Établissement

Collège Georges Brassens
15201 YDES

Professeurs

GOURDEAU Eric LAGOUEYTE Pierrette LAPEYRE Christelle PARTAUD Patrick

Chercheur

DUCHET Pierre
Labo combinatoire Paris 6

Élèves

Benali Link Remires jordan
Valade Lucas Duperche Alexandre Simon Nathalie Tinet Marine Bertrand Florine Charlon Ophelie Rambert Laetitia Deflisque Alexis Boyer Adrien Besson Lucille Miermon Cloe Bounhoure Julie Kaya Kevin Van Dijk Stephane Galvaing Nicolas Boulet Adrien Monteil Frank Monteil Quentin

Sujets

Retournement de crêpes   Le nombre de Kolakoski   Balles de tennis sur une raquette ? Les découpages de Bolyaï

projet coordonné avec Drancy (St Germain)


sujet nº 1 : Retournement de crêpes  [animation]
Nombre d'élèves : 14 
Élèves : Benali Link Remires jordan Valade Lucas Duperche Alexandre Simon Nathalie Tinet Marine Bertrand Florine Charlon Ophelie Rambert Laetitia Deflisque Alexis Boyer Adrien Besson Lucille Miermon Cloe Bounhoure Julie.
 
Comment, avec une simple palette, remettre les crêpes dans l'ordre ?
Au départ, des crêpes, de tailles toutes différentes, sont empilées n'importe comment. On veut les présenter plus joliment, en les rangeant par ordre décroissant (la plus grande en bas, la plus petite en haut)
La seule opération permise est d'insérer une palette entre deux crêpes et de retourner en bloc la partie haute de la pile.
On veut effectuer le moins de manipulations possibles.

exemple : trier cette pile désordonnée.
Quelques pistes :

  • Peut-on réussir l'exemple donné ?
  • Essayer d'autres dispositions de crêpes. Essayer avec moins de crêpes.
  • Peut-on toujours réussir, quelque soit l'ordre des crêpes ? Quelque soit le nombre de crêpes ? Si oui comment, sinon quelles dispositions conviennent ?
  • Pour un nombre n de crêpes donné, combien faut-il de retournement dans le pire des cas ?
  • Quels sont les ordres de crêpes qui demandent 1 seul retournement, 2 retournements, 3 retournements, ... ? Comment les reconnaître ?

La présentation du sujet aux élèves : version html ou version pdf [88 Ko]


sujet nº 2 : Le nombre de Kolakoski  [animation]
Nombre d'élèves : 3 &  -
Élèves : Kaya Kevin Van Dijk Stephane Galvaing Nicolas
 
Y a-t-il autant de 1 que de 2 dans le mot de Kolakoski ?
Une suite de chiffres s'appellera un mot.
3 3 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 est donc un mot
Si la suite se poursuit indéfiniment (grâce à  une certaine rêgle), on parle de mot infini
1 2 1 2 1 2 1 2 ... (il est facile de continuer) est un mot infini.
Un mot, fini ou infini, se découpe aisément en blocs de chiffres identiques :
Notre premier mot s'écrit : 33 22 1 2222 1 22 1 3 2
et le second : 1 2 1 2 1 2 1 2 ...

En comptant les longueurs des blocs (la longueur est le nombre de chiffres répétés) :
mot nº1 : 33 22 1 2222 1 22 1 3 2   mot nº 2 : 1 2 1 2 1 2 1 2 ...
longueurs: 2 2 1 4 1 2 1 1 1   longueur:s 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

On forme un nouveau mot, appelé lecture du mot de départ.
La lecture de 3 3 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 est donc 2 2 1 4 1 2 1 1 1
Et celle de 1 2 1 2 1 2 1 2 ... est 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

Kolakoski a trouvé un mot infini extraordinaire : il est identique à  sa lecture !

Il commence par 2 2 1 1 2 1 2
sa lecture commence donc par 2 2 1 1
On a bien le même début que le mot de départ.
Comment prolonger ? En appliquant simplement l'hypothèse «le mot est égal à  sa lecture»
Puisque dans le mot de départ c'est 2 qui vient après le début 2 2 1 1 , c'est 2 qui doit prolonger le début 2 2 1 1 de la lecture :
on a 2 2 1 1 2 en lecture.
Dans le mot de départ, c'est donc un bloc de 2 chiffres qui été lu : on a donc 22 11 2 1 22 1...
Nous avons prolongé. Et nous pouvons continuer ... Après trois étapes de plus, on obtient :
2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2... avec comme lecture 2 2 1 1 2 1 2 2 ...
et ainsi de suite : la formation du mot obéit à  une règle qui permet de le prolonger à  l'infini, et celà  même prouve son existence !
Le mot de Kolakoski reste tout de même bien mystérieux : dans quelles proportions les chiffres 1 et 2 apparaissent ?
Kolakoski pense qu'à  la longue les "1" et les "2" s'équilibrent.
Mais est ce bien vrai ? Personne ne le sait encore ! ... Qu'en pensez-vous ?

Quelques pistes ( voir aussi http://www.mathenjeans.free.fr/labo/sujlab02/motsk02l/mots.html )

  • Chercher d'autres mots de kolakoski, égaux à  leur lecture : commencant par 1 ? avec d'autres chiffres ?
  • Clairement 1 et 2 apparaîssent une infinité de fois dans le mot de Kolakovski. Que peut-on dire des motifs de plusieurs chiifres comme 11, 12, 21, 22, 111, 112, 121, ... ?
  • Voici un moyen simple de former un mot infini composé de 1 et de 2 : on trace une demi droite issu de l'origine dans le plan quadrillé et de voir comment elle coupe les lignes du quadrilage : on met 1 chaque fois que l'on coupe une horizontale et 2 chaque fois que l'on coupe une verticale ? Peut-on reconnaître les mots obtenus par cette méthode ? Le mot de Kolakowski est-il de ceux-là  ?
  • Le nombre 0, (avec pour décimales les chiffres du mot de Kolakovski) a-t-il des propriétés remarquables ?

La présentation du sujet aux élèves : version pdf 148 Ko

sujet nº 3 : Balles de tennis sur une raquette  [animation]
Nombre d'élèves :  3 &  -
Élèves : Boulet Adrien Monteil Frank Monteil Quentin
 
Comment bien entasser ?
On veut mettre le plus possible d'objets identiques dans un espace donné.
Un exemple : combien de balles arriverez-vous à  faire tenir sur une raquette de tennis ? (on veut un empilement qui tienne suffisamment pour être transportable)
Quelques pistes

  • Essayez et recommencez. Y a-t-il de meilleure manières que d'autres, pourquoi sontelles meilleures ?
  • Essayer d'autres formes de tamis.
  • Comment dans un triangle, dans un carré, dans un rectangle, dans un cercle donné, dans une bande de papier, etc., faire tenir le plus possible de pièces de 5 centimes ?
  • Comment placer un nombre donné de pièces de 5 centilmes dans le plus petit carré (ou rectangle, triangle ...) possible ?
  • Comment rempir le mieux possible une boite avec des balles ? (essayez avec des balles de ping-pong des boites à  chaussures, des cubes ...)
  • Avec des balles cubiques ou des pièces carrées cela serait-il plus simple ?



sujet nº 4 : Les découpages de Bolyaï  [non traité]
 

Ce sujet est présenté par Drancy (St Germain)






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