Comment amener l'eau de plusieurs sources à plusieurs fontaines en croisant le moins possible les tuyaux.

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Existe-t-il des nombres qui sont à la fois carrés et triangulaires, c'est à dire pouvant prendre aussi bien la forme carré que la forme triangle (équilatéral) ? Plus généralement, étant donné un nombre N, quelles formes peut-on dessiner en disposant N pions de manière régulière ?

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Des pions sont éparpillés sur le plan.

On peut les faire sauter de la manière suivante: deux pions quelconques, placés aux extrémités d'un segment, peuvent être superposés au milieu de ce segment. La transformation inverse est également autorisée.

• En combinant ces transformations, comment peut-on redisposer les pions ?
• Peut-on les aligner ? Les empiler ?

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• Faire faire demi-tour à une voiture dans le moins d'espace possible.

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"Carreler" une surface (ou, comme disent les mathématiciens, "paver" cette surface), c'est la couvrir exactement,avec des "carreaux" (les "pavés"), sans chevauchement, ni interstice.

(Un trapèze-triamant est l'assemblage de 3 triangles équilatéraux : )

• Possible ou impossible ? Comment décider ?
• Si c'est possible, comment ?
• Peut-on poser le premier carreau n'importe-où ?
• Si c'est impossible, comment en être sûr ?

On peut tester les polygones les plus simples (triangles, quadrilatères, pentagones, hexagones, etc.) aussi bien que les formes quelconques, en particuliers les surfaces parsemés d'obstacles ("trous").

Exemple : il est impossible de paver l'hexagone de la figure 2 sans laisser une case vide. Où peut être ce trou ?

Étudier les pavages, à quoi ça sert ?

Carreler une cuisine avec des carreaux identiques de forme donnée ..., est un jeu qui intéresse les mathématicien(ne)s.
Les problèmes de "pavages" ( c'est ainsi que les mathématiciens appellent les carrelages ) relève de la Combinatoire. Ils apparaissent dans des contextes aussi variés que :

- la nature
(La forme et la structure des cristaux de roche s'explique par la disposition des molécules en réseaux)

- la logique et l'informatique théorique
(le problème du pavage s'avère indécidable par ordinateur)

- la recherche pétrolière
(comment limiter le nombre de forages nécessaires à l'exploitation d'un champ pétrolifère)

- la physique des matériaux
(état à basse température des matériaux ferromagnétiques ; quasi-cristaux),

- la communication
(fabrication de codes correcteurs d'erreurs)

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[Note des éditeurs] : Un sujet voisin fut traité à Corbeil-Essonnes, Drancy et Paris en 2003-2004 .