Comptes Rendus MATh.en.JEANS 00-14 

Club MATh.en.JEANS du lycée d'altitude de Briançon (05) (Atelier Scientifique et Action "Passion Recherche"), année scolaire 1999-2000.
Enseignants : Hubert PROAL (Briançon)
Chercheur (correspondant) : Patric VEROVIC (Université de Haute Savoie, Chambéry)

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[Article vérifié et commenté : les passages entre crochets sont des éditeurs]
[ L'icone renvoie au Glossaire MATh.en.JEANS , à un document ]

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[Résumé (par les éditeurs).   En prenant comme "espace plan" un demi-plan bordé par une droite (H), comme "droites" les demi-cercles centrés sur (H) et comme "points" ceux du demi-plan, on obtient une géométrie qui vérifie les axiomes de la géométrie classique euclidienne sauf l'axiome des parallèles. Que deviennent les polygones ? La somme des angles n'est plus constante !]

Sujet initial La géométrie non euclidienne de Poincaré (sujet de H. Proal) : redéfinir, dans le demi-plan de Poincaré [note 1], les objets de la géométrie.
	Figure 1 : l'exposé au Palais de la découverte

La géométrie non euclidienne est totalement différente de la géométrie «classique». En effet elle ne s'étudie pas dans un plan complet mais seulement dans le demi-plan de Poincaré [note 1]. Dans celui-ci toutes les notions doivent être redéfinies.

On appelle "droite" toute demi-droite perpendiculaire au demi plan ou tout demi-cercle dont le centre est situé sur la limite du demi plan [note 2].
Diverses questions peuvent se poser alors:

Comment peut-on définir des droites parallèles ?

Dans le plan, une droite est parallèle à une autre lorsqu'elles ne se coupent jamais. La transitivité dit que quand on a deux droites parallèles, toute droite parallèle à l'une est parallèle à l'autre. Dans la géométrie non euclidienne, les droites parallèles ne se coupent toujours pas [par définition] mais la propriété de transitivité n'est pas vérifiable ici [voir la figure 2]. De plus à partir d'un point unique et d'une droite on peut construire une infinité de droites parallèles à la première et passant par le point. C'est le cinquième postulat permettant d'établir une géométrie comme euclidienne ou pas [note 3].

Figure 2 [Deux droites sécantes peuvent être toutes deux parallèles à une même droite]

Par deux points, peut-on faire passer une unique droite?

Pour construire cette droite il faut construire la médiatrice des 2 points dans le cas où ils pas disposés verticalement, elle coupe la frontière du demi-plan au niveau du centre du « demi-cercle »

Que deviennent les polygones?

Les triangles

Par définition, un triangle est formé par trois droites se coupant deux à deux. En géométrie non euclidienne, il existe deux types de triangles :
-Ceux formés par trois droites « demi-cercles » Figure 4	-Ceux formés par deux droites « demi-cercles » et une droite « normale » Figure 5

Tout le monde sait que la somme des angles dans un triangle [euclidien] équivaut à 180°. Mais ici ce n'est pas le cas puisque elle varie entre deux limites [note 4],
- de 0° : Figure 6	- à 180° : Figure 7

Les quadrilatères

Dans la lignée des triangles, ce sont 4 droites qui se coupent deux à deux [note 5].
Là aussi plusieurs exemples:	-Ceux formés par deux demi-droites et deux demi cercles [de même centre]. Figure 8
-Ceux formés avec une seule demi-droite : Figure 9	-Ceux formés par 4 « demi-cercles » : Figure 10
On peut là aussi se poser la question de la somme des angles. Eh bien elle varie d'un cas extrême de 0° à 360° [note 6]. ***

Note de l'enseignant

Le problème qui est apparu en fin d'année et qu'ils ne sont pas arrivés à résoudre est : Construire une droite qui passe par un point donné et qui est perpendiculaire à une droite donnée. Si vous avez une solution, écrivez nous.

Figure 11

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Notes des éditeurs

1 &emdash; En changeant le cinquième postulat d'Euclide (voir note 3), mais pas les autres, Lobachevsky a créé une nouvelle géométrie, non-euclidienne, appelée géométrie hyperbolique. Poincaré a imaginé un modèle de cette géométrie, c'est à dire une manière de représenter ses notions de base (encore appelés "points", "droites", "segments", "angles", "longueur", etc.) et de traduire ses propriétés (les nouveaux axiomes et leur conséquences) en se servant de figures de la géométrie euclidienne usuelle. C'est ce modèle, appelé demi-plan de Poincaré, qui est étudié ici : les "points" de la géométriie de Lobachevsky sont représentés par les points d'un demi-plan usuel (frontière comprise). D'autres modèles de la géométrie hyperbolique plane sont possibles. D'autres géométries non-euclidiennes et non hyperbolique sont également possibles.
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2 &emdash;Pour aider le lecteur, nous avons changé la typographie pour indiquer les objets géométriques de la géométrie hyperbolique : droite, triangle, quadrilatère, Š.Une typographie normale indique les objets du plan (géométrie euclidienne classique) : droite, triangle, quadrilatère, cercle, Š.
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3 &emdash; Euclide avait fondé l'étude de la géométrie par une liste d'axiomes ou postulats. Le cinquième de ces axiomes (le "postulat des parallèles") affirme : « Par un point pris hors d'une droite (D) donnée, il passe une droite parallèle à (D) et une seule». Dans la géométrie plane de Lobachevsky, ceci devient : « Par un point pris hors d'une droite (D) donnée, il passe une infinité de droites parallèles à (D) ».
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4 &emdash; L'angle de deux droites (d) et (d') doit être défini ; par exemple, si (d) et (d') sont des demi-cercles sécants en P, l'angle de (d) et (d') sera l'angle formé par les droites tangentes en P à ces demi-cercles. Ainsi, l'angle de deux droites sécantes distinctes peut être nul (!) et la valeur 0° pour la somme des angles d'un triangle peut être atteinte (figure 6). La valeur 180°, par contre, ne peut être qu'approchée (figure 7).
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5 &emdash; Pour une définition plus précise, il convient de choisir un ordre circulaire pour ces droites, et de supposer que deux droites consécutives dans cet ordre se coupent.
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6 &emdash; Comme dans le cas des triangles, seule la valeur 0 peut être réalisée exactement.
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GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE HYPERBOLIQUE PLAN DE POINCARÉ DROITE TRIANGLE ANGLE PERPENDICULAIRE

Comptes Rendus MATh.en.JEANS 00-14

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