Ce glossaire est en perpétuelle évolution. Il tente de donner des termes mathématiques utilisés dans le site une définition à la fois accessible à tous et suffisamment rigoureuse pour pouvoir être utilisée.

Il s'agit là d'une mission impossible, que nous avons acceptée en faisant deux hypothèses et un pari :

Avertissement (qu'il vaut mieux lire)

Les mots en italiques sont pris dans leur sens mathématique. Il sont marqués en rouge là où est défini un de leurs emplois. Lorsque le sens d'un mot particulier est nécessaire ou très utile à la compréhension, un lien renvoie à sa définition.

Les mots ou passages signalé par une astérisque (*) sont empruntés au langage mathématique plus spécialisé : il n'est pas nécessaire de les connaître pour comprendre le texte.

addition
algébrique
algébrique (nombre)
algorithme
angle
anneau
arête (d'un polygone, d'un polyèdre)
associatif
axiome

barycentre
Bézout (théorème de) : voir premiers entre eux
bijectif (application, correspondance, fonction), bijection

cardinal, cardinalité (d'un ensemble)
carré (figure géométrique)
carré parfait, carré (nombre)
cartésien (produit)
cartésien (repère)
classe
collection
commutatif
conjecture
continu (puissance du -)
continue (fonction)
convexe (polygone, polyèdre, corps)
coordonnées barycentriques : voir barycentre
couple
courbe
courbe de Jordan

décimal (système, développement, écriture), décimale
décimal (nombre)
décomposition en facteurs premiers : voir premier (facteur)
demi-plan
démonstration
dénombrable
dense
diophantien
distance
divise
diviseur
division
division euclidienne

ensemble
entier
entier naturel
entier relatif
équation
équation diophantienne : voir diophantien
équivalence (relation d'), équivalents (éléments)
extérieur
euclidienne (division) : voir division euclidienne

face (d'un polyèdre)
facteur
facteurs premiers
famille
fermé
Fermat
figure (géométrique)
fini
fonction

géodésique
géométrie
graphe
graphes (théorie des)
gravité (centre de )

inclus
inclusion : voir inclus
inconnue : voir équation
infini
injective (fonction, application, correspondance), injection
intérieur (d'un ensemble, d'un triangle, d'une courbe, d'un convexe, etc.)
intersection
irrationnel
irréductible (fraction -)
isobarycentre

limite (d'une fonction)

majorant
méthode de Newton : voir Newton (méthode de)
minorant
mot
multiplication

^*
n-uple, n-uplet
naturel (nombre)
Newton (méthode de)
nombre
numérique (fonction)

ordre (d'un sommet)
ouvert (ensemble)
ouvert (intervalle)

paire
paramètre : voir équation, polynôme, courbe paramétrée
partie (d'un ensemble)
polyèdre
polygone
polynôme
polynomial : voir polynôme
préfixe
premier (facteur)
premier (nombre)
premiers entre eux (nombres)
produit
produit cartésien : voir cartésien (produit)
puissance du continu : voir continu (puissance du -)
puissance (nombres)

quadrature du cercle : voir algébrique (nombre)
quadrilatère voir polygone
quadrilatère complet
quotient (voir division)

racine (d'un polynôme)
rationnel (nombre)
réel (nombre)
région
réunion

sommet
surjectif, surjective (fonction, application, correspondance), surjection
sous-ensemble : voir partie
ssi

théorème
Topologie, topologique (espace)
transcendant : voir algébrique (nombre)

union

variable

SYMBOLES

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Opération entre entiers naturels qui à deux nombres entiers aet bfait correspondre leur somme  a+ b. Par extension, on appelle addition toute opération qui généralise cette addition entre nombres entiers.

• D'un manière formelle, l'addition des entiers naturels se définit à l'aide de l'union d'ensembles disjoints.

On utilise aussi le mot « addition » (ainsi que les mots qui sont usuellement définis à partir cette opération comme : somme, terme, soustraction, opposé etc.) pour désigner une opération (une loi de composition interne) qui est commutative et associative, plus particulièrement lorsque l'opération "inverse", c'est à dire la soustraction, est toujours possible.

Exemples : on parlera de somme et d'addition pour des vecteurs, des applications linéaires, des matrices, des polynômes, des fonctions ...

On utilise enfin le mot " addition" pour désigner une opération quelconque portant sur les éléments d'un ensemble (une loi de composition interne*), surtout lorsque cette opération est associative et commutative (par exemple dans les groupes abeliens*)

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L'algèbre concerne essentiellement des opérations. Le terme algébrique qualifie un objet mathématique (un nombre, une formule, une transformation, une structure, une courbe, une surface ...) qui peut être défini ou construit à l'aide d'opérations de base, qui ont des propriétés analogues à celles de l'addition (avec éventuellement changement de signe) et de la multiplication (avec éventuellement passage à l'inverse). L'algébriste cherche à déceler et comprendre ces analogies.

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Un nombre réel a est dit algébrique s'il existe un calcul qui utilise a, des nombres entiers (positifs, négatifs ou nuls) et qui combine des additions et des multiplications donne comme résultat 0, alors que ce même calcul peut donner un autre résultat que 0 si on y remplace a par un autre nombre.

Par exemple 22/7 et sont des nombres algébriques car :

7 x (22/7) + (-22) = 0       et        ( x ) + (-2) = 0,

alors que 7x1 + (-22) 0 et que 0x0+(-2) 0 .

Un nombre qui n'est pas algébrique est dit transcendant. On a démontré que le nombre est transcendant et ainsi prouvé l'impossibilité de "la quadrature du cercle", c'est à dire l'impossibilité d'une construction géométrique qui fournirait un carré de même aire que celle d'un cercle donné de rayon 1.

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Le mot vient du nom du mathématicien arabe Al Khwarizmi (vers l'an 820), bien que l'idée en soit connue depuis l'Antiquité. Un algorithme est la description d'une suite d'opérations simples, rudimentaires, à effectuer dans un ordre précis pour obtenir, au bout d'un nombre fini d'étapes, un certain résultat.

Exemple. Pour aider un passant égaré, vous lui donnez un algorithme : « Pour la Mairie, continuez tout droit . Au deuxième feu rouge, prenez à droite. Arrivé à la statue tournez à gauche. Marchez jusqu'à un batiment rose avec un drapeau national. C'est là. »

Exemple. Pour savoir si un nombre n (entier naturel) est premier, vous pouvez appliquer l'algorithme suivant :

- Comparez n à 1 (étape n°1): si n n'est pas supérieur à 1, arrêtez-vous : n n'est pas premier. Si n est supérieur à 1, continuez de la manière suivante :
- Divisez (à l'aide d'un autre algorithme) n par 2 (2ème étape), puis par 3 (3ème étape), puis par 4 (4ème étape), et ainsi de suite en mémorisant à chaque fois le numéro de l'étape et le reste de la division. Continuez tant que le reste obtenu est différent de 0.
- Lorsque vous obtenez un reste nul à l'étape numéro k, comparez  k à  n. Si k est inférieur à n arrêtez-vous : le nombre n n'est pas premier, il est divisible par k. Si  k= n, arrêtez-vous : le nombre n est premier.

Dès le début du XXème siècle, avant les premiers ordinateurs, les mathématiciens ont précisé la notion d'algorithme en imaginant des machines abstraites pouvant effectuer des calculs suivant un plan précis. Ils ont peu à peu identifié les problèmes pouvant être résolu par ces machines. La branche des mathématiques qui traite de ces questions est la théorie de la calculabilité*.

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Ensemble d'éléments pouvant se combiner avec deux opérations analogues à l'addition et à la multiplication des nombres entiers relatifs.

Les deux opérations de base dans un anneau sont souvent notées avec les symboles + et ^. .

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Côté d'un polygone.
Ligne suivant laquelle deux faces d'un polyèdre se rejoignent, quand elles sont voisines : un cube a douze arêtes. Deux arêtes voisines se rejoignent en un sommet.
Liaison entre deux sommets d'un graphe. (Voir graphes (théorie des))

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Propriété prise pour vraie, avant tout raisonnement logique.

Axiomes et définitions mathématiques permettent de commencer à faire des démonstrations mathématiques.

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Point qui correspond à l'idée, venue de la Physique, de moyenne pondérée de plusieurs points.

Dans le plan (ou plus généralement dans un espace affine quelconque), le barycentre des points P₁, P₂,Š, P_n affecté des coefficients m₁, m₂,Š,m_n est l'unique point G qui vérifie l'équation vectorielle:

Quelque soit l'origine O, on a l'égalité :

Coordonnées barycentriques. Lorsque les points P₁, P₂,Š, P_n forment un repère affine* (ce qui implique n=2 pour une droite, n=3 pour un plan, n=4 pour l'espace tridimensionnel, etc.) les coefficients m₁, m₂,Š,m_n divisés par la somme m=m₁+m₂+Š+m_n sont appelés les coordonnées barycentriques du point G : ces coordonnées ne dépendent pas de l'origine O.
une petite introduction au calcul avec des coordonnées barycentriques

Remarque. En Physique, une masse ponctuelle est un point mathématique affecté d'un coefficient (nombre réel qui mesure la masse). Le centre de gravité G (ou centre d'inertie) d'un système S de n "points massifs" (P₁ , m₁) (P₂ , m₂ ),Š,(P_n,m_n) est défini comme le barycentre des points P₁, P₂,Š, P_n affecté des coefficients m₁, m₂,Š,m_n.

Lorsque chaque point du système sont soumis à une force, le déplacement du point G est le même que celui d'une masse ponctuelle unique situé en G, qui serait de masse m=m₁+m₂+Š+m_n et serait soumise à une unique force, égale à la résultante (somme vectorielle) des forces appliquées aux divers points.

Si le système est soumis à la seule pesanteur, le centre de gravité est le point d'équilibre du système, en ce sens qu'une force d'intensité m exercée de bas en haut au point G suffit à maintenir l'équilibre. On appelle droite d'équilibre d'un système pesant toute droite par rapport à laquelle le moment résultant* des vecteurs-poids est nul. Ce sont précisément les droites qui passent par G.

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Construire une bijection entre un ensemble A et un ensemble B consiste à mettre en correspondance parfaite les éléments de A avec ceux de B, ce qui n'est possible que si A et B ont, au sens intuitif, "autant d'éléments l'un que l'autre".

Exemple. Supposons que lors d'une fête, filles et garçons puissent danser en même temps par couples (chaque couple est formé d'une fille et d'un garçon) : une bijection se trouve ainsi réalisée entre l'ensemble des filles et l'ensemble des garçons.

Dire que deux ensembles finis ont le même nombre d'éléments, revient à dire qu'il existe une bijection entre ces ensembles. Lorsque que deux ensembles infinis peuvent être mis en bijection, on dit qu'ils ont le même cardinal (on dit aussi la même puissance).

Les termes correspondance bijective, application bijective, ou bijection sont synonymes : de manière précise, une correspondance c d'un ensemble A vers un ensemble B est appelée une bijection de A sur B lorsque les couples (a,b) qui la composent c satisfont aux deux propriétés suivantes :

(1) Tout élément a de A apparaît une fois et une seule comme premier terme dans un couple de c

(2) Tout élément b de B apparaît une fois et une seule comme second terme dans un couple de c.

1) signifie que c est une application de A (ensemble de départ) vers B (ensemble d'arrivée)
2) signifie que cette application c est à la fois surjective (tout élément de B apparaît au moins une fois) et injective (aucun élément de B n'apparaît deux fois ou plus).

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Au sens courant, le mot bord traduit l'idée de bout, de frontière, de limite, de terminaison d'une étendue.

En mathématiques, on emploi le mot bord pour :

- des surfaces planes : le bord d'un disque est un cercle, le bord d'une bande infinie est constitué de deux droites.
- des surfaces courbes : en soufflant doucement sur un anneau que l'on a plongé dans de l'eau savonneuse, on forme un bulbe liquide, une surface dont le bord est porté par l'anneau ; en soufflant plus fort on obtient une surface sans bord, une bulle.
- des volumes dans l'espace (lorsque qu'on peint un cube, on couvre son bord, c'est à dire la surface constituée de toutes ses faces).

La définition précise de bord dépend de la manière dont ces surfaces ou ces volumes sont étudiés.

Plus généralement, on peut parler de bord pour un ensemble de points dans un espace géométrique, pourvu que cet ensemble possède de "bonnes propriétés". Ainsi, pour un ensemble convexe (voir ce mot), la notion de bord est plus simple à préciser. Elle coincide avec la notion de frontière, pourvu que l'ensemble convexe considéré ait la même dimension que l'espace géométrique dans lequel il apparaît.

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Ensemble d'étendue limitée, qui ne contient pas de points "infiniment loin".

Dans un espace métrique (où l'on dispose d'une notion de distance), un ensemble de points est dit borné s'il peut être inclus dans une boule. Autrement dit, un ensemble A de points est borné s'il existe un point O et un nombre r tels que : pour tout point M de A, la distance entre O et M ne dépasse pas r.

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Le cardinal d'un ensemble  E, aussi appelé sa cardinalité, ou représente, intuitivement, son nombre d'éléments, on le note card( E). Les cardinaux d'ensembles sont appelés les nombres cardinaux ou cardinaux.

• Le mot "cardinal" s'emploie pour les ensembles infinis comme pour les ensembles finis. Les cardinaux des ensembles finis sont les nombres entiers naturels.
• Comme les entiers naturels, les cardinaux des ensembles peuvent être comparés, additionnés ou multipliés entre eux, c'est pourquoi ils sont appelés les nombres cardinaux (ou cardinaux)
  
  • Par définition, deux ensembles A et B ont même cardinal s'il existe une bijection de A sur B. On dit aussi que ces ensembles sont équipotents.
  • Par définition, le cardinal d'un ensemble A est inférieur ou égal au cardinal d'un ensemble B, et on écrit card(A) card(B) si il existe une injection de A dans B.
  • Par définition, si deux ensembles A et B sont disjoints, on dit que le cardinal de l'ensemble AB (réunion de A et B)  est la somme des cardinaux des ensembles A et B et on écrit :
    card(AB)= card(A) + card(B)

  • Par définition, on dit que le cardinal de l'ensemble AxB (produit cartésien de A et B)  est le produit des cardinaux des ensembles A et B et on écrit :
    card(AxB)= card(A) x card(B)

• D'un point de vue formel, le cardinal d'un ensemble E, noté card( E), ou E (ou parfois #E) est la classe formée de tous les ensembles équipotents à E.

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Polygone régulier à 4 cotés. Un carré est un rectangle dont les 4 cotés sont égaux.

