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Les tas de sable / La spirale d'Ulam / La multiplication de Steinhaus |
Sujet n°1 : Le double pendule
[exposé]
Pourquoi le mouvement du double
pendule semble t-il imprévisible ? Est-il chaotique ?
Qu'est-ce qui le différentie fondamentalement du pendule
simple ?
Sujet n°2 : Les bases complexes
[exposé]
Peut-on écrire les
nombres entiers, réels et complexes en utilisant comme
base de décomposition le nombre complexe ( 1 + i ) ?
Problème de l'existence et de l'unicité de la
décomposition. Étude des propriétés de
cette base.
Sujet n°3 : Les tas de sable
[atelier]
On fait tomber de façon
uniforme du sable sur une surface donnée. La forme obtenue
évolue jusqu'à se stabiliser. Le sable que l'on tente
d'y ajouter, tombe par éboulement. Étude des formes
obtenues en fonction de la surface de départ, par
modélisation informatique. Recherche de règles
adaptées permettant d'utiliser des automates cellulaires
(utilisés pour modéliser les avalanches).
Sujet n°4 : La spirale d'Ulam
[exposé]
Étude des
répartitions linéaires des nombres premiers lorsque les
entiers sont notés suivant les règles de la spirale de
Ulam. Recherche des polynômes de la forme a X2+ b X +
C générant le plus grand nombre de nombres premiers
pour un intervalle de nombres entiers consécutifs
donné.
Sujet n°5 : La multiplication de Steinhaus
[exposé]
Étude des
propriétés de la famille de suite de nombres
définis par Steinhaus.
On se donne deux chiffres, par exemple
3 et 6.
On effectue alors la multiplication 3x6=18.
A la 1ére étape la suite obtenue est : 3,6,1,8 ( le nombre 18 est remplacé par les chiffres 1 et 8).
Puis :
6x1 = 6 donne
3,6,1,8,6
1x8 = 8 donne 3,6,1,8,6,8
8*6 = 48 donne 3,6,1,8,6,8,4,8
6*8 = 48 donne 3,6,1,8,6,8,4,8,4,8
...
On poursuit de la sorte.
Il s'agit d'étudier les propriétés de cette famille de suites.