet de placer trois points A, B et C sur un plan, ensuite l'ordinateur affiche,un dégradé de couleur centré sur le point M tel que la somme des distances MA + MB + MC soit minimale et le point G, barycentre des points pondérés (A,1), (B,1) et (C,1). Cela nous a permis de constater que dans le cas où le triangle ABC est quelconque , G est différent de M.


Notes des éditeurs

 

1. Ce problème ouvert, proposé par Loïc Allys, peut être présenté comme la recherche du meilleur point de rencontre possible pour des personnes situés en des lieux différents. Pour d'autres informations sur ce thème .

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2. Nous avons réordonné quelques paragraphes du texte initial. Pour voir le manuscrit brut .

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3. Ce point M particulier, pourrait être appelé M0 , pour éviter toute confusion avec le point variable M.

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4. Le rapport entre la somme S=MA+MB+MC et le périmètre P peut être aussi proche de 1/2 que l'on veut : on a égalité avec des points A,B,C alignés, avec B entre A et C et M en B.

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5. Il peut être solution dans certains cas particuliers : il est probable que le centre d'une triangle équilatéral réalise le minimum pour la somme S=MA+MB+MC. En général, l'écart entre G et le point solution (pourvu que ce point soit bien unique) pourrait être une définition possible pour une notion de "défaut de symétrie d'un triangle".

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