	Dans le plan, pour que quatre points A,B,C,D pris dans cet ordre, soient les sommets d'un carré, il faut et il suffit que AB = BC = CD = DA (4 cotés égaux) et que les segments [AB] et [BC] (deux cotés adjacents) soient perpendiculaires.
	Dans le plan ou l'espace, pour que quatre points A,B,C,D pris dans cet ordre, soient les sommets d'un carré, il faut et il suffit que les segments AC et BD (les diagonales) aient même milieu, même longueur et soient perpendiculaires.

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Si les cotés d'un carré (figure géométrique) sont portés par les lignes d'un quadrillage, le nombre de cases intérieures à ce carré est un carré parfait.

1. Un nombre entier est un carré parfait (en abrégé un carré) si il est le résultat de la multiplication d'un nombre entier par lui-même :

• 1849 = 43x43 et 49 = (-7)x(-7) sont des carrés parfaits.
• Les carrés parfaits sont, dans l'ordre, 0 =0x0, 1 =1x1, 4 =2x2, 9 =3x3, 16 =4x4, 25 =5x5, etc.
•  

2. Un nombre X est le carré d'un nombre x si X = xxx ; un nombre est un carré si c'est le carré d'un nombre de même espèce (c'est à dire pris dans le même ensemble de nombres)

• Un nombre et son opposé ont même carré.
• Théorème. Pour qu'un nombre réel soit un carré il faut et il suffit qu'il soit positif ou nul.
• Théorème. Tout nombre complexe est le carré d'un autre nombre complexe (et aussi de son opposé).

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Le produit cartésien de deux ensembles, A et B, noté Ax B, est l'ensemble constitué de tous les couples (a, b) dont le premier terme, a, est un élément de A et le deuxième terme , b, est un élément de B.

Plus généralement, le produit cartésien de n ensembles   A₁ , A₂ , ... , A_n ,  noté A₁ x A₂ x ... x A_n  est l'ensemble constitué de tous les n-uplets ( a₁ , a₂ , ... , a_n ) dont le k-ème terme  a_k  est un élément de  A_k  , pour chaque entier k compris entre 1 et n.

Exemple. L'usage d'un repère permet d'assimiler le plan au produit cartésien x : chaque point M du plan est assimilé au couple (x_M,y_M) formé par les coordonnées de M dans le repère choisi.
Plus généralement, le produit cartésien xx ... x(avec n facteurs) permet de définir l'espace réel à n dimensions, noté ⁿ.

C'est Descartes qui introduisit cette manière d'associer des nombres à des points, d'où l'adjectif cartésien qui est resté en vigueur.

couple, n-uplet, repère cartésien, coordonnées

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Lorsqu'on veut parler de tous les objets vérifiant une propriété donnée, on utilise le mot classe, ou collection, ou famille ou ensemble. Le mot "classe" est un terme primitif de logique mathématique, plus général que celui d'ensemble : on l' utilise de préférence lorsque les objets considérés sont déjà construits à partir d'autres objets plus simples [ou encore lorsque l'usage des mots "ensemble" ou "famille" est incompatible avec les axiomes de la théorie des ensembles]* : on parle ainsi de classes de polynômes, de classes de fonctions, de classes d'ensembles, ...

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Ce mot du langage courant est utilisé lorsqu'on veut parler de tous les objets vérifiant une propriété donnée. Dans la pratique, le mot "collection" est synonyme de classe, de famille ou d'ensemble.

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Phrase qui a une signification précise et qui exprime une opinion, sans que l'on sache encore si ce qui est énoncé est vrai ou non. L'énoncé peut se révéler par la suite vrai (= on en fournit une démonstration, et la conjecture devient théorème) ou faux (= on fournit la démonstration du contraire, qui devient théorème) ou "ni vrai ni faux" (on prouve l'impossibilité de démontrer l'affirmation et l'impossibilité de démontrer son contraire).

Une conjecture qui s'avère ni vraie ni fausse est dite indépendante des axiomes (ou logiquement indécidable) : son énoncé peut devenir un nouvel axiome ou un postulat (on l'adopte pour nouvelle vérité afin d'en étudier les conséquences). Sa négation peut, elle aussi, être prise comme postulat.

• Un exemple de ce type est fourni par le "postulat des parallèles" considéré par Euclide : " par un point pris hors d'une droite on peut mener une parallèle et une seule à cette droite ". Axiome pour Euclide, cet énoncé a longtemps été considéré comme une conjecture par de nombreux mathématiciens, qui pensaient pouvoir le démontrer à partir des autres axiomes d'Euclide, jusqu'à ce que Bolyai, Gauss et Lobachevski, au XIXème siècle, puis Beltrami, Klein et Poincaré prouvent, grâce à une construction "euclidienne" de géométries "non-euclidiennes", l'impossibilité de le démontrer (pourvu que les autres axiomes d'Euclide, n'entraînent eux-mêmes aucune contradiction). L'impossibilité de démontrer son contraire est aussi établie.

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On dit qu'un ensemble E a la puissance du continu s'il peut être mis en bijection avec l'ensemble des points d'une droite réelle ou, ce qui revient au même avec l'ensemble des nombres réels.

dénombrable, cardinal, infini

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Intuitivement, une fonction est continue lorsque des petites erreurs sur la valeur de la variable n'ont pas trop de répercussion sur la valeur de la fonction : si la variable x varie peu, la valeur de f(x) varie peu. Précisément, une fonction est continue si elle admet une limite en tout point où elle est définie (la valeur de cette limite coïncide alors, nécessairement, avec la valeur de la fonction au point considéré).

Exemple. Imaginons que f soit la fonction qui envoie un cube sur une sphère de même centre de la façon suivante : à un point M du cube on fait correspondre le point P = f (M) de la sphère qui est aligné avec M et le centre de la sphère et qui est de l'autre côté de M que le centre de la sphère. Qu'un point Q soit proche de P peut dépendre de la taille de la sphère, et aussi de la finesse de la précision qu'on souhaite. Si la sphère est de la taille de la terre, et s'il s'agit de faire une passe au football, une précision de l'ordre de 1 cm n'est pas nécessaire, mais s'il s'agit d'une partie de golf, il vaut mieux ne pas rater le centre du trou à plus d'un centimètre ...

Dans un cas comme dans l'autre, il y a un moment où on estimera que Q est proche de P et ce moment n'est pas toujours le même suivant les applications numériques. Notre fonction est continue parce que peu importe la précision voulue autour de P sur la sphère, on trouvera toujours une petite région autour de M sur le cube dans laquelle chaque point N aura une image Q = f (N) "proche" de P.

Et si notre fonction part d'un cube beaucoup plus petit, ou beaucoup plus gros, il n'y aura qu'à réduire ou agrandir en conséquence la taille de la région "proche" de M. Notre fonction sera à nouveau continue.

[L'Analyse Non Standard permet de donner un définition à la fois intuitive et rigoureuse de la continuité : une fonction est continue si les images de deux nombres "infiniment proches" sont également "infiniment proches"]*

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En géométrie, un ensemble convexe est un ensemble de points qui contient tous les segments joignant deux de ses points.

Un corps convexe est un ensemble convexe qui n'est pas dégénéré, c'est à dire qui a la même dimension que l'espace ambiant.

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Voir barycentre.

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Liste de deux éléments, dans un ordre précis. Le couple formé des éléments a et b est noté (a,b),. On a (a,b)(b,a) sauf si a=b.

Avec les éléments d'un ensemble à  n éléments on peut former  nx n couples différents.

• La notion de couple est une notion primitive de la théorie des ensembles. Elle permet de définir le produit cartésien de deux ensembles.
• Un couple de nombres écrits en chiffres ou un couple de coordonnées se notera sous la forme (a;b).

  produit cartésien, paire, n-uplet

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Ligne que l'on peut parcourir pour aller d'un point à un autre. Le mot "courbe" est utilisé dans de nombreuses situations avec des sens variables. Dans son usage courant, il traduit le l'idée de ligne d'un seul tenant et sans épaisseur (courbe dite unicursale), pouvant être parcouru sans lever le crayon" (courbe dite traçable); que cette ligne soit vraiment sinueuse ou non, peu importe, on l'appelera courbe : une courbe est donc un parcours, un trajet, un itinéraire...

1.Définition courante (courbe unicursale ou arc de courbe): une courbe (ou un arc de courbe) dans un espace E (le plan, l'espace, etc.) est une application continue d'un intervalle I de dans E :

C :  tIC( t)E

A chaque valeur de la variable t, prise dans l'intervalle I de, correspond ainsi un point C( t). Pour I=[0,1] par exemple, on peut penser à la trajectoire d'un point mobile qui se trouve à l'instant t=0 à la position C(0) et arrive à la position C(1) à l'instant t=1 : la position à l'instant t est le point C(t). La courbe est dite fermée si C(1)= C(0). Si on restreint la variable t à évoluer dans un intervalle [ a,b] inclus dans I, on obtient une courbe

C' :  t[ a,b]C'( t)E

où C'( t)est définie par C'( t)=C( t). On dit que C' est l' arc de la courbe C compris entre  C( a) et  C( b). Les points C( a) et  C( b) sont les extrémités de C'.

Chaque point de la forme C( t) est appelé un point de (ou sur) la courbe C. Des points distincts M₁, M₂, Š,M_n de C sont dit dans l'ordre si ils correspondent à des valeurs croissantes de la variable t : M₁= C ( t₁),  M₂= C ( t₂) ,Š, M_n= C ( t_n) avec  t₁< t₂<Š< t_n .
Cette idée sert notamment à définir la longueur d'une courbe ou d'un arc de courbe.

• On donne aussi le nom de courbe à l'ensemble C(I) de tous les points de la courbe. Ce point de vue implique qu'une même courbe puisse être définie de plusieurs manières.

Une manière courante de définir une courbe est d'en donner une équation

Par exemple, si O est un point donné du plan et si M est une variable qui désigne un point (variable) du plan, on peut voir l'expression OM=3 comme une équation qui définit le cercle de rayon 3 et de centre O.

On se sert souvent d'équation où les variables représentent des coordonnées. L'équation est vérifiée par les cordonnées d'un point ssi ce point est sur la courbe. (voir définition générale et courbes algébriques)

Si O est l'origine d'un repère orthonormé du plan, une équation du cercle de rayon 3 et de centre O. est  x²+ y²=9. Ici, les variables x et y sont les coordonnées d'un point (variable) du plan.

Courbes paramétrées. Une courbe C(t) est dite paramétrée lorsque les coordonnées de ses points sont définies par des formules, (ces définitions sont alors les équations paramétriques de la courbe). Ainsi, un système d'équations paramétriques pour le cercle de rayon 3 et de centre O, dans un repère orthonormé d'origine O est :

x( t) = cos t	pour t[ 0 ;  2]
y( t) = sin t

Courbes traçables. En fait certaines courbes sont tellement bizarres qu'on ne peut pas les tracer en pratique. Peano et Hilbert, par exemple, ont construit des courbes qui remplissent totalement l'intérieur d'un carré! La possibilité concrète de représenter une courbe C par un tracé exige plus que la continuité de l'application C : la courbe doit posséder une tangente en tout point (sauf, peut-être en des points exceptionnels qui seront en nombre fini : de telles courbes sont dites de classe C₁ par morceaux*) et avoir une longueur bornée (ces courbes sont dites rectifiables*).

2. Définition plus générale. On peut généraliser la définition courante en appelant courbe dans un espace E (le plan, l'espace, etc.) une application continue d'une partie P de dans E [ avec une définition généralisée de la continuité]*. Dans le cas où P est une réunion d'intervalles, on obtient ainsi des courbes formée de plusieurs morceaux, chaque morceau étant une "courbe" (unicursales) au sens de la définition courante. Les courbes définies par une équation sont souvent de ce type (voir courbes algébriques).

Courbes algébriques. Elles représentent dans un espace donné (le plan, l'espace, etc.) l'ensemble des solutions d'équations algébriques. Ces courbes sont "générales" en ce sens qu'elle sont généralement formées de plusieurs "morceaux" (voir courbes générales).

Dans le plan l'ensemble des points dont les deux coordonnées vérifie une équation algébrique à deux variables est appelé une courbe algébrique. En prenant , par exemple, une équation du second degré, on obtient une conique.

Dans l'espace, une seule équation définit en général une surface ; il faut donc un système de deux équations pour définir une courbe algébrique dans l'espace, qui apparaît ainsi comme la partie commune à deux surfaces. On retrouve par exemple les coniques en coupant un cone par un plan.

géodésique, longueur*, tangente*, arc ou courbe de Jordan*.

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Le système décimal est le moyen usuel d'écrire les nombres (entiers, fractionnaires ou réels). Il utilise les dix chiffres arabes

la virgule ",", les signes " + " et"-" et le symbole "..." .

Le principe de ce système est la numération de position, ce qui signifie que chaque chiffre indique une quantité qui dépend de la position du chiffre dans l'écriture.

Une écriture décimale se compose, dans l'ordre, d'un signe (+ ou - , le signe + étant souvent omis) d'une liste de chiffres, éventellement suivie par une virgule (",") et par d'autres chiffres et se terminant éventuellement par trois points (symbole "...").

Exemples : chacune des écritures suivantes :

1789
-1,5 
1,4142
1,4142...
-3,1415...
5,00000...
4,99999... 
0,12346789101112131415...

est une écriture décimale.

Les trois points indiquent que la suite des chiffres doit être prolongée par la pensée au delà de ce qui est écrit, en suivant des règles qu'il faut préciser si elles ne sautent pas aux yeux : 1,414... peut se prolonger aussi bien 1,414141414... (répétition des chiffres 1 et 4, obtenue en poursuivant la division de 140 par 99) qu'en 1,41421356237309... (développement décimal de la racine carrée de 2)

Dans l'écriture décimale d'un nombre x, on place son signe (+ ou -) à gauche (dans la pratique courante, on omet le signe +) . On n'utilise la virgule ( , ) que si x n'est pas entier.

- les chiffres placés à gauche de la virgule (tous les chiffres si x est entier) forment la partie entière du nombre x. Le chiffre placé juste à gauche de la virgule (ou le dernier chiffre, si x est entier) indique un nombre d'unités. Vers la gauche, les chiffres suivants correspondent dans l'ordre, aux nombres de dizaines, de centaines, de milliers etc. (puissances positives successives du nombre 10) qui contribuent à la quantité x. :

Exemple : 1789 = 1 x10³+ 7 x10²+ 8 x10 + 9 x1

-Les chiffres placés à droite de la virgule, appelés les décimales du nombre x, sont utilisés pour les nombres non entiers. Ils constituent le développement décimal du nombre x : le chiffre immédiatement à droite de la virgule indique le nombre de dixièmes d'unités. Plus à droite, les chiffres correspondent successivement aux nombres de centièmes, de millièmes, de dix-millièmes etc., c'est à dire comptent les puissances négatives du nombre 10 qui contribuent à la quantité x.

