Sujet 1 : Le téléportage [exposé : Les téléporteurs]
nb d'élèves : 2 & 2 (Juliette BAVARD, Martine LAPORTE & Arzu AILDIK, Frantz GODET)

La ville de Bormont s'est dotée de deux téléporteurs, qui permettent de relier directement deux points P et Q, originellement situés à une distance de 1 km. Tout se passe maintenant comme si ces deux points étaient à une distance nulle.

            On cherche à se rendre d'un point A à un point B par le trajet le plus court possible.

• Quel sera ce trajet, suivant la position de A et B ?
• Quel est l'ensemble des points auxquels on peut se rendre depuis un point O en marchant moins de n kilomètres ?
• Où faudrait-il placer les téléporteurs de façon optimale ? (en supposant que la ville est carrée, ronde, rectangulaire . . . )
• Et si on dispose de plusieurs téléporteurs ?

Sujet 2 : Le grillage [exposé]
nb d'élèves : 0 & 1 (Marc-Alexandre MAGNE)

On a un grillage à mailles carrées. Quelle chance a un caillou, qu'on lance au hasard, de passer à travers ?

• Si le caillou est sphérique ? (Evidemment, cela dépendra de la taille du caillou...)
• S'il est plus allongé ? (Une branche par exemple) ?
• (On peut simplifier le problème et le rendre plan).
• Et si les mailles ne sont pas carrées, mais triangulaires ?

Développement du sujet

Sujet 3 : Le musée [exposé]
nb d'élèves : 3 & 5 (Bastien FOURTILLAN, Gilles PERROT, Yan SARPOULET & Florence CHABROLLES, Juliette COURBIN, Alexia MERLIN, Gilles PHILIPPE, Camille VANCAUWENBERGHE)

Un gardien de musée ne peut surveiller que ce qu'il voit...

• Combien faut-il de gardiens au minimum pour surveiller une salle d'un musée, et où faut-il le(s) placer ? (on suppose que les gardiens ne bougent pas).
  • Si la salle est carrée ?
  • Si la salle est en "U" ?
• Et s'ils ont le droit de bouger, mais seulement le long d'un mur ? (on considère alors qu'ils peuvent surveiller tout ce qu'ils peuvent voir depuis un point quelconque du mur).
• Comment un architecte pourrait-il concevoir une salle de N murs qui demande très peu de gardes ?
• Ou au contraire beaucoup ?

Sujet 4 : La chèvre [exposé]
nb d'élèves : 4 & 3 (Benoît FAURIE, Quentin LAMBERT, Jean-Baptiste MAS, Aurélien THEILLAUD & Emilie CHAILLOU, Gaëtan ESCUDEY, Julia MONBOU)

Une chèvre broute toute l'herbe à laquelle elle peut accéder. On suppose qu'on peut limiter ses mouvements en l'attachant à une ou plusieurs clôtures (et la chèvre ne s'étrangle pas...)

• Quelle région va-t-elle brouter si on l'attache
  • juste à un point ?
  • Si le point d'attache de la corde peut parcourir un segment de droite ?
  • Un rectangle ?
  • Si on utilise deux cordes pour attacher la chèvre à deux points fixés ?
• Est-ce qu'on peut concevoir une (des) clôture(s) où l'attacher pour qu'elle broute :
  • un rectangle ?
  • Un triangle ?
  • Est-ce qu'on peut obtenir n'importe quelle figure polygonale, et si oui avec combien de cordes ?
• Est-ce qu'on peut caractériser les figures qu'on peut obtenir avec deux cordes ?