Sujet 1 : La bande de jeunes. [atelier]
nb d'élèves : ? & 4 (Soumaré Khoudjedji; Pintel Laureline; Boussa Matoko Laura; Muneer Ashiyath)

Une bande de jeunes comporte trois garçons et trois filles. Chacun de ces jeunes est amoureux d'une des trois personnes du sexe opposé. L'une des jeunes filles constate mélancoliquement que personne n'est aimé de celui ou celle qu'elle ou il aime.

• Ce triste phénomène était-il si imprévisible ?

Sujet 2 : Un jeu avec du chocolat. [atelier]
nb d'élèves : ? & 4 (Bouvier Dorian; Mavoula Roshan; Dumgou Cédric; Cochon Hugo)

Paul et Alexandra sont très gourmands, ils adorent le chocolat. Ils jouent souvent au jeu suivant avec une tablette de chocolat : le premier joueur choisit l'un des carrés de chocolat de la tablette et l'enlève, ainsi que tous ceux situés en haut à droite de celui-ci. Le second joueur choisit alors l'un des carrés qui n'ont pas été enlevés et l'enlève, ainsi que tous ceux situés en haut à droite de celui-ci. Ensuite le premier joueur choisit l'un des carrés qui n'ont pas été enlevés et l'enlève, ainsi que tous ceux situés en haut à droite de celui-ci. Le jeu continue ainsi jusqu'à ce qu'un des joueurs enlève le carré en bas à gauche et perde ainsi la partie.

Le gagnant gagne alors la tablette et peut manger tout le chocolat.

• L'un des joueurs peut-il gagner à tous les coups ?

Sujet 3 : Un jeu avec les entiers. [atelier]
nb d'élèves : ? & 5 (Canu Quentin; Furtado Sandra; Tahri Malika; Ilboudo Khady; Elazroudi Samya)

Si on se donne 4 entiers naturels a, b, c et d qu'on dispose sur une ligne, on construit une nouvelle ligne qu'on écrit en dessous avec les entiers | a - b |, | b - c |, | c - d | et |d - a |. Ensuite on construit de même une 3ème ligne... En prenant a = 5, b = 11, c = 0 et d = 2 on obtient ainsi successivement :

5 11 0 2
6 11 2 3
5 9 1 3
4 8 2 2
4 6 0 2
2 6 2 2
4 4 0 0
0 4 0 4
4 4 4 4
0 0 0 0

et donc toutes les lignes suivantes sont constituées de quatre zéros.

• Est-ce un coup de chance ou bien doit-on toujours arriver à une ligne constituée de quatre zéros ?

Le même sujet est aussi traité aux lycées de St Orens et de Toulouse

Sujet 4 : Une propriété des entiers naturels. [atelier]
nb d'élèves : ? & 3 (Bouda Pascal; Makounde Teffery; Saïd Kamaldine)

Que se passe-t-il si partant d'un entier naturel, on fait la somme des carrés de ses chiffres puis qu'on recommence avec la somme obtenue, puis qu'on recommence encore avec la somme obtenue etc.. ?

Par exemple si on part de 2583 on obtient d'abord 2x2 + 5x5 + 8x8 + 3x3 = 102, puis 1x1 + 0x0 + 2x2 = 5, puis 5x5 = 25, puis 2x2 + 5x5 = 29, puis 2x2 + 9x9 = 85...

Sujet 5 : Les ponts de Königsberg. [atelier]
nb d'élèves : 3 & ?

La ville de Königsberg (Prusse orientale) comptait 7 ponts, disposés selon la figure ci-contre. L'histoire veut que Léonard Euler, en visite dans cette ville, ait eu à résoudre le problème qui préoccupait fortement ses habitants . Est-il possible de trouver un circuit qui emprunte une fois et une seule chacun des sept ponts de la ville ?

Article sur ce sujet : Les ponts de la ville de Königsberg