Exemple : 1234,0123 est écriture du nombre égal à la somme

1 millier + 2 centaines + 3 dizaines + 4 unités + 0 dixièmes + 1 centièmes + 2 millièmes +3 dix-millièmes

Le développement décimal d'un nombre réel est par principe unique et comporte une infinité de décimales. Comme on ne peut les écrire toutes, on ne marque que la ou les premières (le dernier chiffre indiquant la précision avec laquelle le nombre est écrit) puis on place trois points ("... "), pour indiquer que le développement se pousuit.

Ex. L'écriture décimale, avec 4 décimales, deest 1,4142...

Par convention, l'écriture décimale d'un unique nombre réel Si toutes les décimales le nombre réel x sont nulles à partir d'un certain rang, on dit que est un nombre décimal. On n'écrit alors que les décimales qui précèdent l'infinité de 0.

Exemples : -5  ,     -5,00000...   ,    -4,99999...

sont des écritures décimales différentes de l'entier relatif - 5.

Attention ! 4,99999... est aussi une écriture décimale correcte de tout nombre réel qui est compris entre le nombre entier décimal 4,99999 et l'entier 5.

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Les nombres décimaux sont ceux qui s'écrivent de manière finie en base 10. Ce sont les "nombres à virgule" utilisé dès l'école primaire et dans la vie courante. Ils sont obtenus en divisant un nombre entier par 1, 10, 100, 1000, 10 000, etc., autrement dit par une puissance de 10. Voir système décimal.

Les nombre décimaux sont précisément les nombres réels qui admettent deux écritures décimales distinctes équivalentes, l'une (dite propre) se terminant par une infinité de 0, l'autre (impropre) par une infinité de 9.

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Raisonnement logique d'un type particulier, seul moyen que s'autorisent les mathématiciens pour parvenir à dire d'une propriété qu'elle est vraie.

Au sens strict, on peut toujours voir une démonstration (formelle) comme une succession ordonnée d'énoncés vrais : chaque énoncé est un axiome ou est une conséquence logique d'énoncés précédemment écrits. L'énoncé qui se présente en dernier est le théorème démontré par cette succession.

Au sens large, démonstration est synomyme de preuve mathématique.

Par exemple 2 + 2 = 4 est un théorème, conséquence logique de 1+1=2 (définition de 2), de ((1+1)+1)+1=4 (définition de 4), et du théorème " quels que soit les entiers a, b et c, on a ( a+ b) + c = a + ( b+ c) " (propriété d'associativité), lui même démontré à partir des axiomes des nombres entiers et de la définition de l'addition.

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Un ensemble est dit dénombrable si on peut numéroter ses éléments. Plus précisément, un ensemble est dénombrable s'il peut être mis en bijection avec une partie de l'ensemble des entiers naturels.

Un ensemble infini est dénombrable ssi il peut être mis en bijection avectout entier.

On démontre que l'ensemble des nombres rationnels est dénombrable.

[Cantor] L'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable.

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Un ensemble A est dense dans un ensemble B si A est inclus dans B et si chaque élément de B peut être approché indéfiniment (aussi près qu'on veut) par des éléments de A.

Précisément :

• Si une distance d a été définie sur B, A est dense dans B si

" pour tout bB, pour tout e > 0 ( e est l'erreur tolérée), il existe aA tel que d(a, b) < e ".

• Si l'ensemble B est ordonné et contient A, A est dense dans B si

Ainsi, l'ensemble des nombres décimaux est dense dans l'ensemble (ordonné avec la relation) des nombres rationnels ; l'ensemble des nombres rationnels est dense dans l'ensemble (ordonné avec la relation) des nombres réels.

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Cet adjectif vient du nom du mathématicien grec Diophante (vivant à Alexandrie au IVème siècle) ; il indique que ce dont on parle ne fait intervenir que des nombres entiers.

Une  équation diophantienne est une équation (généralement polynomiale) dont les inconnues sont des nombres entiers (positifs ou non).

La plus célèbre de ces équations est l'objet du "théorème" de Fermat : Xⁿ + Y ⁿ = Z ⁿ.

Un théorème de logique très profond, dû à Matjasevic, montre que tout ensemble de nombres entiers dont les éléments peuvent être construits un par un au moyen d'un algorithme coïncide avec l'ensemble des solutions d'une équation diophantienne.

L'ensemble des nombres premiers a cette propriété, puisque la qualité pour un nombre d'être premier est reconnaissable au moyen d'un algorithme.

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Nombre qui exprime à quel point deux choses sont éloignées, écartées, différentes...

Intuitivement, on sait bien que la distance d'un endroit à un autre n'est pas la même " par la route " ou " à vol d'oiseau ", qu'elle peut se mesurer en " dix minutes à pied " ou " une heure d'avion " ou en " stations de métro ". Une copie peut être " plus ou moins ressemblante " à un original.

Une distance d est une fonction (numérique) qui concerne deux objets de même nature (deux points, deux nombres, deux polynômes, deux figures, etc) et pour laquelle les propriétés :

• d(A, B) = 0 ssi A = B
• d(A, B) = d(B, A)
• d(A, B)d(A, C) + d(C, B) (inégalité triangulaire)

doivent être vérifiées pour tous les choix possibles des objets A, B, C.

La distance habituelle (distance euclidienne) est définie à l'aide des axiomes de la géométrie euclidienne* ; elle vérifie la propriété fondamentale :

(ceci est vraie dans tous les espaces euclidiens, droite, plan, espace, etc.). Le calcul des distances euclidiennes est facilité par le théorème de Pythagore*.

Mais il y a d'autres distances :

• une distance purement qualitative, où deux objets différents sont toujours à la distance 1 l'un de l'autre ;
• une distance entre les branches d'un chêne qui compte le nombre d'embranchements qu'il faut franchir pour aller de l'une à l'autre (valable pour n'importe quel arbre, même ... généalogique) ;
• le temps le plus court pour aller en voiture d'un point de Paris à un autre ne définit pas une distance (à cause des sens uniques et des feux tricolores) sauf pour les chauffards, car l'aller et le retour ne se feront pas toujours dans le même temps : d(A, B)d(B, A) dans certains cas.
• la distance " SNCF " (mesurée en km parcourus): si on ne tient pas compte des petites lignes "transversales" qui n'ont pas encore été fermées, on va d'une ville à une autre en passant par Paris, sauf si les deux villes sont sur une même ligne au départ de Paris, auquel cas on va de l'une à l'autre directement, sur cette ligne.
• etc, etc.

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Le nombre 3 divise 2001 car 2001 = 3x667. Par contre, 3 ne divise ni 2000 ni 2002 : aucun nombre entier ne peut donner 2000 ou 2002 lorsqu'on le multiplie par 3.

Notation. On écrit ba pour signifier que b divise a et ba  pour signifier que b ne divise pas a :       32001 ,   315    ,   32002

Dans un ensemble où l'on dispose d'une multiplication qui est commutative, notée x, on dit qu'un élément b divise un élément a, lorsque qu'il existe un élément q tel que a soit égal au produit b x q. On dit aussi que le nombre b est un diviseur de a ou que a est divisible par b, ou encore que a est multiple de b.

Remarque. Lorsque a est le produit de plusieurs facteurs, chacun de ces facteurs divise a.

On emploie surtout ces mots dans les cas où la division est problématique c'est à dire lorsque la division par un élément non nul n'est pas toujours possible (tel est le cas pour les nombres entiers, les classes de congruences*, les polynômes, les matrices*).

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Si un nombre N est le produit de plusieurs autres nombres, chacun de ces autres nombres est appelé un diviseur de N.

Tout nombre entier naturel N peut s'écrire 1xN ; les entiers 1 et N sont des diviseurs de N appelés diviseurs impropres. Les autres diviseurs éventuels de N sont appelé ses diviseurs propres. Les nombres entiers autres que 1 qui n'ont pas de diviseur propre sont appelés les nombres premiers.

Remarque. Avec la multiplication usuelle des nombres entiers, rationnels, réels, ou complexes, un produit de facteurs non nul n'est jamais nul. Mais pour d'autres types de nombres ou pour d'autres multiplications, il peut arriver que le produit de deux nombres non nuls soit égal à 0, l'élément neutre de l'addition. Dans un tel produit, chacun des facteurs est appelé un diviseur de zéro.

Opération "inverse" d'une multiplication, ou calcul qui permet d'effectuer une telle opération.

1. Étant donné un nombre A et un nombre B, on cherche un nombre Q tel que A soit égal à BxQ. Ce nombre Q , s'il existe et est unique, est appelé le quotient de A par B (ou quotient exact de A par B) et est noté ou A/B (ou aussi A: B ou encore A B ). On appelle division l'opération qui aux deux nombres A et B, pris dans cet ordre, fait correspondre le quotient A/B . Lorsque le nombre B a un inverse B' =la division de A par B revient à la multiplication de A par B', autrement dit on a : = A x.

La division est possible (le quotient existe) pour les nombres décimaux, rationnels, réels ou complexes, pourvu que B soit différent de 0. Pour les nombres entiers, le quotient exact n'existe que si A est un multiple de B, mais on peut faire une division approchée, qui fait apparaître un "reste", c'est la division euclidienne .

2. On appelle aussi division tout procédé de calcul qui permet d'obtenir le résultat d'une division. Par exemple, la division que l'on apprend à l'école primaire permet de calculer le quotient entier d'un nombre entier positif A par un autre nombre entier positif B, avec un reste lorsque la division "ne tombe pas juste", c'est à dire lorsque A n'est pas un multiple de B. Voir division euclidienne .

division euclidienne

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Lorsque la division d'un nombre entier positif A par un autre nombre entier positif B n'est pas possible, c'est à dire si A n'est pas un multiple de B, on s'intéresse au plus grand multiple de B, qui est inférieur ou égal à A. Ce multiple s'écrit BxQ et le nombre A s'obtient alors en ajoutant à BxQ  un nombre entier positif R :

Le nombre Q est appelé le quotient entier de A par B, tandis que le nombre R est appelé le reste de la division de A par B. L'opération qui consiste à associer aux nombres A et B, pris dans cet ordre, les nombres Q et R est appelé la division euclidienne.

Remarque. Le reste R de la division euclidienne de A par B est nécessairement inférieur à B. En effet, par définition du nombre BxQ, tous les multiples de B supérieurs à BxQ sont supérieurs à A ; en particulier le nombre BxQ +B, égal à Bx(Q+1) est supérieur à A c'est à dire à BxQ + R. D'où B supérieur à R. On a le théorème plus précis suivant.

(de la division euclidienne)

Si A et B sont des nombres entiers positifs , le quotient entier de A par B et le reste de la division euclidienne de A par B sont les seuls entiers Q et R positifs ou nuls qui vérifient :

A = BxQ + R avec 0R<B

• Ce qui précède s'applique sans changement pour un entier A de signe quelconque, ( B étant, lui, positif).
• Le principe de la division euclidienne se généralise facilement aux nombres décimaux et aussi aux polynômes.

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On dit que deux choses sont égales si l'une peut remplacer l'autre en toute situation. Deux objets égaux, A et B, doivent être considérés comme identiques : bien que de noms différents, ils constituent une seule et même entité.

Dans la pratique, il arrive souvent que dans un cadre particulier (la géométrie, l'algèbre, la théorie des graphes théorie particulière) deux objets différents jouissent exactement des mêmes propriétés ou jouent le même rôle dans les raisonnements. On convient alors de dire de ces objets qu'ils sont égaux.

• Ainsi, en géométrie métrique, deux figures que l'on peut faire coïncider exactement au moyen d'une isométrie (une transformation qui conserve les distances) seront dites égales. En particulier deux segments sont égaux s'il ont même longueur . Des figures égales possèdent les mêmes propriétés.

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Ce mot exprime l'idée de regroupement, de tas, de collection, de famille : on s'en sert chaque fois que l'on considère plusieurs choses à la fois, en attribuant la même importance à chacune. On peut, par exemple, voir un sac de billes comme un ensemble des billes, une boite d'allumettes comme un ensemble d'allumettes. L'ensemble des jours de la semaine De même, les noms d'un répertoire téléphonique, les joueurs d'une équipe de foot, les cartes d'un jeu, le voitures rouges qui sont passécomme un ensemble de noms, ou un jeu de carte comme un ensemble de cartes, aucun ordre ne sera privilégié. Si on voit un jeu de cartes éparpillé sur la table, à, à, à un panier de fruits, à un groupe de personnes, aux voitures rouges que jai vu dans la rue, etc.

Il y a deux manières courantes de définir un ensemble d'objets :

• en faisant une liste (on dit alors que l'ensemble est défini "en extension")
• en énonçant les propriétés que doivent posséder les objets que l'on réuni. (l'ensemble est alors défini "en compréhension")

Le mot ensemble est une notion primitive des mathématiques : on l'introduit en même temps que les mots "élément" et "appartient à" à l'aide des axiomes de la théorie des ensembles classique*.

Dans la pratique mathématique courante, on utilise indifféremment les mots ensemble, classe, collection, ou famille. En mathématiques professionnelles, on distingue ensemble, classe et familleEn logique, on étudie diverses variantes de la théorie des ensembles classique, en faisant

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Problème, qui se présente (se code) sous la forme d'une écriture en trois temps : premier membre (ou membre de gauche), signe =, et deuxième membre (ou membre de droite) ; les membres de l'équation sont les résultats d'un calcul littéral ou numérique ; une lettre joue un rôle particulier, et on l'appelle l'inconnue, à moins que ce ne soit le cas de plusieurs lettres, qu'on appelle les inconnues ; les autres lettres sont des paramètres (on peut choisir leurs valeurs ; à chaque choix correspond une équation). Le problème peut s'énoncer " résoudre dans tel ensemble l'équation d'inconnue x etc. " ; il s'agit de trouver par quelles valeurs on peut remplacer l'inconnue pour que cette écriture, tous calculs faits, devienne une égalité juste.

Exemple. Résoudre dans R l'équation d'inconnue x : 2 - x = x - 4.

L'école nous apprend assez tôt les règles de transformations licites sur ces écritures, ce qui permet de modifier l'écriture du problème sans en changer les solutions : 6 = 2x , et donc x = 3. Il est désormais évident que la seule valeur que l'on puisse substituer à x pour transformer cette écriture en une égalité vraie est 3, qui est donc la seule solution de l'équation.

Exemple. Résoudre dans N l'équation d'inconnue x : 2 - x = x - 4.

