Y
a-t-il autant de 1 que de 2 dans le mot de Kolakoski ?
Une suite de chiffres s'appellera un mot.
3 3 2 2 1
2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 est donc un mot
Si la suite se poursuit
indéfiniment (grâce à une certaine
rêgle), on parle de mot infini
1 2 1 2 1 2 1 2
... (il est facile de continuer) est un mot infini.
Un mot,
fini ou infini, se découpe aisément en blocs de
chiffres identiques :
Notre premier mot s'écrit : 33 22 1 2222 1 22 1 3 2
et le second : 1 2 1 2 1 2 1 2 ...
En comptant les longueurs des blocs (la longueur est le nombre de
chiffres répétés) :
mot nº1 : 33 22 1 2222 1 22 1 3 2 mot nº 2 : 1
2 1 2 1 2 1 2 ...
longueurs: 2 2 1 4 1 2 1 1 1 longueur:s 1 1 1 1 1 1 1 1
...
On forme un nouveau mot, appelé lecture du mot de
départ.
La lecture de 3 3 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 est donc 2 2 1 4 1 2 1 1
1
Et celle de 1 2 1 2 1 2 1 2 ... est 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
Kolakoski a trouvé un mot infini extraordinaire : il est
identique à sa lecture !
Il commence par
2 2 1 1 2 1 2
sa lecture commence donc par
2 2 1 1
On a bien le même début que le mot de départ.
Comment prolonger ? En appliquant simplement l'hypothèse
«le mot est égal à sa lecture»
Puisque dans le mot de départ c'est 2 qui vient après
le début 2 2 1 1 , c'est 2 qui doit prolonger le début
2 2 1 1 de la lecture :
on a 2 2 1 1 2 en lecture.
Dans le mot de départ, c'est donc un bloc de 2 chiffres qui
été lu : on a donc 22 11 2 1 22 1...
Nous avons prolongé. Et nous pouvons continuer ...
Après trois étapes de plus, on obtient :
2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2... avec comme lecture 2
2 1 1 2 1 2 2 ...
et ainsi de suite : la formation du mot
obéit à une règle qui permet de le
prolonger à l'infini, et celà même
prouve son existence !
Le mot de Kolakoski reste tout de même bien mystérieux :
dans quelles proportions les chiffres 1 et 2 apparaissent ?
Kolakoski pense qu'à la longue les "1" et les "2"
s'équilibrent.
Mais est ce bien vrai ? Personne ne le sait encore ! ... Qu'en
pensez-vous ?
Quelques pistes ( voir aussi
http://www.mathenjeans.free.fr/labo/sujlab02/motsk02l/mots.html )
- Chercher d'autres mots de kolakoski, égaux
à leur lecture : commencant par 1 ? avec d'autres
chiffres ?
- Clairement 1 et 2 apparaîssent une infinité de
fois dans le mot de Kolakovski. Que peut-on dire des motifs de
plusieurs chiifres comme 11, 12, 21, 22, 111, 112, 121, ... ?
- Voici un moyen simple de former un mot infini composé
de 1 et de 2 : on trace une demi droite issu de l'origine dans le
plan quadrillé et de voir comment elle coupe les lignes du
quadrilage : on met 1 chaque fois que l'on coupe une horizontale
et 2 chaque fois que l'on coupe une verticale ? Peut-on
reconnaître les mots obtenus par cette méthode ? Le
mot de Kolakowski est-il de ceux-là ?
- Le nombre 0, (avec pour décimales les chiffres du mot
de Kolakovski) a-t-il des propriétés remarquables ?
La présentation du
sujet aux élèves :
version pdf 148 Ko
sujet nº 3
: Balles de tennis sur une raquette
[animation] Nombre
d'élèves : 3 & -
Élèves : Boulet Adrien
Monteil Frank Monteil Quentin
Comment bien entasser ?
On veut mettre le plus possible d'objets identiques dans un espace
donné.
Un exemple : combien de balles arriverez-vous à faire
tenir sur une raquette de tennis ? (on veut un empilement qui tienne
suffisamment pour être transportable)
Quelques pistes
- Essayez et recommencez. Y a-t-il de meilleure manières
que d'autres, pourquoi sontelles meilleures ?
- Essayer d'autres formes de tamis.
- Comment dans un triangle, dans un carré, dans un
rectangle, dans un cercle donné, dans une bande de papier,
etc., faire tenir le plus possible de pièces de 5 centimes
?
- Comment placer un nombre donné de pièces de 5
centilmes dans le plus petit carré (ou rectangle, triangle
...) possible ?
- Comment rempir le mieux possible une boite avec des balles ?
(essayez avec des balles de ping-pong des boites à
chaussures, des cubes ...)
- Avec des balles cubiques ou des pièces carrées
cela serait-il plus simple ?
sujet nº 4
: Les découpages de Bolyaï
[non traité]
retour à la liste des ateliers 2006