Etablissements	Lycée LOUISE MICHEL 93000 BOBIGNY	M. J. C. 93700 DRANCY	Lycée PABLO PICASSO 94120 FONTENAY SOUS BOIS
Professeurs	M. François GAUDEL	M. François GAUDEL	MM. Denis BLONDEL, Jean-Louis MARCIA Mme Claude PARREAU
Chercheur	Mme Violaine ROUSSIER (Monitrice, Université Paris Sud)
Sujets	Pavages / Le jeu de Juniper Green / La pêche intensive ou l' écologie mathématique . / La punaise / Sangakus / Les illusions d'optique et les objets impossibles / les deltaèdres / Numération "à la Fibonacci" / Objets mathématiques en 3 dimensions

Sujet n°1 : Pavages : kaléidoscope , pavages a-périodiques. [Exposé]
Nb. d'élèves : 0 & 0 & (4+3)

1. Kaleidoscope et pavages.
2. Pavages a-périodiques.
   

Sujet n°2 : Le jeu de Juniper Green. [Exposé]
Nb. d'élèves : 2 & 0 & 7

[Il s'agit de trouver une stratégie gagnante dans un jeu de multiples et de diviseurs.]

Ce jeu, basé sur la notion de diviseurs et de multiples, se joue avec un jeu de 100 cartes, numérotées de 1 à 100, que l'on dispose faces visibles, selon les règles suivantes :

1. chacun des deux joueurs prend, à son tour, une carte. Cette carte est ensuite enlevée du jeu.
2. la toute première carte tirée doit porter un numéro pair.
3. chaque carte tirée ensuite doit avoir un numéro qui est un diviseur ou un multiple du nombre porté par la carte enlevée par l'adversaire au coup précédent.
4. le jeu s'arrête lorsqu'un joueur ne peut plus prendre de carte satisfaisant la condition précédente. Ce joueur a alors perdu.

Existe-t-il une stratégie permettant au joueur tirant la première carte de l'emporter à coup sûr ? Ou est-ce le joueur jouant en second qui dispose, lui, d'une stratégie gagnante ?

• Généralisation à un jeu contenant n cartes, n entier naturel quelconque. Peut-on trouver les valeurs de n pour lesquelles le joueur jouant en premier (respectivement, en second) a une stratégie gagnante ?

Sujet n°3 : La pêche intensive ou l'écologie mathématique. [Exposé]
Nb. d'élèves : 0 & 0 & 7

Umberto d'Ancona, un responsable du bureau de la pêche italienne employé a Trieste, est perplexe devant les données statistiques dont il dispose. En particulier, il a remarqué que pendant la première guerre mondiale, periode ou la pêche est très réduite, la proportion de requins et autres prédateurs impropres a la consommation qu'on attrapait était nettement superieure à ce qu'elle était avant-guerre, et à ce qu'elle redevint ensuite.

Annee % de prédateurs dans les poissons pêchés

1914 11.9
1915 21.4
1916 22.1
1917 21.2
1918 36.4
1919 27.3
1920 16.0
1921 15.9
1922 14.8
1923 10.7

Comment expliquer ce phénomène?

Quelques pistes de recherche (qui peuvent conduire chacune à un problème)

• comment évolue une population de papillons de nuit élevés dans un laboratoire au cours des générations? créer un modèle mathématique et le critiquer.
• pouvez-vous utiliser le modèle précédent pour l'appliquer aux populations requins et sardines?
• comment intervient alors la peche?

Sujet n°4 : La punaise. [Exposé]
Nb. d'élèves : 0 & 0 & 3

Quelles chances a une punaise de tomber sur la tête ou sur la pointe ?
Lorsqu'on lance une punaise sur un sol plan, elle se stabilise dans l'une des positions suivantes :

Position 1 (tête)	Position 2 (pointe)

• Se stabilise-t-elle plus souvent dans la position 1, dans la position 2 ou de manière égale ?

