Collège Condorcet de Pontault-Combault (77)
Collège Anne Frank de Bussy Saint-Georges (77)
 
 

On dispose d'un papier quadrillé. On cherche à déterminer la surface d'un triangle, d'un quadrilatère ou d'une figure polygonale dont les sommets se trouvent sur des intersections du quadrillage. Même avec un triangle vous verrez que le calcul avec la formule habituelle n'est pas évident dès que les côtés sont obliques par rapport au quadrillage.

Peut-on trouver cette surface simplement en comptant les intersections du quadrillage à l'intérieur et sur le bord de la figure ?
 

Le culbutos habituel est un cube qu'on fait rouler sur un damier. Les faces du cubes sont coloriées ou numérotées, et une face recouvre exactement une case du damier. On se demande dans quelles orientations le cube, parti d'un coin du damier, pourra arriver à un autre coin. Vous trouverez ce problème dans les actes Math.en.Jeans On propose maintenant d'étudier les variantes triangulaires.

On construit un damier triangulaire à partir d'un triangle équilatéral : on place des points à distances égales sur chacun des côtés, le même nombre sur chaque côté, et de ces points on trace les parallèles aux autres côtés. Pour remplacer le cube, construisez un tétraèdre régulier, c'est-à-dire une pyramide à base triangulaire, dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux de même dimension que les cases du damier, et marquez les faces. Le tétraèdre roule en basculant sur le damier, d'une case à une

case voisine. À partir d'une position donnée, dans quelles positions le tétraèdre peut-il arriver sur une autre case ? dans quelles positions peut-il revenir à sa case de départ ? Est-ce que ça dépend de la taille du damier ?

Vous pourrez encore remplacer le tétraèdre par un octaèdre régulier : on l'obtient avec deux pyramides à base carrée dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux, que l'on colle par la base. Vous le construirez, comme le tétraèdre, en pliant et en recollant un patron fait de triangles équilatéraux.
 

L'année dernière, un groupe a construit des figures curieuses, appelées "roues", qui ne sont pas des cercles mais qui ont le même diamètre dans toutes les directions. Voici un autre problème, très différent, de roues pas rondes.

Un clown a un monocycle dont la roue n'est pas ronde ; par exemple elle est carrée, mais vous pourrez aussi essayer d'autres formes. Peut-on construire la piste de façon que l'axe de la roue (donc le clown) se déplace horizontalement ?

Et dans l'autre sens, si on a une piste qui monte et descend, peut-on construire une roue telle que le clown se déplace horizontalement ?

Pour l'étude mathématique, faites comme font les physiciens : supposez que la courbe de la piste, ou de la roue, est constituée de petits segments de droite et essayez d'obtenir un déplacement de l'axe aussi près que possible de l'horizontale.

Vous pourrez aussi essayer de construire un dispositif expérimental qui vous permettra de trouver des idées et de vérifier vos résultats.
 

Sujet 4 : Approcher 

Le nombre  est apparu il y a très longtemps par la géométrie : c'est le rapport de la longueur de la diagonale à celle du côté dans un carré ou, si on préfère, la longueur de la diagonale du carré de côté une unité. On se demande comment trouver la valeur de cette longueur aussi précisément qu'on

voudra. De nos jours, on imagine le plus souvent les nombres non entiers par leur écriture décimale, qui donne des valeurs approchées. On peut aussi penser à approcher un nombre par des fractions : par exemple, pour le nombre Pi, il est connu depuis longtemps que 22/7 est une bonne approximation,

meilleure que 3,14. Pour chercher les approximations de  par des fractions, on propose de partir de la méthode géométrique d'Euclide appelée anthyphérèse par laquelle, sans doute, les Grecs avaient déjà découvert que  est irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas égal à une fraction.

Eux considéraient un nombre comme une longueur, ou plutôt comme le rapport des longueurs de deux segments. Dire que ce rapport est une fraction, c'est dire que les longueurs sont toutes deux multiples d'une même unité plus petite.

Si on ne connaît pas cette unité, on peut la trouver comme suit :

on retranche le petit segment au grand. Le segment qui reste est encore un nombre entier de fois l'unité commune. On recommence avec ce reste et le petit segment, et on continue de même tant qu'on peut : le nombre total d'unités diminuant à chaque fois, on finit par avoir deux segments égaux et on a trouvé l'unité commune.

Essayez avec un rapport de 1,5 puis de 1,4. Une bonne façon de voir la méthode est de tracer un rectangle dont le rapport longueur/largeur est le nombre donné. En reportant la largeur sur la longueur, on divise le rectangle en un carré et un rectangle restant. Vous recommencez avec le rectangle restant. À la fin, il reste un carré et le côté de ce carré divise toutes les longueurs que vous avez construites, vous pouvez paver tous les rectangles avec le petit carré.

Maintenant essayez avec un rapport de . Vous pouvez partir d'une feuille de papier standard, format A4, et commencer la construction en pliant le petit côté de la feuille sur le grand. À quoi voyez-vous que le rapport hauteur/largeur est précisément  ?

À quoi voit-on que  est plus petit que 1,5 ? qu'il est plus grand que 1,4 ? Pouvez-vous montrer que le découpage ne s'arrêtera jamais ? Qu'est-ce que cela prouve ?

Pouvez-vous trouver des fractions approchant  mieux que 1,4 et 1,5 ? Encore mieux ?