Un réseau triangulaire est constitué de triangles équilatéraux égaux posés côte-à-côte. Un assemblage de cases du réseau s'appelle un "poly-amant" (sur la figure on a représenté trois exemples) Le problème général. "Carreler" une forme, (la "paver" comme disent les mathématiciens), c'est la couvrir exactement,avec des carreaux (ou "pavés"), sans interstice ni chevauchement. Comme modèle de carreau , on choisit un polyamant particulier. Une forme quelconque étant donnée, peut-on la carreler avec ce modèle de carreau ?

• Possible ou impossible ? Comment décider ?
• Si c'est possible, comment ?
• Peut-on poser le premier carreau n'importe-où ?
• Si c'est impossible, comment en être sûr ?

Comme forme, on peut tester les polygones les plus simples (triangles, quadrilatères, pentagones, hexagones, etc.) aussi bien que les formes quelconques, en particuliers les formes avec "trous." (ou obstacles...)

Étudier les pavages, à quoi ça sert ?

Carreler une cuisine avec des carreaux identiques de forme donnée...:est un jeu qui intéresse les mathématicien(ne)s.

Les problèmes de "pavages" ( c'est ainsi que les mathématiciens appellent les carrelages ) relève de la Combinatoire. Ils apparaissent dans des contextes aussi variés que :

- la nature
(La forme et la structure des cristaux de roche s'explique par la disposition des molécules en réseaux)

- la logique et l'informatique théorique
(le problème du pavage s'avère indécidable par ordinateur)

- la recherche pétrolière
(comment limiter le nombre de forages nécessaires à l'exploitation d'un champ pétrolifère)

- la physique des matériaux
(état à basse température des matériaux ferromagnétiques ; quasi-cristaux),

- la communication
(fabrication de codes correcteurs d'erreurs)

Un modèle de carreau étant choisi, il s'agit de réaliser avec ce modèle des pavages incomplets, c'est à dire avec des trous.

Comme modèle, un groupe étudiera la voile , l'autre le sphinx

Pour des raisons à la fois artistiques et mathématiques, on souhaite que chaque trou soit un triangle unité (un amant) et que : 1) Les trous soient isolés 2) Les trous soient disposés le plus régulièrement possible (peu importe la disposition des autres carreaux). 3) Il y ait peu de trous : la proportion aire des trous/aire totale couvert doit être la plus petite possible. 4) Le carrelage réalisé puisse s'étendre à volonté pour pouvoir couvrir n'importe quelle surface, aussi grande soit-elle.

Voici un exemple avec des trapèzes : Il y a 1 triangle pour 5 trapèzes. L'aire occupée par les triangles est donc1/16ème de l'aire totale couverte.

Sujet n°2. Grossissement
2 groupes travailleront chacun un modèle de carreaux Groupe a : le "trapèze", Groupe b : le "sphinx"	Exemple. 4 triangles mis côte à cote forment sans difficulté un triangle 2 fois plus grand. Avec 9 triangles on peut former un triangle 3 fois plus grand. Sur le principe de cet exemple, il s'agit d'explorer quels polyamants peuvent se reproduire à plus grande échelle : en juxtaposant un certain nombre d'exemplaires du même modèle, on pave une surface de même forme que le modèle.

Sujet n°3. Une forme avec une autre
Recenser les polyamants constitués de 2, 3, 4, 5, 6, ... "amants". Choisir deux polyamants particulier A et B. Avec une forme de type A, peut-on carreler une forme de type B ?	Exemple. Cette figure montre que des trapèzes (forma "A") peuvent carreler un triangle équilatéral (forme "B") de coté 3.

[Note des éditeurs] :
Le thème des polyamants, avec des sujets différents est également l'objet d'un Club Math.enJEANS au même collège et d'un jumelage entre les collèges de Drancy (E. Vaillant) et Paris (Morvan)