Soit un rectangle latin de 5 rangées sur 21 colonnes c'est un « extrait » du groupe régulier d'ordre 21. Il comporte donc 21 éléments distincts : soit les lettres A à U.

Pour satisfaire à la définition de rectangle latin

• 1) chaque élément est présent une fois et une seule dans chaque rangée
• 2) chaque colonne ne comporte que des éléments distincts.

Il satisfait à une autre condition (condition n° 2) : l'ensemble des colonnes comportant le même élément doit contenir aussi une fois et une seule l'ensemble des autres éléments.

Par exemple si l'on réunit l'ensemble des colonnes contenant l'élément A chacun des éléments de B à U se trouve une fois et une seule dans l'ensemble des colonnes ci-contre.

Cet ensemble de colonnes est un carré de 5 X 5 = 25 cases qui comporte 25 &endash; 5 = 20 éléments autres que A et donc 20+1 = 21 éléments distincts.

Plus généralement pour satisfaire à la condition n°2 un rectangle latin de N rangées doit comporter N² - N + 1 éléments distincts et autant de colonnes.

J'ai réussi à construire les rectangles latins 2 X 3 ; 3 X 7 ; 4 X 13 ; 5 X 21 ; 6 X 31 ; 8 X 57 et satisfaisant à la condition n°2. Mais je n'ai pas réussi avec le rectangle latin de 7 rangées et 43 colonnes. Existe-t-il un théorème sur les rectangles latins ayant cette propriété ?

http://www.ulb.ac.be/soco/matsch/academique/siecle.htm

Le vingtième siècle en mathématiques : les grandes découvertes resteront ignorées du public scolaire.

J.-O. Moussafir

On écrivait sur des gaufrettes, avec une encre composée de suc encéphalique, les théorèmes et leurs démonstrations. Les étudiants devaient consommer ces gauffrettes à jeun et ne rien prendre ensuite pendant trois jours que du pain et de l'eau. La digestion faite, les sucs montaient au cerveau et y amenaient avec eux le théorème.

[ Les Voyages de Gulliver. Johnathan Swift. ]

Géométries finies

http://www.ceremade.dauphine.fr/~msfr/ens/geo.pdf