Deux meuniers ont mis ensemble leurs économies pour acheter une meule. Parce qu'ils habitaient l'un loin de l'autre ils furent d'accord pour laisser la meule chez le plus âgé jusqu'à ce qu'il l'ait réduite de moitié en s'en servant. Le second devait la reprendre à ce moment.
La meule mesurait exactement 56 cm de diamètre avec un trou au centre de 8 cm de diamètre. Quel doit être le diamètre de la pierre quand le deuxième propriétaire la prend  ?

On construit une scie de longueur 1 m, ayant n = 2 (puis n = 3; 4; ...) dents triangulaires de mêmes dimensions et de hauteur commune de 1 / 2n = 1 / 4 (puis 1 / 6; 1 / 8 ...), comme sur la figure ci-dessous qui illustre le cas n = 4.
Lorsque la scie a 2 dents, 3 dents, 4 dents, calculer :

• la longueur totale des dents (longueur de la ligne brisée)
• la surface de la scie.

Que devient la forme de la scie lorsque le nombre de dents devient très très grand ? Qu'en est-il de la longueur totale de ses dents (longueur de la ligne brisée) ainsi que de la surface de la scie ? Etudier le cas où le nombre de dents est n² = 4; 9; 16; ... , le cas où la hauteur des dents de la scie est de 1 / 2n² = 1 / 8; 1 / 18 ; 1 / 32 ; ...
Etudier ce problème dans le cas où on a d'autres formes de dents (la courbe qui les délimite n'est pas forcément une ligne brisée) comme le suggère le dessin ci-dessous.

Les deux coureurs sur le dessin [ndlr : la figure était absente du sujet communiqué] courent dans des directions opposées, mais visent le même but : le drapeau. Le coureur de droite tournera à gauche en faisant un angle droit lorsqu'il aura atteint le pont ; puis il traversera le canal et continuera sur la route jusqu'au but.
Le courreur de droite doit courrir 250 m avant de tourner puis il doit parcourrir 600 m avant d'arriver au drapeau. Si celui-ci devait s'arrêter et revenir pour prendre l'autre route, la distance serait exactement la même. Donc le courreur de gauche a une bonne avance, et s'il court aussi vite que l'autre courreur, il gagnera facilement.
Le problème est de déterminer la distance en mètres qui sépare les deux ponts. Il faut supposer que les coureurs courent dans des directions opposées le long des côtes de l'angle droit d'un triangle rectangle dont les extrémités sont les deux ponts. Le coureur de gauche après avoir atteint le pont non visible, prendra ensuite l'hypothénuse du triangle rectangle.

Dans une émission de télévision, l'animateur place un candidat devant 3 portes dont une seule cache une voiture rutilante (ou un autre objet de valeur !!), les deux autres étant sans issue. L'animateur demande au candidat de choisir une des trois portes en lui promettant de devenir le propriétaire de la voiture (ou de l'autre objet de valeur !!) s'il tombe sur la bonne porte. Le candidat s'exécute à la suite de beaucoup d'hésitations, à la suite de quoi l'animateur (qui, lui, sait ce qu'il y a derrière chaque porte) ouvre l'une des portes que le candidat n'a pas choisies : elle est sans issue ! Le candidat doit-il maintenir son choix initial ou choisir une autre porte ou alors choisir au hasard entre les deux portes encore closes ? (on pourra illustrer les réponses en faisant des expériences).

Le plan peut être pavé en assemblant des polygones réguliers qui veulent bien se mettre cote à cote. Soit en utilisant toujours le même polygone régulier, soit en utilisant plusieurs sortes de polygones réguliers.

• Chercher les différentes façons de paver ainsi le plan en respectant les règles suivantes :
  • Règle 1 : le sommet d'un polygone ne se trouve en contact qu'avec le sommet d'un autre polygone.
  • Règle 2 : la configuration autour de chaque sommet est la même.
    
• Et si les polygones utilisés sont les mêmes mais ne sont pas réguliers ? Par exemple :
  • des triangles isométriques ? peut-on faire le pavage du plan ? Parfois ? Toujours ? Comment ? Pourquoi ?
  • des parallélogrammes isométriques ? peut-on faire le pavage du plan ? Parfois ? Toujours ? Comment ? Pourquoi ?
  • des quadrilatères isométriques ? peut-on faire le pavage du plan ? Parfois ? Toujours ? Comment ? Pourquoi ?
    

Commentaire sur ce sujet  [NDLR] : étudier les pavages, à quoi ça sert ?