Dans, les propriétés des opérations étant moins bonnes que dans, la résolution de cette équation est moins simple. Par exemple, la soustraction n'est pas toujours possible dans : une solution de l'équation devrait transformer l'écriture en égalité vraie, c'est-à-dire que l'on peut calculer les deux membres, et contrôler qu'ils sont bien égaux ; or le premier membre ne peut se calculer que pour des valeurs de  x situées avant 2 ; et le deuxième membre ne peut se calculer que pour des valeurs de x situées après 4, condition incompatible avec la précédente. Aucune valeur de  x ne pourra faire que les deux membres soient égaux, puisqu'on ne peut pas les calculer simultanément. L'équation n'a pas de solution.

En résumé, le nombre entier 3 est solution de l'équation x : 2 - x = x - 4  formulée dans R mais pas de l'équation formulée dans N car les calculs ne s'y font pas de la même façon.

• On attribue aux équations des qualificatifs plus précis suivant l'ensemble dans lequel on les résout et suivant la nature ou la forme de l'écriture utilisée : équations diophantiennes, polynomiales, algébriques etc.

  algébrique (nombre), diophantien, Fermat, Newton (méthode de),
  premiers entre eux (nombres), racine (d'un polynôme), etc.

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Voir intérieur

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Portion plane de la surface du polyèdre, délimitée par des arêtes du polyèdre. Deux faces qui se rencontrent le font suivant une arête ou un sommet.

polyèdre

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Lorsqu'un élément P s'écrit comme le produit (le résultat d'une multiplication) d'autres objets a, b, c, ... , d (autrement dit si  P = a x b x c x ... x d), chacun des éléments a, b, c, ... , d est appelé un facteur de ce produit.

Le mot " facteur " est surtout utilisé dans les situations où la division n'est pas toujours possible.

Par exemple dans l'ensemble des entiers naturels, 4 est un facteur de 1996. Dans l'ensemble des mots (où la multiplication est la concaténation), le mot " terne " est un facteur de " éternellement " mais pas de " éternuement ".

facteurs premiers, factorisation

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Si on peut réécrire une expression algébrique sous forme de produit de facteurs, on dit qu'on factorise cette expression.

produit, facteur

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Le mot famille traduit l'idée de catalogue d'objets, sans ordre particulier, où un même objet peut apparaître plusieurs fois ; les objets ainsi réunis , appelés les membres (on dit aussi les éléments) de la famille sont repérés chacun par une étiquette.

Alors que les éléments d'un ensemble sont tous différents, les membres d'une famille peuvent être répétés plusieurs fois.

Exemple 1. Dans un répertoire d'adresses, à chaque nom correspond une adresse et une seule mais une même adresse peut correspondre à plusieurs noms : au sens mathématique, le répertoire forme une famille dont les membres sont les adresses, chaque nom jouant le rôle d'étiquette.
Par contre pour parler d'une "famille" au "jeu des 7 familles", on emploiera plutôt en mathématiques le mot ensemble que le mot famille, car toutes les cartes d'une même "famille" sont différentes : à des "étiquettes" différentes (le père, la grand-mère, la fille...) correspondent des cartes différentes.

Exemple 2. L'ensemble des carrés des nombres entiers de l'intervalle [-2,+3] est l'ensemble {0,1,2,9}, alors que la famille des carrés des nombres de l'ensemble E={-2, -1 , 0 , +1 , +2 , +3 } est la liste 4 , 1 , 0 , 1 , 4 , 9, où les nombres 1 et 4 apparaissent chacun deux fois.
Cette liste peut se noter ( x² )_xE , ce qui se lit « famille des éléments de la forme x²  pour xappartenant à E ».

On emploi assez souvent le mot famille pour désigner un ensemble dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles avec une propriété commune : la famille des tangentes à une courbe, la famille des triangles isocèles rectangles, etc.

Plus précisément, le mot "famille" s'utilise lorsque les objets auquels on s'intéresse sont repérés par les éléments d'un autre ensemble donné I: à chaque élément  i de  I correspond un membre bien défini  f_i de la famille. Autrement dit, les membres d'une famille sont les images des éléments d'un ensemble donné  I par une application  f  définie sur  I. Une telle famille se note sous la forme ( f ( i) )_iI ou encore ( f_i)_iI  ; les éléments (distincts) de I ainsi placés en indice jouent le rôle d'étiquette:

Pour parler des objets qui vérifient une propriété donnée, on utilise plutot les mots ensemble, collection, ou classe.

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Pierre Fermat, 1601-1665, Conseiller du Roi au Parlement de Toulouse, " prince des amateurs en mathématiques ", avait l'habitude d'écrire des notes dans les marges de ses livres (oh !) et d'y énoncer des théorèmes sans démonstration, dont beaucoup se révélèrent justes et beaucoup d'autres se révélèrent faux.

Il a ainsi inscrit (en latin) en marge d'un problème de Diophante (résolution en nombres rationnels de l'équation x² + y ² = z² ) :

" Tout au contraire, il est impossible de partager un cube en deux cubes, une quatrième puissance en deux quatrièmes puissances ou, en général, une puissance quelconque de degré supérieur à deux en deux puissances du même degré ; j'ai découvert une démonstration vraiment admirable (de ce théorème général) que cette marge est trop petite pour contenir. "

C'est-à-dire que l'équation diophantienne Xⁿ + Y ⁿ = Z ⁿ n'a pas de solution (en nombres entiers) si n > 2.

Cet énoncé est le seul de Fermat qui ait résisté à tous les mathématiciens pendant 350 ans. Connue comme le " grand théorème de Fermat " ou " le dernier théorème de Fermat ", cette conjecture est devenue le " Théorème de Wiles-Taylor " depuis qu'Andrew Wiles en a donné une démonstration en juin 1993 (démonstration qui contenait un " trou ", comblé avec l'aide de Taylor en octobre 1994).

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Un ensemble de points est fermé si tous les points qui ne lui appartiennent pas sont extérieurs à cet ensemble, autrement dit si son ensemble complémentaire est ouvert.

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Une figure géométrique est composée de plusieurs objets géométriques satisfaisant à certaines règles qui énoncent des relations entre ces objets.

Les objets géométriques (points, droites ou portions de droites, courbes ou portions de courbe, plans, portions de plan ou d'espace etc.) qui composent une figure sont appelés les éléments constitutifs de la figure. Toute figure géométrique est le résultat d'une construction : certains éléments de la figure sont donnés en début de la construction, les autres éléments sont définis pas à pas : à chaque étape de la construction, le nouvel élément introduit est déterminé sans ambiguité par des relations qui mettent en jeu les éléments donnés ou construits précédemment.

• Dans le langage courant, le mot "figure" désigne le dessin qui représente une figure géométrique. Ces dessins, qui aident à comprendre les propriétés des figures, peuvent être trompeurs, c'est pourquoi l'on dit souvent : « il ne faut pas raisonner sur la figure ».

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Un ensemble est fini si on peut compter ses éléments, 1, 2, 3, ..., sans dépasser un nombre entier naturel donné. Le dernier nombre utilisé dans le comptage est le nombre d'éléments (on dit aussi la cardinalité) de l'ensemble.

En Théorie des Ensembles* on introduit en même temps les notions d'ensemble fini et de nombre entier naturel : un ensemble E est fini s'il n'existe aucune bijection de E sur un sous-ensemble strict de E. Les cardinaux des ensembles finis sont appelés les nombres entiers naturels.

dénombrable , infini , nombre entier naturel

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Le terme mathématique correspond au terme courant de dépendance. On parle de fonction lorsqu'on désire associer de manière systématique un objet (le "résultat") à d'autres éléments (les "données") afin d'étudier comment le résultat dépend des données.

Exemples : évolution du nombre de chômeurs en fonction du temps, couleur d'une galaxie en fonction de sa vitesse de fuite, température d'ébullition de l'eau en fonction de la pression, évolution de la taille en fonction de l'individu et du temps.

Une fonction est un procédé de définition, de construction, qui permet, pratiquement ou théoriquement, de fabriquer quelque chose de nouveau avec des éléments connus, pourvu que les "conditions de fabrication" soient réunies.

Chaque fois qu'on veut indiquer qu'un objet O est formé à partir d'autres, et que l'on souhaite indiquer que les objets x, y, z, ... interviennent dans cette construction, on dit que O est fonction de x, y, z, ... . Si la construction est désignée par la lettre C, on écrit O = C(x, y, z, ...).

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Le mot « géodésique » exprime l'idée de plus court chemin, mais de manière plus générale. Sur une surface courbe, un élastique tendu entre deux points prend la forme d'une géodésique de la surface. Lorsqu'on se déplace sur une surface en allant toujours "droit devant soi", on décrit une géodésique (on dit aussi une ligne géodésique).

Dans un espace où l'éloignement de deux points quelconques peut être mesuré (espace métrique), on appelle géodésique une ligne qui a localement les caractéristiques d'un plus court chemin : précisément, un arc géodésique (on dit aussi courbe géodésique, ou simplement géodésique) est une courbe C, fermée ou non, qui a la propriété suivante: chaque point P de C peut être placé entre deux autres points A et B de C, de façon à ce que la partie de C située entre A et B soit un plus court chemin de A à B.

L'arc de courbe (AB)C , c'est à dire la partie de la géodésique C qui est comprise entre A et B, contient le point P et constitue un plus court chemin entre A et B.

• Le mot "géodésique" tout seul s'emploie surtout pour une courbe géodésique qu'on ne peut prolonger, c'est à dire qui n'est pas un arc d'une courbe géodésique plus longue.
• Un plus court chemin entre deux points donnés est toujours un arc géodésique. Mais la réciproque est inexacte.

Exemple Sur la surface de cette boîte, la ligne brisée AabB est un arc géodésique sans être un plus court chemin entre A et B. La courbe fermée constitué par le bord du rectangle AabB est une géodésique de la surface.

Dans le plan ou l'espace de la géométrie euclidienne, les géodésiques sont les droites et le plus court chemin entre deux points est unique : c'est le segment de droite qui les joint. Il n'en va pas de même pour d'autres géométries où le plus court trajet n'est en général ni droit, ni unique.

Exemples

- Dans le métro, où les trajets sont mesurés par un nombre de stations, il a fréquemment plusieurs plus courts trajets.
- Sur la Terre il y a une infinité de plus courts chemins entre le pôle nord et le pôle sud : ce sont les méridiens.
- Lorsqu'on enroule un fil tendu sur un axe cylindrique, on place le fil sur une géodésique de la surface de l'axe. La longueur de fil utilisé entre deux points dépend du nombre de tours effectués pour les joindre.
- Plongeons une règle dans l'eau : elle nous apparaît plus courte et brisée en deux morceaux qui se rejoignent à la surface de l'eau. En effet, la lumière adopte des vitesses différentes dans l'eau et dans l'air, et le plus court chemin (mesuré par le temps de parcours) n'est plus en ligne droite : les rayons luminueux changent de direction à la surface de l'eau, ce qui modifie l'aspect habituel de notre règle.
- Dans notre Univers, les corps célestes massifs courbent la trajectoire de la lumière. L'image de certaines étoiles nous apparaît ainsi doublée car la lumière de l'étoile nous parvient deux fois, en suivant deux géodésiques distinctes, toutes deux courbes.

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Le mot "graphe" renvoie toujours à l'idée de relation entre deux choses, c'est à dire de relation binaire*).

Graphe d'une fonction. Lorsqu'une relation entre deux variables x et y est définie par une fonction f, sous la forme y = f(x), on appelle graphe de f l'ensemble des points M(x ; y) de coordonnées x et y qui vérifient cette relation, c'est-à-dire tels que y = f(x).

Graphe d'une relation. Lorsqu'on s'intéresse à une relation binaire R(x, y) entre deux variables prises dans un même ensemble  E, on appelle graphe de R l'ensemble des couples (x, y) qui vérifient R, c'est-à-dire tels que R(x, y) soit vraie : le graphe de R est ainsi une partie du produit cartésien Ex E.

Une théorie mathématique étudiant les graphes* s'est développée sous le nom de théorie des graphes.

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La théorie des graphes étudie l'organisation d'éléments liés par des contraintes binaires (contraintes qui portent sur deux éléments). on représentent souvent les éléments par des points et les contraintes par des lignes joignant ces points : chaque ligne particulière relie deux points particuliers. La donnée d'un graphe équivaut à celle d'une relation binaire*.

Par exemple, on modélise par un graphe u, un plan de ville où des rues relient des carrefours, une généalogie où des personnes sont liés par parenté, un emploi du temps où des salles sont à apparier avec des classes, une molécule chimique où des liaisons associent les atomes par paires, un carnet d'adresse où des noms sont reliés à des numeros de téléphones, une carte politique où des pays peuvent être "voisins" (deux pays sont voisins s'il ont une frontière commune) etc.

Un graphe est formé de deux types d'objets : des éléments appelés sommets, que l'on représente souvent par des points, et des paires de sommets, appelées arêtes. Dans un multigraphe, une même paire de sommets peut apparaître plusieurs fois.

Dans un graphe non orienté, l'ordre des deux sommets qui composent une arête n'a pas d'importance (exemple d'un réseau de rues à double sens).

Une arête acomposée de deux sommets x et y  se note sous la forme{ x,y} ou [ x, y] ou [ xy] : on a { x,y}={ y,x}. On dit l'arête a relieou jointles sommets xet y ou encore que a est une arête entre xet y ou a pour extrémités xet y, Il est permis que x et y soient confondus, auquel cas , a est appelée une boucle. Si deux sommets x et y sont reliés par une arête, on dit qu'ils sont voisins ou adjacents.

Dans un graphe orienté, l'ordre des deux sommets qui composent une arête est important (exemple d'un réseau de rues à sens unique) : chaque arête a un sens précis de parcours et s'appelle une arête orientée ou arc.

Formellement, un graphe est noté sous la forme  G= ( S, A) :  S est l'ensemble des sommets, A est la famille des arêtes (orientées ou non). Pour un graphe non orienté, les éléments de A sont des paires de sommets, pour un graphe orienté, ce sont des couples de sommets. 

Graphe simple, multigraphe. On dit qu'un graphe est simple lorsque deux éléments voisins quelconques sont liés par une seule arête (ou un seul arc dans le cas orienté) ; autrement dit, toutes les arêtes (les arcs dans le cas orienté) sont distinctes et A est un ensemble de paires (de couples dans le cas orienté). Au contraire, dans un multigraphe, deux sommets quelconques peuvent être liés par plusieurs arêtes (ou plusieurs arcs) : A est une famille de paires (ou de couples).

graphe, arête, sommet, relation binaire

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Notion mathématique issue de l'expérience physique et qui traduit l'idée de position moyenne.

o En géométrie euclidienne, on définit le centre de gravité (mathématique) d'un ensemble fini de points comme l'isobarycentre de ces points, c'est à dire le barycentre de ces points affectés de coefficients égaux.

