Au centre d'un étang circulaire une princesse et son beau prince, dans une petite barque qui va à la vitesse v essaient d'atteindre le bord sans être rattrapée par le dragon . Le dragon va sur le bord à une vitesse V = 4v , mais il ne sait pas nager.

• Le prince, qui a été l'élève dans son palais des meilleurs géomètres du royaume, va-t-il pouvoir sauver la princesse ?
• Est-ce que cela change si on modifie le rapport entre V et v ?

Prenons un carré de côté n, qui contient donc n2 cases carrées de côté unité. Supposons que chacune de ces cases élémentaires représente une exploitation agricole capable de nourrir une personne et une seule. Nous admettons qu'un nombre P de cases sont initialement occupées et chaque individu a, par unité de temps, la probabilité a de donner naissance à un nouvel individu. Ce dernier va chercher à s'installer dans une case vide, de la manière la plus simple possible: il tirera au hasard l'une des n2 cases du carré et il s'y installera si elle est vide, sinon il périra.

On peut se poser plusieurs questions à partir de ce modèle.

• Par exemple, quel est l'accroissement moyen de la population et quelle loi suit cette population.
• Mais surtout, comment évolue l'occupation des individus dans le carré.
  
• On peut aussi proposer d'autres modèles plus réalistes. Par exemple, après sa naissance l'individu s'installe obligatoirement près de son géniteur et on peut rajouter un risque de mortalité qui peut être différent selon les cases.
• On peut aussi s'intéresser à un modèle de contamination dans lequel chaque cellule malade contamine ses voisines saines avec une probabilité p ou les immunise avec une probabilité 1-p.

Denis et Jean Louis se sont disputés en montagne. Ils sont partis fâchés dans deux directions opposées ( c'est-à-dire mathématiquement dans deux sens opposés sur la même direction) Ils ont marché tout droit et se sont retrouvés.

• Comment est ce possible ?

Marcher tout droit (imaginer une petite voiture dont la direction est bloquée, ou bien un ruban de scotch que l'on colle sans faire de plis) c'est suivre une ligne géodésique c'est-à-dire une ligne qui localement correspond au plus court chemin.

• Sur un plan les géodésiques sont des droites, mais que sont &endash;elles sur une montagne, qu'on pourra modéliser par un cône, ou par un empilement de petits cylindres, ou de petits cubes ou ...

• Deux mille ans après les Pythagoriciens de la Grèce antique et mille ans après les mathématiciens arabes, saurez vous construire des dissections géométriques ?

Recette:

Prendre un ou plusieurs polygones.
Les découper en un puzzle.
Arranger les pièces obtenues dans un nouvel ordre pour obtenir un autre polygone.

Exemple : Passage de deux carrés à un carré.

• Idée : Passer d'un hexagone ou d'un octogone régulier à un carré.

---