Sujet n°5 : Sangakus. Des dessins pour des maths ? [Exposé]
Nb. d'élèves : 6 & 0 & 5

[Etude de tablettes votives japonaises et de "preuves sans mots"]

Une pratique originale des mathématiques est apparue au Japon à partir du 17-ième sciècle: Des tablettes de bois, appelées sangakus, illustrant des problèmes mathématiques étaient offertes aux dieux et accrochées dans les temples. Certains étaient de véritables chefs d'¦uvre. Ils n' étaient pas réalisés uniquement par des mathématiciens professionnels, mais aussi par des commerçants, des samouraîs, des enfants.

[Exemple de figure extraite d'un Sangaku : les rayons des cercles bleus successifs (appelés "cercles de Ford") sont toujours des rapports de nombres entiers]

Figure de Lui Hui

Par ailleurs, depuis longtemps, mais avec de nouveaux dévelopements actuels, des mathématiciens cherchent à démontrer des résultats connus de façon originale ("preuve sans mots") .Le théorème de Pythagore est un des exempes les plus célèbres ( ci-joint une figure en Chine en -200 avant Jesus Christ, due à Lui Hui) Il faut cependant se méfier de ses sens car il y a aussi de célèbres "preuves " de résultats faux .

Pouvez vous donc, pour les "sangakus", comme pour les"preuves sans mots" ...

• en reconstruire,
• en comprendre,
• en démontrer,
• en inventer ?

Note de la rédaction. Deux articles de la revue Pour la Science existent sur ce thème : Les preuves sans mots, par J.-P. Delahaye, Pour la Science, n° 244, Février 1998, 100-105 (plusieurs exemples sont tirés d'un livre de Nelsen de 1993).

Sujet n°6 : Les illusions d'optique et les objets impossibles
Nb. d'élèves : 5 & 2 & 0 (projet TPE)

Comment on peut représenter en 2D des objets qui donnent l'impression d'être en 3D mais ne peuvent exister : explications par les propriétés de la vision (perspective) et de la cognition)

Sujet n°7 : Avec des triangles (équilatéraux) : les deltaèdres
Nb. d'élèves : 4 & 2 & 0

Que peut-on fabriquer [dans l'espace] avec des triangles équilatéraux tous égaux ?

Avec quatre triangles, par exemple, on peut fabriquer un tétraèdre (pyramide à base triangulaire). Plus généralement on peut fabriquer certain polyèdres, appelés deltaèdres (à cause de la forme de la lettre grecque "delta" : )]

• Mais au fait, qu'est-ce qu'un polyèdre ?

Admettons qu'on sache ce qu'est un polyèdre (cube, octaèdre, étoile ...)

• Quels sont les deltaèdres convexes et pourquoi ... ?
• Peut-on fabriquer des polyèdres avec cinq triangles équilatéraux, six, sept, etc . et jusqu'à combien ? Peut-on continuer indéfiniment ? Pensez vous que la géode, par exemple, soit fabriquée avec des triangles équilatéraux ?
• Y a-t-il une, ou des relations entre les nombres de faces, d'arêtes, de sommets ?
• Est-ce qu'on obtiendra toujours des polyèdres rigides ?
• Que se passe-t-il si l'on impose des règles du type : trois faces par sommet, quatre faces par sommet, cinq faces par sommet, six, sept . peut-on classer les polyèdres qu'on a trouvés, et comment ?
• Si l'on autorise les polyèdres à présenter un trou (comme une bouée) ou deux (comme un huit), ou plus, qu'est-ce qui change ?
• Essayer de fabriquer une surface fermée sans dessus ni dessous (comme la bouteille de Klein) avec des triangles équilatéraux.

   

Sujet n°8 : [Numération "à la Fibonacci"]
Nb. d'élèves : 0 & 2 & 0

[ 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... dans la suite de Fibonacci, chaque nombre (à partir du troisème rang) est la somme des deux précédents. Ces nombres peuvent servir utilement de base pour un système de numération. ]

Sujet n°9 : [Objets mathématiques en 3 dimensions] [Atelier sur Forum et Exposition sur stand]
Nb. d'élèves : 0 & 3 & 0

Des constructions spectaculaires et volumineuses : tétraèdre de Sierpinski, cube de Sierpinski, assemblages fractaux de dodécaèdres rhombiques, et d'icosaèdres "tressés" et autres petites choses...

L'atelier présentera des méthodes de construction d'objets mathématiques. Un "gros objet" y sera construit collectivement.