On démontre que le centre de gravité de deux points A et B est le milieu du segment [AB] et que le centre de gravité G de trois points A,B,C est le point de concours des trois médianes du triangle ABC (ce point G est aussi appelé centre de gravité du triangle ABC).

On peut (en utilisant le calcul intégral*) généraliser cette définition à des ensembles composés d'une infinité de points : des lignes, des surfaces, des volumes etc.

Pour déterminer mathématiquement le centre de gravité de lignes, de surfaces ou de volumes, on se sert souvent de l'idée simple suivante (fondamentale en Analyse): on détermine un résultat approché et on passe à la limite :

1) on découpe la forme en un nombre fini de petits morceaux que l'on assimile chacun à un point affecté d'un coefficient (qui indique son aire ou son volume)

2) on prend le barycentre B des ces points avec ces coefficients. Plus les morceaux sont petits et plus le nombre de morceaux est élevé plus le point B s'approche d'un point bien déterminé, appelé le centre de gravité de la forme.

La technique qui permet de faire correctement ce passage à la limite s'appelle le calcul intégral*.

Exemple du triangle : on démontre que le centre de gravité G d'un triangle ABC coïncide avec le centre de gravité de la surface triangulaire ABC. Par contre, sauf cas particulier, le centre de gravité du bord du triangle (réunion des trois segments [AB], [BC] et [CA]) ne coïncide pas avec avec le point G.

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syn. contenu. Un ensemble A est inclus dans un ensemble B, et on note AB, si tout élément de A appartient à B.

est le symbole d'inclusion.

On dit que A est strictement inclus dans B si A est inclus dans B mais AB.

Un ensemble inclus dans un ensemble E est appelé une partie de E.

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Non fini. Un ensemble est infini si il a "plus d'éléments" que n'importe quel ensemble fini.

• En théorie des ensembles*, la notion d'ensemble infini est liée à l'idée de bijection : un ensemble E est infini s'il existe une bijection de E sur un sous-ensemble strict de E. L'axiome de l'infini garanti l'existence d'un ensemble infini.

Exemple : L'application qui à chaque entier naturel n fait correspondre son successeur n +1 est une bijection de l'ensemble des nombre entiers naturels = {0,1,2,...} sur le sous-ensemble des nombre entiers naturels positifs ^*={1,2,...}. L'ensemble est donc infini.

cardinal, dénombrable , fini, nombre entier naturel

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Intuitivement, un point est intérieur à une figure s'il est "entouré" par des points de la figure. On emploi surtout le mot "intérieur" à propos de courbes fermées dans le plan (par exemple un cercle, ou une ellipse ; mais un polygone peut aussi être vu comme une courbe fermé) ou de surfaces fermées dans l'espace (une sphère, un cube etc.).

Mais on utilise aussi le mot "intérieur" pour des ensembles convexes ou, dans les espaces métriques ou topologiques*, pour des ensembles quelconques de points.

Exemple. Les courbes fermées planes usuelles partagent le plan en deux régions dont l'une est bornée. Cette région bornée est alors appelé l'intérieur de la figure.

• La notion précise d'intérieur dépend de l'espace ambiant et de la manière dont est définie la figure.
  • Exemple1. dans une droite, l'intérieur d'un segment [AB] ), est le segment ouvert ]AB[ formé des points du segment [AB] autres que A et B. Par contre dans le plan, aucun point n'est intérieur à un segment [AB] : l'intérieur d'un segment est vide.
  • Exemple2. Dans le plan, l'intérieur d'un cercle (C) de centre O et de rayon r est le disque ouvert formé des points dont la distance à O est inférieure (strictement) à r : le cercle est vu ici comme une courbe fermée. Par contre si on considére (C) comme un simple ensemble de points : sont intérieur sera alors l'ensemble vide.
• Pour les figures convexes on s'appuie sur la notion de segment, pour les espaces métriques, on utilise la notion de distance. Plus généralement, dans un espace topologique*, on peut définir l'intérieur d'un ensemble quelconque de points.

Intérieur (d'un triangle)

Un triangle du plan partage le plan en trois parties disjointes: le bord du triangle, son intérieur, son extérieur.

• Un point du bord est un point qui appartient à au moins un des cotés du triangle.
• Un point intérieur (au sens strict) est un point M qui 1°) n'est pas sur le bord, 2°) est sur un segment qui joint deux points du bord. On dit des points intérieurs qu'ils sont dans le triangle.
• Un point est extérieur s'il n'est ni intérieur ni sur le bord. On dit des points extérieurs qu'ils sont hors du triangle.

On démontre que l'intérieur strict d'un triangle est l'intersection des trois demi-plans ouverts qui contiennent ce triangle et qui s'appuient sur ses cotés.

Intérieur (d'un cercle)

Dans le plan, l'intérieur d'un cercle (C) de centre O et de rayon r est le disque ouvert formé des points dont la distance à O est inférieure (strictement) à r : le cercle est vu ici comme une courbe fermée. Les points dont la distance à O est supérieure à r forment l'extérieur de(C)

Intérieur (d'une courbe fermée)

Une courbe simple fermée plane usuelle (telle un cercle, une ellipse, le bord d'un polygone etc. , plus généralement toute courbe de Jordan*) classe les points du plan en trois catégories : il y a les points qui sont sur la courbe, les points qui sont intérieurs à la courbe, ceux qui lui sont extérieurs.

• Pour définir précisément ces notions sans recourrir à la figure, on peut par exemple procéder de la manière suivante :
  • On place la courbe (K) à l'intérieur d'un grand cercle (C).
  • Tout point situé à l'extérieur de (C) sera dit extérieur à (K) .
  • Tout point qui peut être relié à un point extérieur à (K) par une ligne (une autre courbe) qui ne rencontre pas (K) sera dit extérieur à (K)
  • Tout point qui n'est pas sur la courbe (K) ni extérieur à (K) en vertu d'une des règles précédentes est dit intérieur à (K)

  En résumé, lorsque (K) est une "bonne" courbe fermée, elle partage le plan en deux régions dont une est bornée : c'est cette région bornée qui est appelée l'intérieur de la figure.

• Il existe des "mauvaises" courbes fermées, où la notion d'intérieur n'a plus vraiment de sens : Peano et Hilbert, par exemple, ont construit des courbes qui remplissent tout un carré !

Intérieur (d'un ensemble convexe)

Voir bord d'un ensemble convexe.

Intérieur (d'un ensemble de points)

Un point p est intérieur à un ensemble A si p et tous les points situés "très proches" de p appartiennent à l'ensemble A. L'ensemble des points intérieurs à A s'appelle l'intérieur de E et se note souvent. C'est un ensemble ouvert.

• On peut donner un sens précis à cette définition si on dispose d'une distance. Un point p est intérieur à A s'il existe un nombre réel positif r tel que tous les points dont la distance à p est inférieure à  r appartiennent à A :
  (r> 0 ) (x) ((distance(x,p)<e) (xA)).

• L'intérieur d'un ensemble convexe peut être défini sans parler de distance (voir bord d'un ensemble convexe)
  
• Plus généralement, dans un espace topologique* E, un point p est intérieur à A s'il appartient à un ouvert de E contenu dans A. L'intérieur de A est alors la réunion des ensembles ouverts contenus dans A.

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Opération portant sur des ensembles qui à deux ensembles A et B associe l'ensemble AB (lire «A inter B»), formé des éléments communs à A et à B, c'est à dire qui appartiennent à A et à B. L'ensemble AB est aussi appelé l'intersection des ensembles A et B.

Exemples : {1,2,3}{2,3,4,5} = {2,3} . Dans , on a [-1 ; 2]  ]-5 ; 1[ = [-1 ; 1[ .
L'intersection de deux droites (D) et (D') du plan peut être

- vide (si (D) et (D') sont parallèles et différentes)
- une droite (si (D) et (D') sont confondues)
- ou un ensemble réduit à un unique point (dans les autres cas).

Pour tout ensemble A, on a AA = A

L'intersection ensembliste est associative et commutative.

(Identité de de Morgan) L'intersection ensembliste est distributive par rapport à l'union ensembliste, autrement dit on a l'identité suivante : A(BC)=(AB)(AC)

L'intersection de plusieurs ensembles A, B, C, ...  est l'ensemble formé des éléments qui appartiennent à tous les ensembles A, B, C, ...

• Si ( E_i)_iI est une famille d'ensembles, le nouvel ensemble formé des éléments qui appartiennent à tous les ensembles  E_i est appelé l'intersection (des ensembles) de la famille. et se note. Cet ensemble est donc défini par :
  

  théorie des ensembles*, union, réunion

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Nombre réel qui n'est pas rationnel. Voir rationnel (nombre)

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Syn. centre de gravité

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On dit que " une fonction f(x) a pour limite b quand la variable x tend vers la valeur particulière a " , ce qu'on écrit ou , lorsque qu'on peut calculer des valeurs approchées de b, et ceci quelle que soit la précision souhaitée, par le procédé suivant :

on choisit une valeur approchée a' de a (bien sûr, ce choix influera sur la précision de la valeur approchée obtenue pour b), et on prend b'= f(a') comme valeur approchée de b.

Autrement dit, pour calculer b avec beaucoup de décimales exactes, il suffit de connaître un certain nombre de décimales exactes pour a.

Précisément, on a le phénomène suivant : dès que l'écart (la distance) entre x et a est inférieur à une certaine valeur, a₀, l'écart entre f(x) et b est inférieur à 1 ; dès que l'écart entre x et a est inférieur à une certaine autre valeur, a₁, l'écart entre f(x) et b est inférieur à 1/10 ; dès que l'écart entre x et a est inférieur à une certaine autre valeur, a₂, l'écart entre f(x) et b est inférieur à 1/100, et ainsi de suite, indéfiniment. Ceci n'a de sens, évidemment que si l'on dispose d'une distance pour mesurer les écarts.

L'énoncé précédent peut se formaliser comme suit :
("e > 0) ($ a > 0) (distance(x, a) < adistance(f(x), b) < e )
où e et a sont des réels représentant respectivement l'erreur tolérée sur b et la marge de tolérance qu'on peut s'accorder sur a.

Plus généralement, en utilisant une notion de voisinage, on a une définition plus simple (qui couvre tous les cas, en particulier lorsque a ou b sont +ou -) :

ssi (" B voisinage de b) ($ A voisinage de a) (xAf(x)B).

On peut dire qu'un nombre est voisin de +s'il est au delà de la "barre" que l'on se fixe (ce peut être 3 m pour un sauteur, 10 m pour un perchiste) ; de même pour -, s'il est en deçà de la barre que l'on se fixe (ce peut être -10 000 m pour une baleine, -500 m pour un plongeur) ; de même pour un point proche de l'infini (+et -si on travaille sur la droite,pour le plan, l'espace) s'il est suffisamment loin d'un point de référence (hors de la feuille où on dessine, à une distance de plus d'une année-lumière de la terre, etc).

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Un majorant est tout simplement quelque chose qui est plus grand, qui majore ! Evidemment, il faut encore savoir ce que signifie "plus grand".

• Il peut s'agir de nombres. En particulier, quand on cherche un nombre, ou qu'on le calcule avec des formules, on a souvent du mal à obtenir le résultat exact, et il est parfois utile d'avoir au moins un encadrement. On cherche alors un majorant (un nombre plus grand) et un minorant (un nombre plus petit).
  Exemple de "factorielle n" : n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-2) x (n-1) x n a pour majorant n^n-1. Le nombre n^n-1 est évidemment beaucoup plus grand que n!, mais il est plus simple à manipuler dans certains cas, par exemple si on travaille sur des inégalités qui font intervenir n! .
• Il peut aussi s'agir d'ensembles : un ensemble, A, est un majorant pour un autre, B, si le premier (A) contient le second (B), c'est-à-dire si B est inclus dans A.

  Il y a lieu de se méfier : deux ensembles A et B ne sont pas forcément comparables, loin de là (exemple : l'ensemble des nombres compris entre 0 et 2 et l'ensemble des nombres compris entre 1 et 3 ... aucun des deux n'est contenu dans l'autre).

• Un nombre, M, peut aussi être un majorant pour un ensemble de nombres, A : si M est majorant de tout nombre a de l'ensemble A.
  Par exemple, 2 est un majorant de l'ensemble A des nombres rationnels dont le carré est plus petit que 2. N'importe quel nombre plus grand que 2 sera aussi un majorant ; mais il existe aussi des nombres plus petits que 2 qui sont des majorants de A, par exemple 1,5 (un nombre a de A est soit négatif, soit positif et de carré plus petit que 2 donc aussi plus petit que 2,25 qui est le carré de 1,5 : a 0, ou 0 a et a² 1,5² donc 0 a 1,5). 1,4 n'est pas un majorant de A car 1,41 est dans A et 1,41 n'est pas majoré par 1,4.

  On peut chercher si parmi les majorants de A il y en a un qui est plus petit que tous les autres : c'est ce qu'on appelle la "borne supérieure" de A. Il n'est pas évident que cette borne supérieure existe.

  Si on ne s'autorise que les nombres rationnels, l'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2 n'a pas de borne superieure. Si on s'autorise les réels, l'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2 a une borne supérieure : c'est .

  minorant.

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Médianes d'un triangle ABC : droite passant par un sommet S du triangle et par le milieu I du coté opposé à S. On donne aussi le nom de médiane au segment [SI] ou à sa longueur SI.

Dans le plan, les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Le point de concours est le centre de gravité du triangle.

Médiane d'un quadrilatère ABCD : droites joignant les milieux, I et J, de deux cotés opposés. On donne aussi le nom de médiane au segment [IJ] ou à sa longueur IJ.

(Théorème de Varignon) Dans le plan, les milieux d'un quadrilatère sont les sommets d'un parallélogramme. Autrement dit, les deux médianes d'un quadrilatère se coupent en leur milieu. Ce milieu commun est aussi le centre de gravité des 4 points A,B,C et D.

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Un minorant est tout simplement quelque chose qui est plus petit, qui minore ! Evidemment, il faut encore savoir ce que signifie plus petit.

• Il peut s'agir de nombres. En particulier, quand on cherche un nombre, ou qu'on le calcule avec des formules, on a souvent du mal à obtenir le résultat exact, et il est parfois utile d'avoir au moins un encadrement. On cherche alors un majorant (un nombre plus grand) et un minorant (un nombre plus petit).
  Exemple de "factorielle n" :
  n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-2) x (n-1) x n a pour minorant 2^n-1.
  2^n-1 est évidemment beaucoup plus petit que n!, mais il est plus simple à manipuler dans certains cas, par exemple si on travaille sur des inégalités qui font intervenir n!.
• Il peut aussi s'agir d'ensembles : un ensemble, A, est un minorant pour un autre, B, si le premier (A) est contenu dans le second (B), c'est-à-dire si A est inclus dans B.

