Aire

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La fiche surface est également à construire. (voisinage d'un point ? )

L'aire d'une surface S est un nombre a(S) qui mesure l'étendue de cette surface par rapport à celle d'une surface donnée, prise comme surface-unité. Intuitivement, l' aire de S est le nombre a(S) qui exprime le nombre de surfaces-unités nécessaires pour former S.

Les surfaces sont vues en mathématiques comme des ensembles de points. En particulier, les surfaces planes sont des parties du plan.

La définition rigoureuse des aires devra satisfaire les propriétés suivantes :

• (1) croissance et positivité . Plus une surface est étendue plus son aire est grande. Autrement dit si une surface S est contenue dans une autre, S', on a a(S)a(S').
  On convient que l'aire d'une surface vide est nulle. L'aire d'une surface quelconque est donc un nombre positif ou nul : a(S)0. Si U désigne la surface unité, on a a(U) = 1.
• (2) additivité. Si une surface S est formée de plusieurs morceaux qui ne se chevauchent pas, l'aire de S est la somme des aires de ces morceaux.
• (3) invariance. Si une transformation géométrique t conserve les longueurs, alors elle conserve les aires. Autrement dit si T est une isométrie, on a a(t(S))=a(S).

Aire des surfaces planes.

Il est facile de mesurer l'aire des surfaces "en escalier", c'est à dire des surfaces qui sont limités par un polygone dont les angles sont droits : une telle surface S peut être découpée en rectangles R1,..., et son aire est la somme des aires des rectangles.

Une surface plane S est bornée si elle est contenu dans un rectangle T. On peut approcher une telle surface par des surfaces en escalier de deux manières :

"par l'extérieur" : on couvre S par des surfaces en escalier. Les aires de toutes les surfaces couvrantes possibles forment un ensemble de nombres réels E(S) . Comme E (S) est minoré (par 0), il admet une borne inférieure que l'on appelle aire extérieure de S et que l'on peut noter a⁺(S) .

"par l'intérieur" : on considére les surfaces en escaliers couvertes par S. Les aires de ces surfaces couvertes forment un ensemble de nombre réels I(S). Cet ensemble étant majoré (par n'importe l'aire de n'importe quelle surface couvrante), il admet une borne supérieure que l'on appelle aire intérieure de S et que l'on peut noter a^-(S).

Les surfaces planes S dont les aires inférieure et supérieure coïncident, sont dites quarrables : leur aire, par définition, est le nombre a(S)=a⁺(S)=a^-(S).

Les formes géométriques usuelles (vues comme des ensembles de points) sont quarrables par cette méthode, tant qu'elles restent bornées.

Pour des surfaces non bornées, qui s'étendent à l'infini, on peut généraliser les idées précédentes en considérant les surfaces obtenues par réunion d'un suite infinie de rectangles, de la forme S = R₁R₂R₃... .

qui -rectangles ensembles de points sont, c'est à dire sont "simplement" quarrables.

On peut généraliser la notion de surface en escalier en considérant des réunions d'un nombre infini de rectangles qui se ne recouvrent pas. L'aire d'une telle surface en escalier généralisée de la forme S = R₁R₂R₃... sera la somme a(R₁)+a(R₂)+a(R₃)+... ou -rectangles). Cela permet de généraliser les définitions précédentes aux surfaces non bornées.
On démontre que l'aire d'une surface

On peut démontrer que les surfaces simplement quarrables sont des -rectangles.

Si l'on ajoute +à l'ensemble des nombres réels, on peut étendre ces définitions à toutes les surfaces planes. Une

Aire des surfaces planes. Ensembles quarrables [géométrie euclidienne]

Compte-tenu des conventions de la théorie des ensembles usuelle (ZFC), il n'est pas possible de définir une aire qui satisfasse aux trois conditions ci-dessus (1)(2) et (3) pour toutes les surfaces planes, même si l'on ajoute +à l'ensemble des nombres réels. Les parties du plan pour lesquelles cela peut être fait sont appellées les parties quarrables ou mesurables (ou Lebesgue-mesurables). Les mots aire, mesure, quarrable, mesurable sont introduits en même temps par une branche des mathématiques appelée "Théorie de la mesure". L'idée générale de cette théorie consiste à définir d'abord une mesure pour des surfaces élémentaires, les rectangles, puis à généraliser pour des surfaces quelconques par approximation : on imite la surface que l'on veut mesurer par une surface beaucoup plus simple, composée uniquement de rectangles.

