Sujet 1 : Le cercle qui voulait rejoindre 3 amis (un problème " à la Erdös"). [exposé]
nb d'élèves : 3 & 4

On considère 4 points distincts dans le plan. Est-on sur de pouvoir former un triangle non isocèle avec trois d'entre eux ? Et si on considère 5, 6 ou 7 points ?

Commentaires. Ce problème a été posé par le mathématicien hongrois Paul Erdös (1913-1996) dans le journal American Mathematical Monthly en 1946.

Sujet 2 : La marelle aléatoire. [atelier]
nb d'élèves : 2 & 4

Paul et Virginie aiment jouer à la marelle, mais ils en ont changé les règles. On part de la TERRE pour aller au CIEL en passant par 4 cases numérotées de 1 à 4. La règle est la suivante sur chaque case, le joueur lance une pièce. Si la pièce tombe sur "pile", le joueur reste sur place. Si elle tombe sur "face", le joueur avance d'une case. Comme on a une chance sur deux d'avancer, Virginie parie qu'en au plus 10 coups, elle arrivera au CIEL.

• Qu'en pensez-vous ?
• Imaginer d'autres règles et d'autres paris (par exemple avec des dés ou avec un pièce truquée ou si la piste de jeu est un échiquier).

publication : La marelle, Comptes Rendus MATh.en.JEANS n° 03-02, Juin 2003.

Sujet 3 : Les réceptions de l'ambassadeur. [atelier]
nb d'élèves : 3 & 3

L'ambassadeur adore recevoir ! Tous les samedis, un dîner réunit à l'ambassade les 4 mêmes couples. L'ambassadeur souhaite que femmes et hommes se succèdent à table et que d'une semaine sur l'autre de l'année le plan de table soit différent. Au bout de combien de semaines l'ambassadeur sera obligé de reprendre un plan de table déjà utilisé?

Commentaires. Ce problème apparaît (certainement pour la première fois) en 1891 dans le livre "Théorie des Nombres" du mathématicien français Edouard Lucas (1842-1891). Il a été résolu par les français M. Laisant et M. C. Moreau, puis par l'anglais H. M. Taylor (vers1900).

Sujet 4 : Le découpage de la France. [atelier]
nb d'élèves : 3 & 4

En 2050, le ministre de l'intérieur décide de faire un nouveau découpage de la France en départements. Pour simplifier son travail, il assimile la France à un hexagone régulier, chaque département doit avoir la forme d'un triangle, et il n'utilise que des diagonales pour faire le découpage. Pouvez vous l'aider ?

Commentaires : Ce problème (dans le cas général d'un polygone convexe) a été posé en 1751 par le très grand mathématicien suisse Leonard Euler (1707-1783) au mathématicien allemand Christian Goldbach.