  Il y a lieu de se méfier : deux ensembles A et B ne sont pas forcément comparables, loin de là (exemple : l'ensemble des nombres compris entre 0 et 2 et l'ensemble des nombres compris entre 1 et 3 ... aucun des deux n'est contenu dans l'autre).

• Un nombre, M, peut aussi être un minorant pour un ensemble de nombres, A : si M est minorant de tout nombre a de l'ensemble A.
  Par exemple, 1 est un minorant de l'ensemble A des nombres rationnels dont le carré est plus grand que 2. N'importe quel nombre plus petit que 1 sera aussi un minorant ; mais il existe aussi des nombres plus grands que 1 qui sont des minorants de A, par exemple 1,4 (un nombre a de A est de carré plus grand que 2 donc aussi plus grand que 1,96 qui est le carré de 1,4). 1,5 n'est pas un minorant de A car 1,42 est dans A et 1,42 n'est pas minoré par 1,5.

  On peut chercher si parmi les minorants de A il y en a un qui est plus grand que tous les autres : c'est ce qu'on appelle la "borne inférieure" de A. Il n'est pas évident que cette borne inférieure existe.

  Si on ne s'autorise que les nombres rationnels, l'ensemble des rationnels dont le carré est supérieur à 2 n'a pas de borne inferieure. Si on s'autorise les réels, l'ensemble des rationnels dont le carré est supérieur à 2 a une borne inférieure : c'est .

  Voir majorant.

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Suite de symboles appelés lettres. Les modèles mathématiques où on utilise les mots sont souvent appelés des langages. Ils comportent des règles qui permettent de former des mots particuliers à partir de lettres prises dans un ensemble de base appelé alphabet. Ces règles de base constituent alors ce qu'on appelle une grammaire (on utilise aussi le mot automate*) ...

Un langage particulier peut être aussi défini autrement, en listant des propriétés caractéristiques communes aux mots de ce langage.

Exemple. Les palindromes sont les mots (ou les phrases, on ignore alors les espaces, signes de ponctuation et typographies particulières des lettres) qui ne changent pas lorsqu'on les lit à l'envers. Exemples : "non", "radar", "serres", "mon nom", "A man, a plan, a canal : Panama", "Esope reste ici et se repose". On peut engendrer le langage des palindromes avec la grammaire formé des deux règles suivantes :

• le mot vide est un palindrome ;
• si p est un palindrome et si a est une lettre quelconque le mot apa est un palindrome.

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Opération entre entiers naturels qui aux nombres a et b fait correspondre leur produit, noté ax b (noté aussi  ab s'il n'y a pas de risque de confusion).
Par extension, on appelle multiplication toute opération qui généralise cette addition entre nombres entiers.

Exemples. On parlera de produit et de multiplication pour des nombres rationnels, réels, complexes etc., des vecteurs, des transformations géométriques, des fonctions, des polynômes, des matrices, etc.

• D'un manière formelle, la multiplication des entiers naturels se définit à l'aide du produit cartésien d'ensembles.

On utilise encore le mot "multiplication" (ainsi que les mots qui sont usuellement définis à partir cette opération comme : produit, facteur, divisible, division, multiple, quotient, inverse etc.) pour toute opération qui est associative et qui est distributive par rapport à une autre opération, elle-même commutative et associative (cette seconde opération est alors appelée addition (par exemple dans les anneaux, les corps* et les algèbres*).

On utilise enfin le mot multiplication pour désigner une opération quelconque portant sur les éléments d'un ensemble (une loi de composition interne*), surtout lorsque cette opération est associative mais n'est pas commutative (par exemple dans les groupes non abeliens*)

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Ensemble des nombres entiers naturels.

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Ensemble des nombres entiers naturels différents de 0.

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Un 8-uplet, ou 8-uple est une suite qui comporte 8 termes. Un n-uplet ou n-uplet est une suite de n termes (n désigne un entier naturel), une liste de n éléments, dans un ordre précis.

La notion de n-uplet généralise celle de couple (on peut dire qu'un couple est un ). En pratique au lieu des mots 2-uplet, 3-uplet, 4-uplet, 5-uplet et 6-uplet, on utilise respectivement couple, triplet, quadruplet, quintuplet, et sextuplet.

On peut voir un n-uplet comme un mot composé de n lettres. Le n-uple formé des éléments a₁,a₂,...,a_n , pris dans cet ordre est noté (a₁,a₂,...,a_n).

Avec les éléments d'un ensemble à  p éléments on peut former  pⁿ  n-uples différents.

• Un n-uplet dont les éléments sont pris dans un ensemble E peut être vu comme un élément du produit cartésien  Ex Ex ... x E (n facteurs).

  Exemple. Un point de l'espace ⁿ  à n dimensions est souvent identifié au  n-uple (x₁,x₂,...,x_n) de ses coordonnées dans un repère cartésien donné.

• Un n-uple formé avec des éléments d'un ensemble E peut aussi être vu comme la donnée d'une application de l'ensemble {1,...,n} des n premiers nombres (entiers positifs) vers E.

  produit cartésien, paire, couple

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Les nombres entiers naturels  0, 1, 2, 3, 4, etc. servent à compter les éléments des ensembles finis.
L'ensemble des nombres entiers naturels se note . L'ensemble des nombres entiers naturels autres que 0 se note^* .

• En théorie des ensembles*, on définit les nombres entiers naturels (on dit aussi nombres naturels ou entiers naturels, ou, en abrégé, les naturels) comme les cardinaux des ensembles finis.
  0 est le cardinal de , l'ensemble vide,
  1 est le cardinal de l'ensemble {0} qui a 0 pour seul élément,
  2 est le cardinal de l'ensemble {0,1},
  3 est le cardinal de l'ensemble {0,1,2},
  etc.
  
  Grâce à des axiomes appropriés (par exemple, l'axiome du choix* et l'axiome de l'infini*), on prouve que les entiers naturels forment un ensemble, , qui est infini.

  L'addition, la multiplication dans ainsi que l'ordre usuel sont introduits à partir des opérations de même nom portant sur les cardinaux. En particulier :
  - Dans le cas où A et B sont des ensembles disjointsayant respectivement a et b éléments, la somme card(A)+card(B) est définie le cardinal de la réunion  AB.
  - Dans tous les cas, le produit card(A)xcard(B) est défini comme le cardinal du produit cartésien  AxB.
  L'ordre usuel des entiers naturels est défini à partir de la relation d'ordre entre cardinaux, ou bien par la propriété suivante :

  Étant donné deux entiers naturels  m et n, on a  m n ssi il existe un entier naturel  p tel que  n= m+ p .

• Axiomes de Peano. G. Peano a défini l'ensemble des entiers naturels de manière axiomatique : on utilise les symboles et quantificateurs logiques, les signes, = de la théorie des ensembles, deux symboles nouveaux : 0 (zéro) et ⁺ ( n⁺ est appelé le successeur de n) et les axiomes suivants :

  A1   0 (zéro est un entier naturel)
  A2   nimplique n⁺ (tout entier naturel a un successeur qui est un entier naturel)
  A3   Si  m et  n sont des entiers naturels tels que m⁺ = n⁺ alors m= n (deux entiers naturels qui ont même successeur sont égaux)
  A4   Si net n0, alors il existe un entier mtel que m⁺= n (tout entier naturel positif a un prédécesseur)
  A5  (Axiome de récurrence). Si une partie P de contient 0 et si le successeur d'un élément quelconque de P appartient aussi à P, alors P=.

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Isaac Newton (25 décembre 1642 - 20 mars 1727) a dit de lui-même :

" Je me fais l'effet de n'avoir pas été autre chose qu'un garçon jouant sur le rivage, et m'amusant de temps à autre à trouver un caillou plus poli ou un coquillage plus joli qu'à l'ordinaire, tandis que le grand océan de la vérité se déroulait devant moi sans que je le connusse. "

Parmi les cailloux et les coquillages, Newton a découvert de nombreuses méthodes permettant de résoudre de manière approchée divers problèmes importants à son époque (et encore aujourd'hui) comme le calcul d'une surface limitée par une courbe, ou la résolution d'équations de la forme f(x) = 0.

La méthode de Newton consiste --- pour une équation de la forme f(x) = 0, avec x l'inconnue et f une fonction qui admet une dérivée (en tout point assez voisin de la solution cherchée) --- à interpréter la fonction f comme définissant une courbe dans un repère plan, et les solutions comme les abscisses des points d'intersection de cette courbe avec l'axe des abscisses ; à partir d'une valeur approchée x₁ choisie un peu au hasard, on calcule y₁ = f(x₁), puis x₂, abscisse du point d'intersection avec l'axe des abscisses de la tangente à la courbe représentative de f au point (x₁ ; y₁).

Sous certaines conditions, on a la garantie que x₂ est plus proche de la solution cherchée que x₁ et que si l'on recommence le procédé (avec x₂ à la place de x₁) on obtiendra peu à peu une suite (x_n) dont les termes se rapprochent de la solution cherchée.

Voir continue (fonction), fonction, graphe, limite (d'une fonction).

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Les nombres sont des êtres mathématiques que l'on peut combiner entre eux par des opérations telles que l'addition et la multiplication. On utilise des nombres pour mesurer, et combiner différentes mesures.

Les nombres sont depuis la plus ancienne antiquité exprimé l'idée de quantité et de mesure. Beaucoup de problèmes apparemment simples car exprimés à l'aide d'opérations simples (addition et multiplication) portant sur des nombres simples (1,2,3,4,5,...) se sont avérés difficiles. Ces problèmes ont été de mieux en mieux compris grâce à l'invention et à la construction de nouveaux nombres qui, soumis aux mêmes opérations, mais bien plus généraux, ont permis de trouver des méthodes de résolution :

Les principales sortes de nombre sont les naturels, les entiers relatifs, les rationnels, les décimaux, les réels.

Les nombres naturels 0,1,2,... permettent de compter des objets, bien distingués les uns des autres. Les nombres naturels sont une notion primitive des Mathématiques, introduite par des axiomes. Toutes les autres espèces de nombres peuvent être construites à partir des nombres naturels.

Les nombres entiers (relatifs) généralisent les nombres naturels en utilisant l'idée de signe (+ ou - ); permettent de graduer des échelles de mesure et de comparer les nombres naturels du point de vue de l'addition (usage de la soustraction, différences entre entiers naturels)

Les nombres rationnels (ou fractionnaires) permettent et de comparer les nombres entiers du point de vue de la multiplication (usage de la division et des fractions, quotients de nombre entiers).

Les nombres décimaux permettent de mesurer les longueurs avec une précision aussi grande que voulue (usage de la virgule et des décimales)

Les nombres réels généralisent tous les nombres précédents: de mesurer exactement les longueurs géométriques (avec une précision infinie) et d'exprimer l'idée de continité (usage des passage à la limite, et des fonctions continues). Ils permettent de décrire et d'étudier l'espace et le temps physiques et de les généraliser.

Les nombres complexes généralisent encore les nombres réels et permettent de résoudre, au moins de manière théorique, les équations algébriques à une seule inconnue. Par contre, ils ne peuvent pas être ordonnés de manière compatible avec les opérations usuelles.

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Une fonction est numérique si les valeurs qu'elle prend sont des nombres (souvent, des nombres réels).

Une " fonction numérique d'une variable réelle " est une fonction dont le graphe est inclus dans R x R.

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Un ensemble de points est ouvert si tous ses éléments sont intérieurs à cet ensemble.

En géométrie on parle de segments ouverts, de disques, de demi-droites, de demi-plan, de demi-espace, etc., ouverts. Dans l'étude d'ensembles ordonnés, on parle d'intervalles ouverts. En Topologie, un ensemble ouvert est aussi appelé "un ouvert" et le complémentaire d'un ensemble ouvert est appelé un ensemble fermé ou "un fermé".

Intervalles ouverts. Dans un ensemble E ordonné par une relation d'ordre , l'ensemble des éléments compris strictement entre deux éléments donnés  a et b tels que  a b, autrement dit l'ensemble des éléments  x de E qui vérifient à la fois  a< x et  x< b, s'appelle l'intervalle ouvert d'extrémités a et b et se note ] a, b[ . Tout ensemble de la forme ] a, b[ , où  a et  b sont deux éléments de E, s'appelle un intervalle ouvert.

Ouverts de la droite réelle: un ensemble de nombres réels est dit ouvert (dans ) si dès qu'il contient un nombre x, il contient aussi un intervalle ouvert qui lui-même contient x. Un ensemble de nombre réels est dit fermé si l'ensemble complémentaire -E est ouvert. L'ensemble des nombres rationnels n'est ni ouvert ni fermé dans .

fermé

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Une paire est la donnée de deux éléments, sans ordre particulier (alors qu'un couple associe deux éléments dans un ordre précis).

• Sauf indication contraire, les éléments d'une paire sont différents : une paire est donc un ensemble à deux éléments.
• Avec les éléments d'un ensemble à  n éléments on peut former   paires différentes.

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Un ensemble F dont tous les éléments appartiennent aussi à un ensemble E, c'est à dire qui est inclus dans E, est appelé une partie de E, ou un sous-ensemble de E.

L'ensemble vide, , a une seule partie : lui-même. Tout ensemble non vide E contient deux parties remarquables : l'ensemble vide, et l'ensemble E lui-même(parfois appelé partie pleine de E). Une partie propre de E est une partie de E qui est différente de E.

• Comme l'affirme un axiome de la théorie des ensembles, les parties d'un ensemble E forment un nouvel ensemble, noté P(E) ou ( E) , ou encore 2^E .
• Un autre axiome de la théorie des ensembles affirme que si on se donne un ensemble E et une propriété P( x) , les éléments x de E qui possèdent la propriété P forment une partie de E donc un nouvel ensemble. Cette partie est introduite par l'écriture :
  { xE P( x) } ou encore { xE; P( x) }

• Cantor a montré que tout ensemble avait "plus" de parties que d'éléments (d'où il résulte en particulier qu'il n'y a pas un seul " infini ", mais une infinité ! Voir cardinaux infinis).

  	(G. Cantor)
  	Quelque soit l'ensemble E, il n'existe aucune surjection de E sur P(E).

  La démonstration, par l'absurde, est à la fois simple et instructive.

