• Une incursion dans l'univers
  des jeux combinatoires

   Les mathématiciens ont toujours eu des rapports privilégiés avec les jeux qui "sont une source inépuisable de situations abstraites dont l'étude et la compréhension enrichissent ceux qui s'en occupent... tout en les divertissant." (Jean-Paul Delahaye, Jeux mathématiques et mathématiques des jeux, 1998). Dans bien des cas, l'étude des jeux mathématiques a débouché sur des théories mathématiques maintenant bien établies : l'étude
des jeux de hasard, par exemple, est ainsi à l'origine de la théorie des
probabilités.
   Dans cet exposé, nous nous intéressons à une classe particulière de jeux
mathématiques, les jeux combinatoires, qui se caractérisent ainsi : deux
joueurs jouent alternativement, sans intervention du hasard, en ayant
une connaissance complète de la configuration de jeu en cours et des règles
du jeu qui, elles, assurent que toute partie se déroule en un temps fini.
Des représentants emblématiques de cette famille de jeux sont le jeu de NIM et ses multiples variantes.
   Dans les années 30, Sprague et Grundy ont introduit une théorie générale
permettant d'unifier l'étude des jeux combinatoires qui, jusqu'alors,
consistait essentiellement à utiliser des outils mathématiques ad-hoc et
concernait des jeux "relativement simples".
   L'analyse de tels jeux consiste à caractériser les configurations de jeu
gagnantes (qui assurent le gain de la partie au joueur qui doit jouer,
contre toute défense) et à définir une stratégie gagnante (qui décrit
la façon de jouer en assurant le gain de la partie, à partir de n'importe
quelle configuration gagnante). Nous verrons que cela conduit parfois à des
situations inattendues et surprenantes.

• Courbes et singularités

   Dans tout cet exposé, nous considérons des courbes dans le plan.
   Dans la première partie, nous presentons quelques courbes planes, souvent associées à des mouvements: des coniques, des cubiques, des cycloïdes....
   La deuxième partie est l’étude de l’intersection d’une droite et d’une courbe. Cela nous conduit jusqu’à la cryptographie elliptique.
   Dans la troisième partie on considère des points particuliers sur une courbe que l’on appelle points singuliers et le problème de leur classification. Enfin, on évoquera un des objets de la théorie des nombres contemporaine, l’étude des points à coordonnées entières sur les courbes.

• Les premiers ne sont pas les derniers

   Les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...), nombres qui ne peuvent être exprimés comme le produit de deux nombres entiers supérieurs à 1, sont les “briques” fondamentales de la structure multiplicative des entiers. La connaissance des nombres entiers passe donc par celle des nombres premiers. Les Grecs les avaient déjà identifiés et Euclide savait que l'on ne pouvait en dresser une liste finie. Qu'en sait-on maintenant, que n'en sait-on pas, comment aborde-t-on leur étude, en quoi jouent-ils un rôle clef dans l'ensemble des mathématiques, qu'en avons-nous appris récemment ? En restant à un niveau élémentaire, on se propose d'apporter quelques éléments de réponse à ces questions.

   Participants et sujets

  programme

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