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Les tas de sable / La spirale d'Ulam / La multiplication de Steinhaus / Substitutions (suite de Morse) |
Sujet n°1 : Le double pendule
[exposé]
Pourquoi le mouvement du double
pendule semble t-il imprévisible ? Est-il chaotique ?
Qu'est-ce qui le différentie fondamentalement du pendule
simple ?
Sujet n°2 : Les bases complexes
[non
présenté]
Peut-on écrire les
nombres entiers, réels et complexes en utilisant comme
base de décomposition le nombre complexe ( 1 + i ) ?
Problème de l'existence et de l'unicité de la
décomposition. Étude des propriétés de
cette base.
Sujet n°3 : Les tas de sable
[non
présenté]
On fait tomber de façon
uniforme du sable sur une surface donnée. La forme obtenue
évolue jusqu'à se stabiliser. Le sable que l'on tente
d'y ajouter, tombe par éboulement. Étude des formes
obtenues en fonction de la surface de départ, par
modélisation informatique. Recherche de règles
adaptées permettant d'utiliser des automates cellulaires
(utilisés pour modéliser les avalanches).
Sujet n°4 : La spirale d'Ulam
[non
présenté]
Étude des
répartitions linéaires des nombres premiers lorsque les
entiers sont notés suivant les règles de la spirale de
Ulam. Recherche des polynômes de la forme a X2+ b X +
C générant le plus grand nombre de nombres premiers
pour un intervalle de nombres entiers consécutifs
donné.
Sujet n°5 : La multiplication de Steinhaus
[non
présenté]
Étude des
propriétés de la famille de suite de nombres
définis par Steinhaus.
On se donne deux chiffres, par exemple
3 et 6.
On effectue alors la multiplication 3x6=18.
A la 1ére étape la suite obtenue est : 3,6,1,8 ( le nombre 18 est remplacé par les chiffres 1 et 8).
Puis :
6x1 = 6 donne
3,6,1,8,6
1x8 = 8 donne 3,6,1,8,6,8
8*6 = 48 donne 3,6,1,8,6,8,4,8
6*8 = 48 donne 3,6,1,8,6,8,4,8,4,8
...
On poursuit de la sorte.
Sujet n°6 : Subsitutions (suite de Morse)
[exposé]
[Texte des éditeurs]
Formons des séquences successives de "0" et de "1" , ce que les mathématiciens appellent des mots sur l'alphabet {0,1}, de la manière suivante.
Le premier mot sera la séquence constituée du seul chiffre 0 :
0
En prenant ce mot et en écrivant à sa suite son "complément binaire", c'est à dire 1, on obtient 01 : c'est notre deuxième mot :
01
En prenant ce mot et en écrivant à sa suite son "complément binaire", c'est à dire 10, on obtient 0110, c'est notre troisième mot :
0110
En poursuivant ainsi de la même manière, on fabrique des mots de plus en plus longs : chaque nouveau mot s'obtient à partir du précédent en écrivant à sa suite son complément binaire, (qui, on l'aura compris, est obtenu on remplaçant les "0" par des "1" et les "1" par des "0")...
On obtient successivement :01101001
0110100110010110
01101001100101101001011001101001
0110100110010110100101100110100101001011001101001011010011001011
etc.En fait, puisque chacuns de ces mots prolonge le précédent, ils déterminent unesuite infinie de "0" et de "1", unique, qui est appelée la suite de Morse, ou plus précisément la suite de Thue-Morse...
Cette suite a de nombreuse propriétés remarquables. On peut montrer en particulier qu'aucune séquence de chiffres ne s'y répète trois fois consécutivement...
La suite de Thue-Morse apparaît, de manière plus ou moins directe, dans de nombreux domaines fondamentaux ou appliqués : problème de Prouhet-Tarry-Escott, recherche de suites "aléatoires" , "courbe du dragon" (obtenue par pliage d'une bande de papier), synchronisation de signaux binaires, quasi cristaux, ...
Documents sur ce sujet.
Sur la suite de Thue-Morse, le pliage de papier et les "automates" :
Jean-Paul Allouche, Les automates finis en mathématiques, Actes MAth.en.JEANS, 1995, pp. 159-168. (Brochure sur commande, version pdf)
Voici deux références professionnelles récentes :
Christian. Mauduit, Multiplicative
properties of the Thue-Morse sequence, Period. Math. Hung., vol. 43,, (2001), pp. 137-153.
J. Yao, Généralisations de la suite de Thue-Morse,
Ann.
Sci. Math. Québec 21
(1997), no 2, 177-189 (version
pdf).