Sujet 1. Le chameau. [exposé]
nbd'élèves:6?

Un cirque arrive dans une ville. Pour parquer son chameau dans le grand pré mis à disposition,il dispose de trois piquets et d'une corde de longueur donnée.

• Commentdoit-il disposer les piquets pour que le chameau ait une surface maximale à brouter ?

Compte-Rendu d'étape (par le chercheur)

Afin de régaler le chameau, les élèves ont énoncé le résultat suivant: parmi tous les triangles de périm`etre donné, c est le triangle équilatéral qui a l aire maximale. Ils en ont proposé plusieurs démonstrations. Il s'agit de l'inégalité isopérimétrique pour les triangles dans le plan.

Prolongements possibles:
1. Y a-t-il un résultat analogue à celui évoqué ci-dessus si on consid`ere les triangles d aire fixée? Trouver une situation qui conduit à considérer des triangles d'aire fixée.
2. Que se passe-t-il si le cirque dispose non pas de trois mais de quatre, cinq, ... piquets de clôture?
3. Que se passe-t-il si au lieu de piquets et fil de clôture, le cirque dispose d'un rouleau de grillage souple pour enclore le chameau?
4. Le résultat des élèves suppose que le pré est plat. Et si le pré n'est pas plat?

Sujet2. Le tétraèdre.[atelier]
nb d'élèves:6 ?

Le carré de l'aire d'un triangle peut s'exprimer en fonction du carré des longueurs des côtés.

• Qu'en est-il pour le tétraèdre ?

Documentation sur ce sujet (texte du chercheur)

La formule de Héron (Alexandrie, 1er siècle) exprime le carré de l'aire d'un triangle en fonction du carré des longueurs de ses côtés. Cest une généralisation de cette formule que les élèves ont énoncée et démontrée: le carré du volume du tétraèdre sexprime en fonction des carrés des longueurs de ses arêtes. Ce résultat est attribué à Piero della Francesca, peintre italien de la renaissance.

Ce résultat est le point de départ de la preuve du théorème du soufflet donnée par I. Sabitov en 1998 [Sa] . Le théorème dit du soufflet énonce une propriété des polyèdres de lespace triangulés, i.e. des solides dont le bord est une surface constituée de faces planes qui sont toutes des triangles. Le théorème du soufflet stipule qu'un tel polyèdre, s'il peut se déformer sans quaucune de ses arêtes ne se déforme, garde un volume constant. Une conséquence est qu'il n'est pas possible de construire un soufflet dont toutes les faces seraient rigides: en effet, un tel objet ne peut expulser de l'air puisque ses faces peuvent être triangulées et donc son volume ne varie pas lors d'une déformation. Une présentation accessible à tous des idées et des circonstances qui ont conduit au théorème du soufflet est faite par E. Ghys dans "L'explosion des mathématiques" ([Gh]).

Prolongements possibles:
1. Un tétraèdre est un solide de l'espace constitué de faces planes triangulaires et de quatre sommets. On considère maintenant un solide de l'espace constitué de faces planes triangulaires et de cinq sommets. Existe-t-il une formule analogue à celle obtenue pour le tétraèdre pour un tel solide?
2. Existe-t-il un analogue de la formule de Héron pour les quadrilatères? Bibliographie.
[Be] M. Berger, Géométrie tome 2, Nathan (1990), 122-136. (C'est le théorème de Cauchy qui explique pourquoi les polyèdres convexes ne se déforment pas).
[Do] A. Douady, Le shaddock à six becs, Bulletin A.P.M.E.P., 281 (1971), 699-708. (Pour construire un polyèdre, forcément non convexe, qui se déforme)
[Gh] E. Ghys, Le théorème du soufflet, L'explosion des mathématiques, SMF-SMAI (2002), 23-27. [Sa] I. Kh. Sabitov, The volume as a metric invariant of polyhedra, Disc. Comp. Geometry 20 (1998), 405-425.

Sujet3. Nombres premiers somme de 2 carrés. [atelier ou exposé, à confirmer]
nbd'élèves:6?

Étude des nombres premiers qui peuvent s'écrire comme somme de deux carrés.