Sujet 1 : Equilibres. [exposé]
(sujet du "LaboraToile" )
nb d'élèves : 6 & 5 (Virginie CHAILLOT, Brice LEBAS, Sébastien MARTI, Renaud OBERTI, Yohann TELLIER, Samuel ZERBIB &Valentin CLERC, Matthieu GUILLOT, Victor HERNANDEZ, Antoine KAHN, Cédric MOUSNIER)

Vous avez sans doute une idée de ce qu'est le centre de gravité d'un objet. Mais comment le définir précisément et comment déterminer sa position par l'expérience ou le calcul ? On propose de faire cela pour des objets plans assez simples.

En déplaçant une plaque sur un fil horizontal tendu, on trouve des positions d'équilibre. Ce sont des équilibres instables mais la plaque ne tombe pas tout de suite d'un certain côté. Vous pouvez ainsi trouver expérimentalement des "droites d'équilibre" de la plaque, une dans chaque direction ; En les traçant, vous devez voir qu'elles se recoupent en un même point. Si vous posez la plaque sur une pointe placée exactement en ce point, elle reste en équilibre (au moins un instant) : c'est le centre de gravité de la plaque.

• Faites aussi l'expérience avec des masses placées au sommet d'une plaque triangulaire légère. Si on change les masses, le centre de gravité se déplace. Comment ?
• Peut-on le déterminer mathématiquement ?
• Peut-on le faire aussi pour quatre masses disposées au sommet d'un quadrilatère ?
• Et pour une plaque pleine ?
• ...

Sujet 2 : Culbutos triangulaires. [exposé]
nb d'élèves : 6 & 5 (Eddine BENDIAB, Emmanuella CARADEC, Daniel KHAUV, Brandon KILALA, Fabien MESSAOUDÈNE, Nicolas POUPLOT & Loïc BOISCOMMUN, Florian CONSTANT, Guillaume GIRARDOT, William MARES, Aldo MOSCATELLI)

Le "culbuto Math.en.Jeans" est un cube qu'on fait rouler sur un damier. Une face du cube recouvre exactement une case du damier. On se demande dans quelles orientations le cube, parti d'un coin du damier, pourra arriver à un autre coin... On propose d'étudier les variantes sur un damier triangulaire.

On construit un damier triangulaire à partir d'un triangle équilatéral : on place des points à distances égales sur chacun des côtés, le même nombre sur chaque côté, et de ces points on trace les parallèles aux autres côtés. Pour remplacer le cube, construisez un tétraèdre régulier, c'est-à-dire une pyramide à base triangulaire, dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux de même dimension que les cases du damier, et marquez les faces. Le tétraèdre roule en basculant sur le damier, d'une case à une case voisine.

• À partir d'une position donnée, dans quelles positions le tétraèdre peut-il arriver sur une autre case ?
• Dans quelles positions peut-il revenir à sa case de départ ?
• Est-ce que ça dépend de la taille du damier ?
  
• Quand vous aurez répondu à ces questions, compliquez un peu le problème en remplaçant le tétraèdre par un octaèdre régulier : on l'obtient avec deux pyramides à base carrée dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux, que l'on colle par la base. Vous le construirez, comme le tétraèdre, en pliant et en recollant un patron fait de triangles équilatéraux.

Sujet 3 : Kaléidoscopes. [exposé]
nb d'élèves : 6 & 6 (Nicolas FERRARI, Clémence LEVIEILLE, Julie LORENT, Nicolas MAYOT, Romain MONTAY, Tom NICOURT-FOUQUET & Maxime BERGEAUD, Dany BREDON, Lise FAVOINO, Ludivine HUARD, Mélanie LEAL, Samantha LEBAZ)

Dans un kaléidoscope, on voit de magnifiques rosaces multicolores, mais en réalité il n'y a que quelques paillettes colorées qui sont placées entre deux miroirs formant un angle : on voit les images des paillettes obtenues par plusieurs réflexions successives sur les deux miroirs.

On se demande comment peut-on fabriquer un kaléidoscope infini avec trois miroirs disposés en triangle. On verra les objets du triangle réfléchis par chacun des miroirs dans un triangle symétrique par rapport à ce miroir, puis encore réfléchis dans un nouveau triangle symétrique du deuxième par rapport à un autre côté, et ainsi de suiteŠ

Vous pouvez construire la figure progressivement à partir d'un triangle quelconque, mais si les angles ne sont pas bien choisis, les triangles vont se recouper à partir d'un certain moment, un peu n'importe comment, ce qui veut dire que les images obtenues vont apparaître brisées

• Pour quelles formes de triangles les différentes images vont-elles bien se recoller entre elles ?
• Dans ce cas les triangles se superposent exactement et forment un pavage du plan. Il y a une image dans chacun des triangles du pavage mais, selon les positions de l'objet et de l'observateur, on peut la voir par des suites de réflexions différentes. Vous pouvez coder les réflexions successives....
  Comment trouver les différentes possibilités qui aboutissent à un triangle donné ?

Sujet 4 : Jeu de Nim [exposé]
nb d'élèves : 6 & 5 (Mickaël CARBONNIER, Lucas DUFOUR, Joffrey KOZAK, Mélania RICARD, Adrien SANTAMARIA, Violaine SOLÉ & Anne CASSIER, Sylvain CASSIER, Elsa MANNUCCI, Madeleine MOSCATELLI, Sacha PIERRE)

Deux joueurs jouent alternativement avec un certain nombre d'allumettes disposées en plusieurs tas. À chaque coup, l'un des joueur choisit l'un des tas et lui enlève le nombre d'allumettes qu'il veut, au mois une, puis il passe la main à l'autre. Il peut prendre tout le tas, la seule obligation est de ne toucher qu'à un tas. Le jeu s'arrête quand il n'y a plus d'allumettes et le gagnant est celui qui prend la dernière allumette.

La règle est très simple mais ...

• Saurez vous trouver comment gagner à ce jeu chaque fois que c'est possible ?
  Tout dépend évidemment du nombre de tas et du nombre d'allumettes dans chaque tas au départ, disons de la position de départ. Certaines positions sont perdantes, c'est-à-dire que le joueur qui commence perdra nécessairement si son adversaire joue bien, et les autres sont gagnantes. En cours de jeu, vous allez gagner si vous arrivez à laisser une position perdante à votre adversaire.
• Donc, il faut savoir reconnaître les positions perdantes et les positions gagnantes.
• Commencez avec les positions les plus simples : à deux tas, puis à trois tas mais un petit nombre d'allumettes dans chaque tasŠ

Article publié : "Jeu de NIM", Comptes Rendus MATh.en.JEANS n°05-06.