Sujet n°1 : Loi de réciprocité quadratique [exposé : Carrés modulo p ]
Nb. d'élèves : 6

[présentation des éditeurs] Soit p un nombre premier. Un nombre entier est appelé résidu quadratique modulo p s'il est le reste de la division par p d'un carré parfait.

• Comment décider si un entier est un résidu quadratique modulo p ?

[Commentaire du chercheur] Une premiere idée de réflexion pour les élèves est la suivante. Il s'agit d'etudier la loi de reciprocite quadratique qui relie les symboles de Legendre (p/q) et (q/p) où p et q sont deux premiers impairs et donne l'expression de (2/p). L'idee serait de ne pas donner la réponse (une démonstration du résultat serait certainement hors de portée des élèves), mais plutôt de prendre une approche expérimentale. Essayer d'étudier des cas particuliers, dégager des lois, essayer de faire des conjectures. Le problème pourrait simplement être posé de la facon suivante :

Étant donne un entier n et un nombre premier p, comment décider si n est un résidu quadratique modulo p ?