MATHÉMATIQUES
L'une des structures mathématiques les plus complexes enfin décrite
NOUVELOBS.COM | 19.03.2007 | 12:22
Une équipe internationale de chercheurs présente officiellement aujourd'hui les résultats d'un très volumineux calcul, fruit de plusieurs années de travail, qui leur a permis de décrire la structure E8, un défi jamais relevé depuis 120 ans.
Après quatre ans de travail, une équipe de 18 mathématiciens et spécialistes de la programmation informatique a réussi à ''cartographier'' l'une des structures mathématiques les plus complexes, connue sous le nom de E8. Ces chercheurs, américains, canadiens et français, ont d'abord consacré deux années à débrouiller la théorie avant de mettre au point les outils innovants leur permettant de faire travailler les supercalculateurs. Le résultat est une avancée non seulement pour la connaissance théorique mais aussi pour les méthodes de calculs de problèmes mathématiques complexes, expliquent les chercheurs.
E8 est un groupe de Lie, du nom du mathématicien norvégien Sophus Lie qui inventa ces groupes au 19ème siècle pour caractériser un objet en étudiant l'ensemble de ses symétries. En trois dimensions, des sphères, des cylindres ou des cônes sont des exemples de groupes de Lie. E8 est un groupe de symétries beaucoup plus difficile à appréhender : il s'agit des symétries d'un objet de 57 dimensions décrites dans un groupe qui en a 248Š Découvert en 1887, le groupe E8 a une structure tellement complexe que personne n'avait encore réussi à la décrire.
C'est à cette tâche que s'est attelée l'équipe de l'Atlas des groupes de Lie (Atlas of Lie Groups and Representations), autour d'un noyau dur de six chercheurs dont faisaient partie Marc van Leeuwen (Université de Poitiers) et Fokko du Cloux (Université de Lyon), décédé en 2006. Objectif: décrire toutes les représentations possibles de E8. Le résultat est donc une liste complète de ces représentations, liste présentée sous forme d'une matrice &endash;ou tableau- comptant plus de 200 milliards d'entrées. Pour les mathématiciens, cette matrice est comme une ''carte'' leur permettant de se promener dans la structure E8.
La contribution de Fokko du Cloux a été essentielle, explique l'un des piliers du projet, l'américain David Vogan (MIT), car il a mis au point l'algorithme puis le logiciel permettant de faire réaliser les calculs par des ordinateurs. Trouver des machines suffisamment puissantes a été une autre difficulté. La matrice décrivant E8 correspond à un volume de 60 Gigaoctets d'information. Par comparaison, le génome humain tient en moins d'un Gigaoctet.
L'Atlas est financé par l'American Institute of Mathematics (AIM). David Vogan présente ces travaux aujourd'hui aux Etats-Unis, lors d'une séance publique au MIT.
Cécile Dumas
Sciences et Avenir.com
(19/03/07)
NOTES pour en savoir plus (niveau universitaire) :
Le Furet : (modérateur d'un forum de mathématiciens, Université de Strasbourg)
De manière résumée : on ne sait pas classifier tous les groupes ou toutes les algèbres de Lie. Alors les mathématiciens se sont attaqués à la classification des groupes (ou algèbres) de Lie dites semi-simples, qui ont des propriétés supplémentaires. Cette classification a été achevée au XXème siècle et montre qu'il y a plusieurs familles de groupes de Lie semi-simples : les qui correspondent aux groupes spéciaux unitaires, les qui sont les groupes orthogonaux en dimension impaire, les qui sont les groupes symplectiques, les qui sont les groupes orthogonaux en dimension paire, et 5 groupes exceptionnels qui n'entrent dans aucune catégorie, appelés respectivement , , , et . Le groupe est le plus gros de ces groupes exceptionnels.
Selon Vincent Guenez (Institut de Mathématiques, Université de Strasbourg) :
Un groupe de Lie est un objet qui possède à la fois une structure géométrique (structure de variété) et une structure algébrique (structure de groupe), tel que ces deux structures soient compatibles, c'est-à-dire que les opérations de groupe (multiplication, passage à l'inverse) soient sur la variété.
Exemple simple : le groupes des nombres complexes de module 1 : on peut le voir à la fois comme un cercle et comme un groupe. Un autre exemple est , qui est à la fois une hypersurface de (exercice) et un groupe pour la multiplication des matrices.
L'intérêt de ces deux structures, c'est que chacune influence l'autre, en un sens : la géométrie de la variété permet d'obtenir des renseignements sur la structure de groupe, et vice-versa. C'est donc un sujet d'étude assez riche.
Si on prend maintenant l'espace tangent à l'élément neutre d'un groupe de Lie, on obtient un espace vectoriel, mais sur lequel on a une structure supplémentaire (due à la structure de groupe du groupe de Lie) : celle d'algèbre de Lie. Et là encore, les propriétés du groupe de Lie donnent des résultats sur la structure de l'algèbre de Lie, et vice-versa.
Les groupes et algèbres de Lie sont assez riches mathématiquement, ce qui explique qu'on les étudie. De plus, ils interviennent pas mal en physique théorique (notamment physique des particules, ou théorie des cordes) où les groupes de symétrie sont très souvent des groupes de Lie.