contradictioncontradiction
syn. absurdité.
énoncé mathématique à la fois vrai et
faux.
Une théorie mathématique n'est acceptable que si elle
est non contradictoire (on dit
aussi consistante), c'est
à dire si on n'y trouve aucune contradiction, aucun
énoncé qui y soit à la fois vrai et faux.
Raisonnement par contradiction.
Lorsque un raisonnement logique aboutit à une contradiction, on peut en conclure que l'une des hypothèses faites est fausse.
Dans la pratique, parmi les hypothèses faites, il y en a une (H) qui est douteuse, alors que toutes les autres hypothèses sont certainement vraies. On en conclut alors que H est fausse, c'est à dire que nonH est vrai.
Cette manière de procéder (et de prouver nonH) se nomme raisonnement par contradiction : nonH est vrai parce que H conduit à une contradiction.
Dans les mathématiques courantes, on confond raisonnement par contradiction et raisonnement par l'absurde.
Au sens strict, une contradiction est un énoncé de la forme "P et non P". Au sens plus large, on appelle contradiction ou énoncé contradictoire, c'est à dire un énoncé qui implique une contradiction.
Ainsi (A) 4 est le plus petit carré parfait. (B) 1<4. (C) 1 est un carré parfait.
sont des énoncé contradictoires
En effet B et C impliquent "il existe un carré parfait inférieur à 4"
A implique "il n'existe pas de carré parfait inférieur à 4"
4 a un carré parfait plus petit que lui".
(B) et (C) étant des propositions dont non sommes sûrs, c'est (A) qui est l'hypothèse fautive :
On conclut de ce raisonnement par contradiction que non(A) est vrai autrement dit que
Théorème: 4 n'est pas le plus petit carré parfait.
(Remarque : le plus petit carré parfait existe, c'est le nombre 0).
Les démonstrations mathématiques utilise couramment des raisonnements par contradiction, souvent même plusieurs fois.
La rédaction se présente souvent ainsi :
on a "non H", sinon H entraîne B ce qui est absurde (car on a supposé non B).
Exemple. Aux règles courantes (axiomes, théorèmes) qui régissent les nombres naturels, ajoutons l'hypothèse suivante :
(H) Il existe deux entiers non nuls p et q tels que p x p = 2 q x q
Des divisions successives par 2 divisant par 2 un nombre autant de fois que possible : on finit par aboutir à un nombre impair. Prenons un nombre entier quelconque n : s'il est pair, divisons le par 2. Si le résultat est pair, divisons ce résultat par 2.
Définition : Si deux entiers non nuls p et q vérifient l'égalité p x p = 2 q x q , on dit que p est formidable.
Axiome. Tout ensemble non vide d'entiers naturels a un plus petit élément.
Soit F le plus petit entier formidable. on a alors FxF= 2 GxG
FxF est pair donc F est pair et on peut écrire F=2F'
On a 2F'x2F' = 2 GxG donc (en divisant par 2 les deux membres)
GxG = 2F'xF'
GxG est donc pair donc G lui-même est pair. Posons G=2G'
On a alors
Théorème Si deux entiers non nuls p et q vérifient l'égalité p x p = 2 q x q , alors p> q.
Règle 1 (multiplication d'une inégalité
par un nombre positif ou nul) Si a
b et b<c
alors a<c.
En effet ac.
Faisons l'hypothèse a=c ; en remplaçant a par c
dans l'inégalité ab, on obtient cb :
Mais alors l'inégalité b<c est à la fois vraie et fausse.
L'hypothèse a=c est fausse. On a donc ac et ac, c'est
à dire a<c.
Règle 2 (multiplication d'une inégalité
par un nombre positif ou nul). Soient a,b,n trois entier naturels. Si
ab . alors
anbn. Plus
précisément, si a<b et si n est non nul, alors
an<bn.
Supposons pq
alors p<2p (Règle 2) et 2p2q
(Règle 2). Donc (règle 1)F est plus grand que G sinon
FG entraine
FFGG <2GG
Contradiction avec l'égalité FxF= 2 GxG
Propriété 1 le carré d'un nombre impair est impair
Propriété 2 Si le carré d'un nombre n est pair, ce nombre est pair.
Si n est pair, il s'écrit 2xm+1.
Si ab est pair, alors a ou b est pair.
Supposons a et b impairs : ab=4a'b'+2a'+2b'+1
Le successeur d'un nombre pair est impair. si a est divisible par 2 et a+1 aussi on a
a+1=2m+1
Le reste de la division d'un nombre par 2 est 0 ou 1.
Théorème. Les nombres impairs sont précisément les nombres de la forme 2k+1.
Proposition 1. La somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est impaire.
Théorème : Le double d'un nombre non nul est supérieur à ce nombre.
Propriété 1. F est pair.
Propriété 2. F/2 est formidable.
De () on déduit F/2 < F
De () on déduit F F/2
La proposition F/2 < F est ainsi à la fois vraie et fausse.
L'une de nos hypothèses est dons fausse. Or (H) est la seule hypothèse utilisée dont nous ne sommes pas certains.
La conclusion générale est donc que (H) est fausse. Nous pouvons donc énoncé le théorème :
Il n'existe aucun enteir formidable
Autrement dit il n'existe aucun carré parfait qui soit le double d'un autre carré parfait.
Autrement dit il n'existe aucune fraction dont le carré soit 2.
Autrement dit le nombre 
n'est pas rationnel.