Etablissements

Collège PAUL BERT
92240 MALAKOFF

Collège FRANCOISE DOLTO
75020 PARIS

Professeurs

M. Pascal FAUTRERO,
Mme Anne JOLLY

M. Marc NOVEL

Chercheur

M. René CORI (CNRS, Equipe de Logique Mathématique, Paris)

Sujets

Rubick's cube /Les flocons de Von Koch / Messages codés
Vingt mille nombres... (voire plus) / Les enveloppes et les lettres /
La petite grenouille et les pavés / Comparaison d'aires

Sujet 1 : Rubick's cube. [présentation sur stand]
nb d'élèves : ? & 2 [Samuel FOURMONT et Huseyin EMRE (3°)]

Etude du cube dans le but de le recomposer en moins de mouvements possibles.

[Présentation du sujet par la rédaction]

 

Prenez le cube...

Les 9 petits cubes d'une même face peuvent tourner autour de l'axe central de cette face.

tournez une face,

une autre,

tournez encore ...

 

c'est mélangé ! 

[On peut essayer en ligne : http://www.rubiks.com/ et http://www.schubart.net/rc/ ]

Sujet 2 : Les flocons de Von Koch. [exposé]
nb d'élèves : ? & 5 [Waïl DOUCENE(6°), Christophe LE LANN (3°), Mohamed NEJI (5°) Laure PANTALEO (3°), Aurélie RAMON (3°)].

[Présentation du sujet par la rédaction]

Le flocon de Von Koch classique est obtenu en partant d'un triangle

et en poursuivant à l'infini la transformation de son bord suivant le principe illustré ci-dessous :.

Sujet 3 : Messages codés [présentation sur stand]
nb d'élèves : ? & 2 [Sara DOUCENE (4°) et Asmahane MOHAMED-ZEÏNA (4°)]

Inventer plusieurs systèmes de codage.Essayer de décoder plusieurs messages.

Sujet 4 : Vingt mille nombres. (Voire plus...) [exposé]
nb. d'élèves 8 & 0 []

Mathias, qui a du temps à perdre aujourd'hui, a décidé de remplir de nombres une grille de cent cases sur deux cent. Dans la première ligne, il a écrit, dans l'ordre,1, 2, ..., 100. Dans la première colonne il a écrit, dans l'ordre 1, 2, ..., 200. Il continue à remplir le tableau en respectant la règle suivante :

chaque case contient le plus petit entier strictement positif différent de tous ceux écrits
dans la portion de ligne située à sa gauche et dans la portion de colonne située au-dessus de lui.

1

2

3

4

5

2

1

4

3

6

3

4

1

2

7

4

3

2

1

8

5

6

7

8

1

6

5

8

7

2

7

8

5

6

3
Premières valeurs
du tableau
des 20 000 nombres

[Note de la rédaction. Ce type de tableau, introduit par Sprague et Gründy dans les années 1950, apparaît dans la théorie des "jeux de Nim" : dans un jeu de Nim, 2 joueurs jouent chacun leur tour en modifiant la position courante suivant les règles du jeu jusqu'à que l'un des deux ne puisse plus jouer et soit déclaré perdant. La méthode de Sprague et Gründy attribue à chaque position du jeu un certain nombre entier qui représente sa "valeur." Une connaissance complète des valeurs des positions permet d'identifier les positions gagnantes et d'obtenir ainsi des stratégies infaillibles.
Le tableau de nombre construit ci-dessus correspond à l'idée de addition de 2 jeux de Nim et est notamment utilisé dans le codage des informations numérisées (voir encadré ci-dessous) ]

La "théorie des nimbres"

Il est facile de combiner deux jeux de Nim A et B 
pour former un nouveau jeu.

Le jeu
A+B

Installons les jeux A et B séparément chacun sur une table.
Les règles du jeu
A+B (le jeu "somme" de A et de B, sont alors les suivantes :

  • On joue à tour de rôle.
  • A son tour de jeu, le joueur doit
    - choisir l'une des deux tables
    - y jouer un coup légal (c'est à dire qui respecte les règles du jeu qui s'y trouve).
  • Lorsque c'est fait, c'est au tour de l'autre joueur.

Celui qui se trouve devant une impossibilité de jouer est déclaré perdant. Le gagnant est celui qui n'est pas perdant.

Le tableau présenté ci-dessus peut être vu comme une table d'addition de valeurs de jeux : si des positions respectives P et Q dans deux jeux de Nim A et B "valent" respespectivement p et q, la case de la colonne n° p et de la ligne n°q du tableau indique la "valeur" de la position du jeu de Nim A+B formé de la position P dans A et de la position Q dans B.

J.H. Conway et R. Guy a proposé d'appeler nimbres (prononcer < nimm-bre >), les nombres entiers munis d'une telle "table d'addition".

Ces nimbres sont notamment utilisés pour coder des informations de manière à pouvoir corriger les éventuelles erreurs de transmission (lignes téléphoniques, liaisons satellites, etc.)

Référence : CONWAY, J.H., GUY R.K.,, The book of numbers, Copernicus, Springer-Verlag, 1996.
(traduction française, Le livre des nombres, Eyrolles, 2000 (?).)

Sujet 5 : Les enveloppes et les lettres [présentation sur stand]
nb. d'élèves 1 & 0 []

J'ai rédigé 20 lettres et préparé séparément 20 enveloppes. Quelle est la probabilité qu'au moins un de mes correspondant reçoive la lettre qui lui était destinée ? « probabilité » = nombre de chances / nombre de possibilités.

Sujet 6 : La petite grenouille et les pavés [présentation sur stand]
nb. d'élèves 4 & 0 0 []

La petite grenouille est capable de sauter d'un seul bond par dessus les 20 pavés. Mais elle peut aussi aller de D à A en se posant sur un ou plusieurs pavés intermédiaires. Les seules règles quelle s'est imposée à elle-même sont d'aller toujours en l'avant et de ne jamais sauter d'un pavé à un autre pavé immédiatement adjacent.

Sujet 7 : Comparaison d'aires [atelier]
nb. d'élèves 2 & 0 []

Il s'agit d'un sujet "en construction" . On part de configurations géométriques simples (découpages de rectangles) et on tente de comparer les aires des figures obtenues après ce découpage.