  Supposons qu'une telle surjection f existe.
  La partie  C de E définie par  C={ xE; xf( x) } est alors l'image par f d'un élément c de E.
  Mais chacune des éventualités cC ou  cC conduit à une contradiction :
  - si  cC , alors  cf( c), par définition de C, d'où cC, puisque C=f(c).
  - si cC , on a cf( c), puisque C=f(c), donc  cC, par définition de C.

  inclus, vide

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[D'origine grecque, "poly"-"èdre" = "plusieurs"-"faces".]

Découpons des polygones plans et assemblons les dans l'espace de manière à ce que chacun des cotés des polygones se retrouve comme coté commun à exactement deux polygones. L'assemblage final forme une surface (sans bord) appelée surface polyédrique ou polyèdre.

Les surfaces des polygones utilisés sont les faces du polyèdre. Leurs cotés constituent les arêtes du polyèdre et leurs sommets sont les sommets du polyèdre.

On donne aussi le nom de polyèdre à la portion d'espace délimitée par une surface polyédrique.

On classe souvent les polyèdres suivant leur nombre de faces : un tétraèdre a 4 faces, un hexaèdre (par exemple un cube ) en a 6, un octaèdre, 8, un dodécaèdre, 12, un icosaèdre, 20.

• Un polyèdre est régulier quand tous ses sommets, toutes ses arêtes, toutes ses faces jouent le même rôle . Plus précisément, si on se donne deux triplets (s,a,f) et (s',a',f') tels que :
  -  f est une face, a est une arête de f, s un sommet de a.
  -  f' est une face, a' est une arête de f', s' un sommet de a'.
  alors, il existe toujours un déplacement de l'espace tout entier qui amène s en s', a en a', f en f'.

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Ligne brisée fermée, composée de plusieurs segments mis bout à bout. Le nom vient du grec "poly" (plusieurs) et "gonos" (coté).

Un polygone est une figure géométrique formée par  n points A₁, A₂,Š, A_n (les sommets du polygone), et les n segments A₁A₂ , A₂A₃ , Š , A_n-1A_n , A_nA₁ (les cotés du polygone). Les angles formés par deux cotés consécutifs, c'est à dire les angles

sont appelés les angles du polygone. Un polygone à  n cotés (n3) est aussi appelé un n-gone. Sauf précision contraire, un polygone est plan : tous ses sommets sont dans un même plan.

• Deux cotés consécutifs d'un polygone sont dit adjacents. Si deux cotés non adjacents se rencontrent ailleurs qu'en leur extrémités, le polygone est dit croisé. Dans l'usage le plus courant,. un polygone est simple : il est non croisé et ses sommets sont différents. Le bord d'un polygone simple est l'ensemble des points qui forment ses cotés.

  	(de Jordan)
  	Le bord d'un polygone simple du plan sépare le plan en deux régions dont une seule (appelée l'intérieur) est bornée.

  Dans l'usage courant, le mot "polygone" désigne aussi bien un polygone simple que son bord ou que la surface qu'il détermine (formée des points intérieurs ou sur le bord). Par exemple, un polygone est dit convexe lorsque sa surface est convexe.

   

• Pour de nombreuses valeurs de n, les n-gones ont des noms particuliers formés avec le suffixe "-angle", "-gone" ou "&endash;latère" (en latin "côté") et un préfixe d'origine grecque ou latine qui indique le nombre de cotés:
  triangle : 3, quadrangle ou quadrilatère : 4, pentagone : 5, hexagone : 6, heptagone : 7, octogone : 8, ennéagone : 9, décagone : 10, endécagone : 11, dodécagone : 12, icosagone : 20, myriagone : 1000.]
• Un polygone est régulier quand on peut, en faisant tourner la figure d'un angle convenable autour d'un certain point fixe, amener simultanément chaque sommet à coïncider avec son suivant. Le point autour duquel on a fait tourner la figure s'appelle le centre du polygone régulier. Autrement dit un polygone est régulier s'il existe une rotation qui transforme chacun de ses sommets en son suivant.

  Un polygone est régulier ssi ses côtés sont tous de même longueur et ses angles tous égaux.

  Selon l'usage courant , le terme "polygone régulier" désigne un polygone simple. Un polygone régulier croisé est dit " étoilé " : on parlera par exemple du pentagone régulier étoilé ("pentagramme" dans la tradition symbolique) ; remarquons que le dessin usuel d'une étoile régulière à 5 branches est en réalité un polygone à dix cotés dont les angles sont alternativement rentrants et saillants.

• Quand les sommets d'un polygone sont pris dans l'espace, sans être nécessairement dans le même plan, on parle de polygone gauche.
  

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Un polynôme est une manière précise de calculer qui combine des lettres (appelées les variables du polynôme) et des nombres, par addition et multiplication. Les soustractions et divisions qui apparaissent dans un polynôme ne sont que des commodités d'écriture : elles ne sont que des manières d'écrire les nombres et ne portent pas sur les variables.

sont des écritures de polynômes : ce sont des simplifications dex rx r et de

Par contre, avec les variables  x et  y, l'écriturene représente pas un polynôme.

Il est commode de représenter aussi par des lettres certains nombres apparaissant dans le polynôme. Pour éviter de les confondre avec les variables, on leur donne un nom différent (on parle de paramètres ou de constantes). Pour les variables on utilise souvent les lettres X, Y, Z, ..., pour les paramètres ou les constantes, les lettres a, b, c ou m, p, q, r, ...

Par exemple, peut-être vu comme un polynôme en la variable x: les lettres a, b, c sont alors vues non comme des variables mais comme des constantes ou des paramètres : les expressions et ne sont que des écritures de nombres.

Autre exemple : dans l'expression de l'aire d'un cercle de rayon r, la lettre est une constante, la lettre r une variable.

Pour l'écriture des polynômes, on adopte des règles de remplacement et de simplification qui imitent (en les généralisant) les propriétés usuelles de l'addition et de la multiplication entre nombres.

Exemple : (X+1)²=X²+2X+1 car (X+1)² et X²+2X+1 sont des écritures équivalentes et représentent donc un seul polynôme.

(Cette même entrée " polynôme " était plus détaillée dans la version 1995 du glossaire parue dans les actes MATh.en.JEANS sous forme "papier". Elle devrait être bientôt disponible sur ce site.)

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syn. début de mot.

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Nombres premiers qui apparaissent dans l'écriture d'un nombre entier sous forme de produit. Tout nombre entier supérieur à 1 est le produit de facteurs premiers.

Exemple. 1996 s'écrit 2x2x499 et a deux facteurs premiers : 2 et 499.

Plus généralement on a le théorème suivant, considéré comme le théorème fondamental de l'Arithmétique.

Tout nombre entier n > 1 s'écrit sous la forme n = aa x bb x cg x ... x dd où a, b, c, ..., d sont les facteurs premiers de n et où a, b, g, ..., d sont des entiers positifs ; de plus, cette écriture, appelée décomposition de n en facteurs premiers, est unique, à l'ordre près des facteurs a, b, c, ..., d .

Exemples : les facteurs premiers de 30 sont 2 , 3 et 5 car la décomposition de 30 est 30 = 2 x 3 x 5 ; ceux de 12 sont  2 et 3 car 12 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3.

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Nombre entier plus grand que 1 qui n'est pas le résultat d'une multiplication de nombres entiers positifs plus petits que lui.

Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... sont des nombres premiers, 6 n'en est pas un puisqu'il est le produit de 2 par 3.

[Euclide] Il existe une infinité de nombres premiers.

Un nombre premier qui divise un produit d'entiers divise forcément au moins l'un de ces entiers.

Ce dernier théorème permet d'étendre la définition de " premier " dans les anneaux*.

premier (facteur), diviseur

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Des nombres entiers a, b, ... , c sont dit premiers entre eux si 1 est le seul entier positif qui les divise tous.

Par exemple 12 et 25 sont premiers entre eux ainsi que 6, 10 et 15. On distinguera le cas des nombres 12, 25, 77 qui sont premiers entre eux deux à deux, donc aussi premiers entre eux dans leur ensemble, du cas des nombres 6, 10, 15, qui sont premiers entre eux dans leur ensemble mais pas deux à deux (2 divise 6 et 10, 5 divise 10 et 15, 3 divise 6 et 15, mais 1 est le seul à pouvoir diviser à la fois 6, 10 et 15).

Le théorème de Bézout [Etienne Bézout, mathématicien français, né près de Fontainebleau, 1730-1783] donne une caractérisation sous forme d'équation pour deux nombres entiers d'être premiers entre eux :

	[Théorème de Bézout]
	Deux entiers a et b sont premiers entre eux ssi il existe deux entiers (positifs ou non) u et v tels que ua+ vb= 1 (autrement dit : l'équation ua+ vb= 1, où les inconnues sont  uet v a au moins une solution en nombres entiers).

Exemple. 12 et 25 sont premiers entre eux : (-2) x 12 + 1 x 25 = 1 et l'équation ux12 + vx25= 1  a bien au moins la solution  (-2, 1)  en nombres entiers.

	Cette caractérisation est générale : des entiers a, b, c, ... sont premiers entre eux ssi l'équation ua + vb+ wc+ ... = 1 a au moins une solution (u, v, w, ...) en nombres entiers.
	On peut ainsi reconnaître d'une autre façon que les trois entiers 6, 10, 15 sont premiers entre eux : l'équation 6u+ 10v+ 15w = 1 admet la solution (1, 1, -1) puisque 6x1 + 10x1 + 15x(-1) = 1.

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En mathématiques l'activité de preuve consiste à expliquer comment un certain énoncé, appelé conclusion, est démontré, c'est à dire est déduit logiquement d'autres énoncés, appelés hypothèses. Ces explications doivent pouvoir être vérifiées, elles sont donc généralement présentées par écrit : le texte prennant le nom de preuve mathématique.

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Résultat d'une multiplication ou expression de ce résultat sous forme multiplicative (c'est à dire utilisant une multiplication, éventuellement plusieurs fois). Il s'agit le plus souvent de nombres, mais on parle aussi de produit d'ensembles, de fonctions, de polynômes, de matrices, de vecteurs, etc.

Le produit de deux éléments a et b se note  ax b ou a.b (ou aussi  ab s'il n'y a pas de risque de confusion). Si la multiplication est associative, le produit de plusieurs nombres se note sans mettre de parenthèses :

Chaque nombre intervenant dans l'écriture d'un tel produit s'appelle un facteur. Ces nombres sont des diviseurs du nombre produit. Si la multiplication n'est pas commutative, on fera attention à l'ordre des facteurs dans l'écriture d'un produit.

Exemples.

25 est le produit de 5 et de 5.
Le nombre 15 se met sous la forme du produit 3x5.
Si  a et  b sont des nombres, l'expression  a²- b², représente le même nombre que le produit ( a+ b)( a- b)

produit de deux entiers naturels. Si A est un ensemble à a éléments et si B est un ensemble à b éléments, le produit ax b est, par définition, le nombre d'éléments du produit cartésien  Ax B.

multiplication, premier (facteur), diviseur

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voir cartésien (produit -)

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voir continu (puissance).

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La n-ième puissance d'un nombre a est le produit a x a x ... x a de n facteurs égaux à a.

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Polygone à 4 cotés.

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Figure géométrique formé de 4 points différents (appelés les points de base ou les sommets du quadrilatère) et des 6 droites qui joignent ces points deux à deux. Pour qu'une telle figure ne soit pas "dégénérée", il faut supposer que les 6 droites sont toutes différentes.

• A la différence d'un quadrilatère usuel, les 6 droites d'un quadrilatère complet jouent le même rôle : il n'y en a pas de "diagonales".
• Dans le plan, les 6 droites d'un quadrilatère complet déterminent 7 points d'intersection, pourvu qu'aucune relation de parallélisme n'apparaîssent entre les droites.

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Résultat d'une division.

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Un nombre pour lequel le calcul de ce polynôme donne 0 quand on remplace la variable x du polynôme par ce nombre. " racine de P " (on dit aussi " zéro de P ") est synonyme de " solution de l'équation P(x) = 0 "..

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Nombre qui s'exprime sous forme de fraction a/b avec a et b entiers.

Dans l'Antiquité, le nombre exprimait généralement la longueur d'un segment, ce qui imposait d'avoir toujours une longueur de référence, qui servait à mesurer les autres longueurs. Avec des constructions géométriques simples, on pouvait alors ajouter des nombres, les soustraire, les multiplier ou les diviser, en faisant en fait ces opérations sur les segments. Se pose alors le problème de trouver la longueur d'un segment exprimée avec le segment de référence, dont la longueur est la " longueur unité ". Ce n'est pas toujours possible !

Exemple célèbre : on construit un carré sur le segment de référence, qui est ainsi le côté du carré ; la diagonale de ce carré pose problème. Sa longueur ne s'exprime pas comme multiple entier de la longueur unité, ni même comme fraction c'est-à-dire un multiple d'une sous-unité.

Depuis les Grecs, on classe les nombres réels en deux familles : les rationnels et les irrationnels. Les rationnels sont ceux qu'on peut exprimer comme fraction de la longueur unité (fraction de 1, donc sous la forme fractionnaire a/b avec a et b entiers) ; les irrationnels sont ... les autres.

L'ensemble des nombres rationnels se note. On peut y faire addition et multiplication avec de bonnes propriétés, permettant par exemple de résoudre toutes les équations polynomiales du premier degré.

La diagonale du carré de côté 1 est de longueur , doncest un irrationnel. On pourra essayer d'en donner un développement décimal illimité, par exemple, mais on ne pourra pas l'exprimer sous forme d'une fraction de deux nombres entiers.

On peut faire une construction de Q en considérant un rationnel comme un ensemble de fractions équivalentes (deux fractions sont équivalentes si " le produit des moyens est égal au produit des extrêmes ") ; cette construction a l'avantage de pouvoir se généraliser à d'autres ensembles pour lesquels on dispose d'une addition et d'une multiplication (l'ensemble des polynômes à coefficients dans R, par exemple).

majorant, minorant, réel.

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Notion mathématique qui permet de se repérer précisément dans l'espace et dans le temps et d'y évaluer les distances.

Les nombres réels permettent à la fois de faire de l'Algèbre, de la Géométrie et de l'Analyse :

• Ce sont des nombres, qui généralisent les nombres entiers, les nombres décimaux et les nombres rationnels et qui, comme eux peuvent être additionnés, multipliés et ordonnés avec de bonne propriétés (ils forment un *corps ordonné, archimédien et complet*) .
• Il y a une correspondance parfaite entre les nombre réels et les points d'une droite géométrique, ce qui permet de repérer un point par des nombres (coordonnées cartésiennes).
• Les *fonctions d'une ou de plusieurs variables réelles*(celles qui utilise des nombres réels comme variables dans leur définition) sont couramment étudiées pour décrire des relations géométriques (longueur d'une courbe, aire d'une figure, sinus d'un angle, etc.) ou l'évolution d'un phénomène physique au cours du temps (mouvement d'une masse ponctuelle, croissance d'une plante, température ou pression d'un gaz , intensité d'un courant, etc.).

