Etablissement	Lycée Georges Brassens - 76 NEUFCHATEL EN BRAY
Professeurs	M. Michaël Mauduit M. Le Cornu
Chercheur	M. Eric Laugerotte

Sujet 1. Énumération de graphes
[étudié par Allain Yohann (seconde), Chalumeau Elodie (seconde)]

Le sujet initial proposait de trouver une méthode pour déterminer si A_k (la chaine formé de k "sommets" a₁, a₂, a₃, ..., a_k reliés par les "arêtes" [a₁,a₂], [a₂,a₃], ..., [a_k-1,a_k]) apparaît (ou non) dans un certain graphe. La recherche a porté sur les questions suivantes :

- Connaissant le nombre de graphes à n sommets qui contiennent A_k , quel est le nombre de graphes à n sommets qui contiennent A_k+1 ?
- Connaissant le nombre de graphes à n sommets qui contiennent A_k, combien y a t-il de graphes à n+1 sommets qui contiennent A_k ?

Sujet 2. Répartition des multiples d'un entier k dans le triangle de Pascal.
[étudié par Pestel Anne-Lise (première S), Guillotin Mathieu (seconde), Patrelle Jonathan (seconde), Saint-Maxent Fabien (seconde)]

Le nombre d'ensembles à p éléments contenus dans un ensemble donné à n éléments est appellé C(n,p) [la lettre "C" est l'initiale du mot "combinaison"]. Avec les nombres C(n,0),C(n,1),..., C(n,n-1),(C(n,n) formons une ligne, la «ligne numéro n». Ces lignes, placées à la suite les unes des autres, forment un triangle de nombres :

Ce triangle célèbre obéit à des règles simples :

Chaque nombre du bord vaut1,
Chaque nombre intérieur est la somme des deux nombres situés au dessus de lui.

Bien que la découverte de ce triangle soit en fait bien antérieure au XVIIème siècle, c'est le nom de Pascal (philosophe, physicien et mathématicien, 1623-1662) qui lui resta attaché, vu l'intérêt de son travail à ce sujet. L'études des nombres du triangle de Pascal, (appelés "coefficients binomiaux" après les contributions de Newton (physicien, astronome et mathématicien anglais, 1642-1727) se poursuit encore de nos jours.

Dans ce fameux triangle, comment se répartissent les nombres pairs, les multiples de 3, les multiples d'un nombre entier k ? Pour k fixé, peut-on décider, suivant les valeurs de n et de p, si C(n,p) est multiple de k, sans avoir à le calculer entièrement ?

Sujet 3. Est-ce que le triangle de Pascal vérifie la loi de Benford ?
[étudié par Ritter Stéphanie (seconde)]

Selon la loi de Benford, les premiers chiffres des nombres d'un échantillon de nombres "pris au hasard" n'appaissent pas avec la même fréquence (il ne sont donc pas équiprobables) : du chiffre 1 au chiffre 9, les probabilités décroissent. Les nombres formant le triangle de Pascal (cf. sujet 1) vérifient-ils cette loi ?

Sujet 4. Montées d'escalier*
[non choisi par les élèves]

Étant donné un escalier à n marches, combien y a t'il de possibilités de monter cet escalier ?