Sujet 1 : Trajectoires d'un cavalier sur un jeu d'échecs.
Nb d'élèves :

1.1 Un pas de cavalier

On connaît tous le jeu d'échecs, au moins pour avoir déjà vu un échiquier et ses différentes pièces. Lorsque l'on joue aux échecs, on déplace une pièce à chaque fois, en suivant une règle bien précise suivant la nature de la pièce que l'on bouge. Par exemple une tour se déplace en ligne droite, un fou en diagonale... Le cavalier lui se déplace de manière très bizarre : on parle parfois de mouvement en chaussette. De manière précise, le mouvement d'un cavalier se décompose en deux étapes : d'abord un pas (une case) dans n'importe quelle direction verticale ou horizontale, puis un pas (une case) en diagonale, en s'éloignant.

1.2 Visiter le plus de cases possibles...

En partant d'une case donnée de l'échiquier, combien de cases différentes un cavalier peut-il parcourir avant de retomber sur une case qu'il a déjà vue ?

On appellera trajectoire la liste des cases parcourues, et la longueur d'une trajectoire sera le nombre de ces cases. Pour décrire une trajectoire, on est vite amené à numéroter d'une manière ou d'une autre les cases de l'échiquier...

Pour commencer, on peut regarder le cas d'un échiquier carré de 3 cases sur 3. Je vous propose de démontrer le

Théorème 1 Pour un échiquier 3x3, la trajectoire la plus longue a pour longueur 8.

Pour démontrer ce théorème, un mathématicien procèdera en deux étapes :

1. Montrer qu'il ne peut pas y avoir de trajectoire plus longue.

2. Construire une trajectoire de longueur 8.

Pour le premier point, vous trouverez facilement : l'une des cases ne peut pas être atteinte. Pour la construction d'une trajectoire, je vous propose d'adopter le point de vue du cavalier pour décrire l'échiquier : vous êtes vous-même un cavalier ; quelles sont les cases voisines de (a2) de votre point de vue ?

Vous pouvez maintenant vous poser la question pour des échiquiers de taille plus grande, pas nécessairement carrés. Ou encore des échiquiers qui ne seraient plus tracés sur un plan, mais sur un cylindre par exemple, ou même un pneu ! ! !

1.3 ...Et rentrer chez soi.

Les choses se compliquent. On s'intéresse maintenant seulement aux trajectoires qui reviennent à leur point de départ. La question devient donc En partant d'une case donnée de l'échiquier, combien de cases différentes un cavalier peut-il parcourir avant de revenir à son point de départ ?

Pouvez-vous démontrer le

Théorème 2 Pour un échiquier 3x3, la trajectoire réentrante la plus longue a pour longueur 8.

Les mathématiciens aiment les collections lorsqu'elles sont bien ordonnées. Si vous trouvez plu-sieurs trajectoires réentrantes de même longueur, il sera nécessaire d'établir des critères qui per-mettent de les classer...

1.4 Un peu d'histoire.

Ces questions sont très anciennes, et ont occupé au moins un temps beaucoup des grands esprits que le monde a connus. Le jeu déchecs est probablement né en Inde il y a environ 2000 ans. Les premiers livres traitant du jeu d'échecs qui nous soient connus datent du VIII ou IXième siècle et proviennent de l'Empire Islamique, alors à son apogée. De cette époque nous sont parvenus quelques trajectoires de cavalier réentrantes.

On a ensuite une liste assez longue de telles trajectoires en provenance de l'Empire Islamique ou d'Inde, jusqu'au XVième siècle. Le problème resurgit en occident au XVIIIième siècle, et le grand mathématicien Leonhard Euler y consacra un article qui reste une référence sur le sujet.

Il reste énormément de questions non-résolues sur ce sujet. Très récemment un mathématicien français a découvert des liens profonds entre les trajectoires de cavalier et certains objets géométriques de dimension 4 !

Sujet 2 : Promenades au hasard
Nb d'élèves :

2.1 Le petit chaperon rouge est perdu.

Aïe. Le petit chaperon rouge est perdu dans la forêt, sur un chemin aux extrémités duquel se trouvent d'un côté sa grand-mêre, et de l'autre le méchant loup. Malheureusement notre chaperon rouge panique, et elle ne se souvient pas du tout de la direction dans laquelle se trouve sa grand-mère. Elle décide de jouer à pile ou face pour savoir de quel côté aller. Mais elle panique, elle panique tellement qu'elle rejoue à pile ou face après chaque pas... Quelles chances a le petit chaperon rouge de ne pas finir dans le ventre du loup ?

2.2 Chances, hasard et probabilités.

Commençons, nous aussi, par jouer à Pile ou Face. Tout le monde conviendra que si on lance la pièce en l'air une fois, on a une chance sur deux de gagner son pari. On veut dire par là qu'il y a deux résultats possibles, et qu'un seul nous est favorable. Personne ne penserait que ce une chance sur deux pourrait signifier que, si on lance la pièce deux fois, on est sûr de gagner ? ! Pourtant les mathématiciens ont établi un très important théorème, la Loi des grands nombres. Ce théorème dit que si vous lancez la pièce un très grand nombre de fois, vous obtiendrez à peu près une moitié de Pile et une moitié de Face. (Bien entendu l'énoncé mathématique du théorème est beaucoup plus précis.) Revenons au jeu de Pile ou Face. Maintenant on jette la pièce deux fois, et on note les deux résultats obtenus. Combien y-a-t-il de résultats possibles ? Quelles chances a-t-on de gagner son pari ? Et si l'on jette la pièce 10 fois ?

Le problème du Chaperon Rouge est plus compliqué que le jeu de Pile ou Face, principalement parce que le nombre de chemins possibles n'est pas fini : le petit Chaperon Rouge peut passer un temps très long sur le chemin, à faire des aller-retour entre deux positions...

2.3 Les naufragés ont de la chance. Enfin...

Aïe. Aïe aïe. Des naufragés se trouvent sur un radeau. La mer est déchainée, et le radeau est balloté dans tous les sens, au hasard. Soudain l'espoir renaît : une petite éclaircie permet d'apercevoir la plage, qui est proche. Ces naufragés ont de la chance : la mer va les ramener à la plage. Mais voilà. Devant une partie de celle-ci nagent des requins affamés... Quelles chances ont les requins de faire un bon repas ?

Comparons avec le Chaperon-Rouge. Le problème est plus compliqué principalement parce que les mouve-ments possibles du radeau sont plus nombreux. On peut simplifier un peu le problème en supposant qu'il se déplace chaque seconde d'un mêtre dans l'une des quatre directions Nord-Sud-Est-Ouest...