Sujet n°1 : Configuration d'un ensemble fini de points du plan avec des propriétés de médiatrice.
Nb d'élèves : ? & ?

On cherche des configurations de points dans le plan qui aient la propriété suivante : la médiatrice de deux points quelconques de la configuration contient au moins un autre point de la configuration.

Soit F un ensemble fini du plan euclidien.

1. On dit que F satisfait la propriété M₁ , si pour tout a, b F , ab , alors la médiatrice de a et b rencontre F (en au moins un point).

• Trouver les ensembles F à 3 points qui satisfont M₁
• Trouver les ensembles F à 4 points qui satisfont M₁
• Y-a-t-il un ensemble F à n points qui satisfont M₁ ?

2. On dit que F satisfait la propriété M₂ , si pour tout a, b F , ab , alors la médiatrice de a et b rencontre F en au moins deux points.

• Trouver un ensemble F à 8 points qui satisfont M₂.
• Y-a-t-il un ensemble F à moins que 8 points qui satisfont M₂ ? .
• Y-a-t-il d'autres ensembles F qui satisfont M₂ ?

Sujet n°2 : configuration d'un ensemble fini de points du plan avec des distances entières.
Nb d'élèves : ? & ?

Il s'agit de trouver les ou des ensembles finis F du plan euclidien tels que pour tout a, b F , la distance entre a et b soit un nombre entier.

• Trouver les ensembles F à 3 points non alignés.
• Trouver des ensembles F à 4 points dont 3 quelconques ne sont pas alignés.
  Peut-on trouver toutes les configurations ?
• Trouver des ensembles F à n points situés sur un cercle (on cherchera à décrire les triangles rectangles à côtés entiers).