L'objectif de ce problème est de simuler numériquement la propagation d'une «hola» au Stade de France.
On désigne pour cela par u(x,t) la proportion de gens qui au temps t sont levés de leur siège situé en position x (x représente la position autour du stade, ainsi x varie entre 0 et L, le périmètre de celui-ci).
On suppose que la vague se propage à une vitesse constante c=5m.s^-1.

• En travaillant avec de petits intervalles de temps, de taille dt, écrivez une équation pour la fonction u(x,t).
• Puis grâce à la méthode d'Euler, construisez une méthode numérique pour simuler la hola.

Paul dispose d'un élastique d'un centimètre quand il n'est pas étiré et on suppose qu'on peut l'étirer autant qu'on le veut. Il marque un point de l'élastique au crayon rouge. Il étire l'élastique jusqu'à doubler sa longueur puis le replie en deux. Il regarde la nouvelle position du point rouge.

• Peut-il retomber sur la même position ? Pour cela, on commencera par donner la position du point à la deuxième étape en connaissant la position à la première étape.

Il renouvelle son opération autant de fois qu'il le désire.

• Peut-il retrouver la position initiale au bout de 2, 3, 4, k étapes ?
• Donner la position que doit avoir le point rouge initialement pour qu'au bout de k étirements exactement, le point rouge soit à la même position qu'au début.

On s'intéresse aux migrations de populations annuelles entre la Haute-Savoie et Paris. On ne considère que deux types d'évènements : les parisiens restent à Paris ou bien déménagent en Haute-Savoie, et de même pour les savoyards. Les moyennes sur les dernières décennies ont révélé que 80% des savoyards restaient vivre en Haute-Savoie alors que 40% des parisiens déménagaient. La Haute-Savoie compte 570 000 habitants en 1990 tandis que Paris en compte 2 000 000. Quel sera la population de chaque département 10 ans plus tard, 100 ans plus tard ?

• Après une critique constructive de ce modèle, donner un modèle mathématique de la situation. Pourrait-on ainsi simuler des échanges entre plus de 2 départements, et si oui comment ?

Ce tableau

donnera le nombre d'annulations du polynòme P(x) = x³ - 8x² + 17x - 10 entre 0 et 5.

Comment faire ? C'est très simple ... ou presque !
Dans la deuxième colonne, on construit une suite de polynômes. On réécrit le polynôme P dans la première ligne puis on écrit l'opposé de la dérivée de P dans la deuxième ligne.

• A vous de deviner comment on construit les polynômes des lignes suivantes.

La troisième et la quatrième colonnes évaluent le polynôme de la deuxème colonne en 0 et 5.

Dans les troisième et quatrième colonne, on remarque qu'il y a respectivement 0 et 2 changements de signes. J'affirme qu'il y a donc 2 racines du polynôme P(x) entre 0 et 5 ...

• Pourquoi ?
• Comment en déduire les zéros des polynômes avec autant de décimale que l'on veut ?

5.1 Un réseau local

Dans une salle informatique, on dispose de 15 ordinateurs. On voudrait les relier de sorte que chaque appareil soit connecté à exactement trois autres ordinateurs, comment faire ?

5.1 Un réseau national

On veut réaliser un réseau dee communication entre différents villes de France. Le coût pour relier deux villles n'est pas toujours le même et on cherche un réseau qui coûtera le moins cher et que reliera toutes les villes présentes dans le tableau suivant donnant les coûts des liaisons.

• Quel est le réseau le moins coûteux ?