Sujet n°1 : Ensemble fini de points caractériséz par des propriétés de médiatrices. [exposé]
Nb. d'élèves : 4

On cherche des configurations de points dans le plan qui aient la propriété suivante :

la médiatrice de deux points quelconques de la configuration contient au moins un autre point de la configuration.

Soit F un ensemble fini du plan euclidien.

1. On dit que F satisfait la propriété M₁ , si pour tout a, b F , ab , alors la médiatrice de a et b rencontre F (en au moins un point).

• Trouver les ensembles F à 3 points qui satisfont M₁
• Trouver les ensembles F à 4 points qui satisfont M₁
• Y-a-t-il un ensemble F à n points qui satisfont M₁ ?

2. On dit que F satisfait la propriété M₂ , si pour tout a, b F , ab , alors la médiatrice de a et b rencontre F en au moins deux points.

• Trouver un ensemble F à 8 points qui satisfont M₂.
• Y-a-t-il un ensemble F à moins que 8 points qui satisfont M₂ ? .
• Y-a-t-il d'autres ensembles F qui satisfont M₂ ?

Le même sujet a été traité à Cestas -Talence en 2004

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