Voici un itinéraire possible pour définir l'aire de surfaces planes (en géométrie euclidienne)

Étape 1 : On choisi une unité d'aire, c'est à dire une unité de mesure pour les surfaces. Par convention, si l'unité de longueur est u, l'unité d'aire sera le carré u² de coté 1 (avec l'unité de longueur u) : u² a pour aire 1 (avec l'unité d'aire u² )

Etape 2 : L'aire d'un rectangle (fermé, c'est à dire bord compris, ou ouvert, c'est à dire bord exclus) dont les cotés ont pour mesures a et b (relativement à l'unité de longueur u) est définie par le nombre  ax b (relativement à l'unité d'aire u²).

Etape 3 : On généralise cette notion d'aire aux surfaces qui sont la réunion d'une suite de rectangles disjoints (ouverts ou fermés) S = R₁R₂R₃... Nous appelerons ces surfaces les surfaces -rectangulaires.
Par définition, l'aire d'une surface-rectangulaire S est la somme des aires des rectangles qui la composent :

a(S) = a(S₁)+a(S₂)+a(S₃)+....

Ainsi, l'aire de S est soit + , soit un nombre réel positif ou nul.

Etape 4 : A toute partie S du plan, on peut associer deux nombres dans ₊ {+}: l'aire intérieure de S et l'aire extérieure de S.

L'aire intérieure de S, notée a_-(S) est la borne supérieure des aires des surfaces -rectangulaires contenues dans S.
L'aire extérieure de S, notée a₊(S) est la borne inférieure des aires des surfaces -rectangulaires qui contiennent S.

Lorsque ces deux nombres coïncident, on dit que S est quarrable (ou Lebesgue-mesurable ou mesurable). La valeur commune des aires intérieure et extérieure est appelée l'aire (ou la mesure) de S.

Il faut évidemment vérifier que tout ceci marche ... On établit pour cela les deux théorèmes suivants

Théorème 1 (ensembles boréliens, existence de la fonction "aire" )

Un carré unité U= u² étant donné, tout ensemble borélien du plan est quarrable.

Les ensembles boréliens (en abrégé "les boréliens") du plan ² sont définis par les axiomes suivants :

- Les rectangles (ouverts ou fermés) sont des boréliens
- Le complémentaire dans ² d'un borélien est un borélien.
- La réunion d'une suite de boréliens est un borélien.

Théorème 2 (unicité de la fonction "aire") :

Un carré unité U= u² étant donné comme unité d'aire, l'aire est la seule application a de B, ensemble des boréliens du plan, dans ₊ {+} qui satisfasse aux trois conditions (1)(2) et (3).

Les formes géométriques usuelles, vues comme ensemble de points sont des boréliens, et donc sont quarrables.

Aire des surfaces courbes*

[* Comme pour la longueur des lignes courbes, l'aire des surfaces courbes peut se définir par comparaison avec celle des surfaces planes, l'idée générale étant de découper la surface en petits éléments de surfaces qui sont "à peu près" plans. La mise en place de la notion d'aire par ce procédé est assez longue : c'est l'objet de la géométrie différentielle *].

Un moyen plus simple de définir l'aire d'une surface courbe consiste à passer par les volumes. Soit S une surface plongée dans l'espace ³. Pour tout nombre réel positif d, appelons S_d l'ensemble des points de l'espace dont la distance à S est inférieure ou égale à d/2. Intuitivement, S_d représente une couche de peinture formée de deux pellicules d'épaisseur d/2 déposées de par et d'autre de la surface. Cette couche, d'épaisseur d, a un volume V_d . L'aire a(S) de S peut alors être définie comme la limite, lorsque d tend vers 0, du rapport V_d/d.

longueur

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