Sujet 1 : Où est le centre de la France ?

La France, on l'aura compris, n'est qu'un exemple parmi d'autres. Comment peut-on, en général, déterminer le centre d'une forme plane (triangle, polygone, ...) ou d'un volume (tétraèdre, pyramide, ...). Trouver le centre d'un territoire dépend certainement de la forme de celui-ci, mais dépend avant tout de ce que l'on entend par "centre".

• S'agit-il d'un point le plus interne possible, le plus loin possible des influences extérieures ?
• S'agit-il d'un point le plus influent possible, qui permet de contôler facilement l'ensemble du territoire ?
• S'agit-il d'un point d'équilibre, du type centre de gravité ?

Certaines formes (planes) sont reproductibles : en collant plusieurs exemplaires (sans chevauchement), on obtient la même forme en plus grand.
Chercher des formes reproductibles (pavages autosimilaires).

Sujet 3 : Moins et plus

Partant d'un entier naturel, écrit en base 10 ou autre, on calcule la valeur absolue de sa différence avec le nombre ayant les mêmes chiffres ecrits en sens inverse, puis à ce nombre, on ajoute le nombre inversé, et ainsi de suite en alternant différence et somme.
par exemple 160 donne la suite :
160;    160 - 61 = 99;    99 + 99 = 198;    891 - 198 = 693;  1089;  8712;  6534;  10890;  1089; 10890;  etc ...
On remarque que l'on aboutit soit à 0, soit à un cycle d'ordre 2. Peut-on le démontrer ? Comment caractériser le nombres n'aboutissant pas à 0 ?