Établissement	Lycée MAINE DE BIRAN 24108 - BERGERAC
Professeur	M. Carl LACAUD M. Hervé LUC
Chercheur	Mme Anne DE ROTON (Université de Bordeaux)
Sujets	Peut-on inscrire un carré sur une courbe convexe ? / Les suites de Syracuse / Nombres premiers*

Sujet n°1 : Peut-on inscrire un carré sur une courbe convexe ? [exposé]
Nb. d'élèves : 5 [Gilles BONNET, Thierry LAFFONT, Bruno PHILIPPE, Jérôme ROUGERON, Alexandre SAINT-GEORGES, (1éreS)].

On se donne une courbe fermé convexe.

• Est-il possible de construire un carré dont les sommets sont sur cette courbe ?

Note de la rédaction. On peut s'intéresser aussi au cas des courbes quelconques. Voici un exemple de problème. Le carré dans la petite larme (tiré de la question n°16 du 1/4 de finale individuel du 14ème Championnat International des Jeux Mathématiques, catégorie Collège 4e-3e, FFJM, 1999). La " petite larme " représentée ci-contre est formée de deux demi-cercles de diamètre 1 et d'un demi-cercle de diamètre 2. On place 4 points A, B, C, D sur le pourtour de cette petite larme de telle sorte que ABCD soit un carré. Estimez l'aire de ce carré.

Sujet n°2 : Les suites de Syracuse. [exposé]
Nb. d'élèves : 6 [Thomas COIFFARD (1ère S), Thomas CZECH (1ère S), Julien DEMAREST (1ère S), Jean-Paul LUC (2nde), Pierre-André MORTEMOUSQUE (2nde), Florent VIAT (2nde)]

On se donne un entier naturel non nul u₀  et on construit une suite de nombres en utilisant la relation de récurrence :

•    u_n+1 = u_n/2  si u_n est pair ;
•    u_n+1 = 3 u_n + 1  si u_n est impair.

Que peut-on dire de ces suites ?

Par exemple, si u₀  = 5 : u₁ = 16, u₂ = 8, u₃ = 4 ...
On remarque qu'à partir d'un certain rang, on obtient une suite périodique.

• Est-ce toujours le cas ?
• Est-ce toujours la même période ? ...
  

Note de la rédaction. Ce célèbre problème ouvert a été traité plusieurs fois à MATh.enJEANS (zn 1992-93, 1996-97,1999-2000 et en 2001-02 à Bordeaux). Deux articles sont parus dans les Actes MATh.en.JEANS :
le problème de Syracuse, Actes MATh.en.JEANS 1993, pp. 157-159 et
problème de Syracuse, Actes MATh.en.JEANS 1997, pp. 39-40.

Autres références :

Jean-Paul DELAHAYE, La conjecture de Syracuse, in Pour la Science n° 247, mai 1998. "Le plus simple des problèmes mathématiques non résolus illustre la démarche des chercheurs."
V. KLEE et S. WAGON, Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. [Ch. 19 : The 3x + 1 Problem], Math. Assoc. of America, Dolciani Math. Exposition, 11, 1993.
E. ROOSENDAAL, On the 3x + 1 Problem (1-1998) site personnel [état actuel du problème]

Sujet n°3 : Nombres premiers. [sujets abandonné]
Nb. d'élèves : 0.