L'ensemble des nombres réels se note . On classe souvent les nombres réels en deux familles : les rationnels et les irrationnels. (voir nombres rationnels)

On démontre la propriété fondamentale suivante de , qui n'est pas vraie pour l'ensemble des nombres rationnels :

[Théorème des coupures de Dedékind] Si A et B sont des parties disjointe de et si A est situé "avant" B, alors il existe un nombre réel "entre" A et B. Autrement dit, l'hypothèse que tout nombre de A est inférieur à tout nombre de B garantie l'existence d'un nombre supérieur à tout élément de A et inférieur à tout élément de B (il majore strictement A et minore strictement B).

Dans la pratique courante, on s'intéresse à la situation où A et B forment une coupure* (au sens de Dedekind), c'est à dire lorsqu'un seul nombre réel se trouve entre A et B et on donne des valeurs approchées de ce réel en utilisant des éléments de A ou des éléments de B.

On peut illustrer cette " pratique courante " avec la méthode utilisée par Archimède pour calculer le nombre . Pour un cercle de diamètre 1, on cherche la longueur de la circonférence (et on obtiendra donc une valeur depuisque cette longueur vautx diamètre).

Archimède considère deux ensembles de polygones réguliers, certains inscrits dans le cercle, les autres circonscrits au cercle ; les longueurs de ces polygones forment aussi deux ensembles de nombres, les uns sont tous avant la longueur de la circonférence, les autres sont tous après elle ; le nombre réel "circonférence du cercle" est ainsi coincé entre ces deux ensembles de nombres, et on en obtiendra un encadrement en prenant une longueur de polygone inscrit et une longueur de polygone circonscrit, pour peu qu'on réussisse à les calculer avec suffisamment de précision.

[Archimède obtint : 3 + 10/71 << 3 + 10/70.]

majorant, minorant, rationnel.

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Certaines figures partagent un espace donné en plusieurs régions (on utilise aussi parfois le mot zone)

Dans la langue usuelle, ce terme n'est pas bien défini : il existe une petite région appelée "France" (celle de Roissy-en-France), qui se trouve dans la Région "Ile-de-France", laquelle se trouve en "France" ! En mathématiques, c'est le plus souvent un ensemble de points délimité (dans le plan ou dans l'espace) par des droites ou des plans, par des courbes ou par des surfaces. La façon dont la région est délimitée est alors précisée. Deux droites sécantes du plan y déterminent quatre régions. (Combien de régions sont déterminées par les plans des faces d'un cube ?).

Remarque. "Région" peut aussi se comprendre dans le sens de "voisinage" : ce ne sont justement pas les limites de la région qui seront intéressantes, mais le fait qu'on puisse être assez proche d'un point, d'une figure. Comme dans la vie courante, on peut s'intéresser à une région autour d'un point, d'une ligne (les rives du Nil forment une région fertile ; mais quelle serait la définition précise de "rive" du Nil ?). A titre d'exemples d'utilisation de ce vocabulaire, voir continue (fonction), face (d'un polyèdre).

On utilise l'expression "région délimitée par" ou "zone définie par" pour parler d'une partie d'espace constituée de tous les points qui, par rapport à une (ou plusieurs) figure donnée, sont situés de la même manière. Dans le plan, l'intérieur et l'extérieur d'un triangle sont les deux régions délimitées par ce triangle. Plus généralement, certaines lignes ont la propriété de partager le plan en "régions" : les droites (voir demi-plan), les polygones non croisés, les courbes fermées de Jordan . De même certaines surfaces (fermées) partagent l'espace en régions. Comme les figures, les régions sont considérés comme des ensembles de points, mais leur définition précise dépend des propriétés de l'espace étudié et des figures qui définissent ces régions. La Topologie donne un procédé général rigoureux de définition : les régions délimitées par des figures sont les composantes connexes* de l'ensemble obtenu en enlevant à l'espace tous les points qui appartiennent à l'une des figures considérées.

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La réunion (ou union) de deux ensembles A et B est l'ensemble formé des éléments qui appartiennent à A ou à B. On le note AB (lire «A union B»).

La réunion de plusieurs ensembles A, B, C, ...  est l'ensemble formé des éléments qui appartiennent à l'un au moins des ensembles A, B, C, ...

• En théorie des ensembles*, un axiome permet de former à partir d'une famille d'ensembles ( E_i)_iI un nouvel ensemble formé des éléments qui appartiennent à l'un au moins des ensembles  E_i . Cet ensemble, appelé la réunion (des ensembles de) la famille, ( E_i)_iI) est noté . Il est donc défini par :
  

théorie des ensembles*, union

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résultat d'une addition ou expression de ce résultat sous forme additive (c'est à dire utilisant une addition, éventuellement plusieurs fois). Il s'agit le plus souvent de nombres, mais on parle aussi de somme d'ensembles, de vecteurs, de fonctions, de polynômes, de matrices, etc.

La somme de deux éléments a et b se note  a+ b. Si l'addition est associative, la somme de plusieurs éléments se note sans mettre de parenthèses

Chaque nombre intervenant dans l'écriture d'une telle somme s'appelle un terme. Si l'addition n'est pas commutative, on fera attention à l'ordre des termes dans l'écriture d'une somme.

Exemples.

25 est le somme de 17 et de 8.
Le nombre 15 se met sous la forme de la somme 1+2+3+4+5.
Si  a et  b sont des nombres (entiers, rationnels, réels ou complexes), l'expression ( a+ b)² représente le même nombre que la somme a²+ b²+ 2ab .

Somme de deux entiers naturels. Si A et B sont des ensembles finis disjoints, A ayant a éléments et B ayant b éléments, la somme a+ b des nombres a et b est, par définition, le nombre d'éléments de la réunion  AB.

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Extrémité d'une arête dans un graphe ou dans un polyèdre.

arête, face, graphes (théorie des), polyèdre

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Syn. partie.

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Abréviation pour " si et seulement si " que l'on rencontre souvent dans les écrits de mathématiques. Une phrase qui s'écrit

" A ssi B "

signifie

" si l'énoncé A est vrai, alors l'énoncé B est vrai " et " si l'énoncé B est vrai, alors l'énoncé A est vrai ".

• La démonstration d'un théorème qui s'énonce sous la forme " A ssi B " se fait souvent en deux temps : dans un premier temps, on suppose que l'énoncé A est vrai et on en déduit la véracité de l'énoncé B ; dans le deuxième temps, on suppose que c'est l'énoncé B qui est vrai et on en déduit la véracité de l'énoncé A.

  Ne pas confondre avec le " si " que l'on trouve dans les définitions en mathématiques. Une définition correspond à une phrase du type " A si B " où A désigne un mot du vocabulaire et B est un énoncé qui peut être vrai ou faux ; A consiste simplement en " on appelle tel objet (ou telle situation) de telle façon " ; quand " A si B " est une définition, il n'y a rien à démontrer dans " A ssi B ", puisque la définition sert simplement à condenser l'énoncé B dans un nouveau mot de vocabulaire.

  Ainsi, pour la définition : " Un ensemble est convexe s'il contient tous les segments joignant deux de ses points ", il n'y a rien à démontrer, mais seulement à apprendre ce qu'on appelle " convexe ". Par contre les énoncés " si un ensemble est l'intersection de deux convexes, alors il est convexe " et " une partie de R est convexe ssi c'est un intervalle de R " sont des théorèmes pour lesquels des démonstrations s'imposent ...

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Enoncé mathématique vrai, c'est-à-dire prouvé. (Le mot théorème vient du verbe grec « théorein », "montrer".)

Un théorème est une phrase qui a une signification mathématique précise et qui est la conclusion d'un raisonnement logique particulier, appelé démonstration. Il est la conséquence logique d'autres propriétés vraies soit parce qu'elles sont prises pour vraies (axiomes et définitions) soit parce qu'elles ont été démontrées auparavant.

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La Topologie est une branche des Mathématiques qui fournit un cadre rigoureux aux idées de proximité, de continuité et de discontinuité. Elle construit des "espaces abstraits" dans lesquels des objets, vus comme des ensembles de points, peuvent évoluer et se déformer.

La construction d'un espace topologique utilise essentiellement deux types particuliers d'ensembles de points : les ouverts et les fermés. Par exemple, les intervalles ouverts de la droite réelle permettent de définir l'espace topologique des nombres réels.

• Extraits d'une interview du mathématicien René Thom par Jacques Nimier

  « - N: C'est quand même vous qui avez introduit le mot de catastrophe ...

     - T: J'ai introduit le mot de catastrophe dans un sens un peu spécial, oui.

     - N: Comment vous est venue l'idée de ce mot ?

     - T: Tout simplement parce que je voulais exprimer l'idée d'une distinction fondamentale, la distinction des topologues entre ouvert et fermé. Un ouvert ça représente, si vous voulez, quelque chose comme un état, un état régulier, une sorte d'équilibre local des dynamiques qui s'y trouvent, tandis que le fermé au contraire, exprime un lieu de points où il se produit quelque chose, une discontinuité. Alors, je suis parti de cette idée que les fermés les plus généraux ne sont pas très intéressants, mais qu'il y a des fermés plus réguliers en quelque sorte qui apparaissent de manière quasi inévitable ... Si on fait des hypothèses sur ce que l'on pourrait appeler la dynamique ambiante, c'est un peu une sorte de généralisation de l'idée de défaut en physique. Dans un milieu ordonné comme un cristal, il y a une structure régulière mais qui s'arrête parfois sur certaines sous-variétés qu'on appelle les défauts; c'est un peu la même idée.

  Alors je voulais exprimer cette idée qu'il y avait des sous ensembles exceptionnels qui étaient associés à des irrégularités de la dynamique et c'est pour cela que j'ai appelé ça des catastrophes; j'aurais pu en effet prendre une terminologie beaucoup plus neutre, ça m'aurait évité bien des ennuis ...»

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Polygone à 3 cotés, figure géométrique formée par trois points (les sommets du triangle) et les trois segments joignant ces points (les cotés du triangle). Dans la pratique, le mot triangle s'applique aussi à la surface délimitée par un triangle (formée des points intérieurs ou sur le bord) ainsi qu'à la figure formée par trois droites deux à deux concourantes (ces droites sont alors abusivement appelées cotés et leurs points de rencontre sommets)

• Trois points déterminent toujours un triangle. Si les points sont alignés, le triangle est dit plat ou dégénéré.

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Opération portant sur des ensembles qui consiste à associer à deux ensembles A et B leur réunion AB (lire «A union B»), c'est à dire l'ensemble formée des éléments qui appartiennent à A ou à B.

Exemples : {1,2,3}{2,3,4,5} = {1,2,3,4,5} . Dans , on a [-1 ; 2]  ]-5 ; 1[ = ]-5 ; 2] .

Pour tout ensemble A, on a :   AA = A

L'union ensembliste est associative et commutative.

(Identité de de Morgan) L'union ensembliste est distributive par rapport à l'intersection ensembliste, autrement dit on a l'identité suivante : A(BC)=(AB)(AC)

• Le mot union est souvent employé comme synomyme de réunion.

  intersection, réunion

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Variable mathématique. Lettre désignant un objet susceptible de varier, c'est à dire de prendre plusieurs valeurs différentes au cours d'une même étude. On utilise une variable pour nommer un élément quelconque pris dans un ensemble bien défini, chaque élément particulier devenant ainsi une valeur possible pour cette variable.

• L'expression « Soit N un nombre entier inférieur à 5 » signifie que l'on va parler "en particulier" d'un nombre "général", appelé N, sans que l'on veuille préciser de quel nombre il s'agit ; les seules hypothèses que l'on fasse sur ce nombre sont qu'il est entier et inférieur à 5.
  La lettre N est ici une variable qui désigne l'un des nombres
  4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, ...
• L'écriture « NxN-6 » signifie : "nombre obtenu en multipliant le nombre N par lui-même et en retranchant 6 du résultat". Cette écriture est un résumé de toutes les écritures particulières : 1x1-6 , 2x2- 6, 3x3- 6, 4x4 - 6, etc. Chacune de ces écritures particulières est obtenue en donnant à la lettre N une valeur particulière dans l'expression NxN-6. C'est l'usage de la variable N qui permet de parler du procédé de calcul en général sans s'attarder à chaque cas particulier.
• Si A, B et C sont trois points du plan on a ACAB+BC. L'usage des variables A,B, C permet d'énoncer facilement une loi générale, valable quel que soit les emplacements particuliers des points A, B et C.

Le concept de variable représente un progrès considérable pour les mathématiques et pour la pensée. Il joue en effet deux rôles essentiels :

1. Derrière une variable  x il y a un objet, unique, d'un type bien déterminé. La lettre x permet de montrer la place qu'occupe cet objet dans un calcul ou dans un raisonnement sans avoir à redonner la description ou la définition de cet objet à chaque fois qu'il est utilisé.
2. La variable permet de parler d'un manière générale des propriétés communes à tous les éléments d'un ensemble en n'étudiant ces propriétés que pour un seul de ses éléments. Une variable est ainsi un élément générique, c'est à dire qui un élément qui est typique de la situation étudiée, qui est exemplaire de ce qui se passe pour tous les autres éléments soumis aux mêmes hypothèses que lui.

Variable en informatique. Les variables sont utilisées différemment en mathématique et en informatique : en mathématiques, les variables sont des simples lettres, alors qu'en en informatique les variables sont des mots pour lesquels l'ordinateur réservera une adresse en mémoire.

• En mathématique, les variables sont couramment utilisées dans les expressions algébriques, comme les polynômes, dans la définition des fonctions ou dans l'écriture des équations. Dans une expression donnée, la valeur d'une variable mathématique ne change pas.
  Ainsi l'écriture X = XxX-6 décrit une situation où un nombre est égal à son carré diminué de 6. Par le raisonnement, compte-tenu des propriétés de l'addition et de la multiplication, on s'aperçoit qu'il n'y a que deux valeurs particulières qui réalisent une telle situation : les nombres 3 et -2.
  
• En informatique, les variables sont utilisés comme de vraies adresses : un nom de variable désigne le contenu d'un emplacement précis dans la mémoire de l'ordinateur. Le contenu évolue au cours du déroulement du programme, mais le nom ne change pas.
  Par exemple l'écriture X = XxX-6 est une ligne de programme qui donne à la machine l'ordre suivant : « prendre dans l'emplacement attribué à la variable X ce qui s'y trouve, élever ce contenu au carré et ôter 6, puis mettre le résultat obtenu à l'emplacement attribué à la variable X ».