Sujet n°1 : 1001 lampes. [exposé]
Nb d'élèves : (4+2)

Francis est face à une grande rangée de 1001 lampes.

Initialement, seule celle située complètement à gauche est allumée. Ensuite, toutes les secondes, l'opération suivante est réalisée : chaque lampe change d'état si et seulement si celle située à sa gauche était allumée une seconde avant. La lampe située le plus à gauche reste allumée tout le temps. Le processus s'arrête lorsque la lampe située à l'extrémité droite s'allume pour la première fois.

• Combien de lampes sont alors allumées ?

Sujet n°2 : Tablette de chocolat. [atelier]
Nb d'élèves :

Cette nouvelle tablette de chocolat est constituée de 12 carrés de chocolat noir et de douze carrés de chocolat blanc. Les carrés de chocolat noir sont tous solidaires : on peut passer de n'importe quel carré noir à n'importe quel autre carré noir par une chaîne de carrés noirs se touchant par un côté, et il en est de même des carrés blancs ( à un retournement près).

• Le fabricant veut réaliser tous les modèles possibles. Combien en existe-t-il ?

  Note : On considèrera comme identiques deux modèles se déduisant l'un de l'autre par une symétrie ou par une rotation.

Sujet n°3 : Les tricubes. [exposé]
Nb d'élèves :

Un tricube est la réunion de 3 petits cubes identiques. Avec neuf tricubes en L, Amélie remarque qu'il est possible de reconstituer un grand cube [3x3x3]. Une fois ce grand cube réalisé, elle s'amuse à en colorier en bleu les 6 grandes faces, soit cinquante-quatre faces de petits cubes. Elle démonte alors son grand cube et, avec les mêmes neuf tricubes, essaie de reconstituer un nouveau grand cube, de sorte qu'un minimum de carrés bleus apparaisse sur l'ensemble des six grandes faces. Quel est ce nombre minimal de petits carrés bleus ?

Sujet n°4 : Factorisation de Fermat. [exposé]
Nb d'élèves :

Il s'agit d'étudier deux lettres de FERMAT écrites en 1643 dont une à l'attention de MERSENNE dans lesquelles il explique comme savoir si un nombre est premier.

• Cette étude consiste dans un premier temps à comprendre l'algorithme proposé par FERMAT.
• On pourra par la suite justifier cette méthode puis en cerner les limites . Peut-on connaître a priori le nombre d'itérations ? Le procédé est-il toujours humainement réalisable ?